2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式 第二课时 等式性质与不等式性质 2.1 等式性质与不等式性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题; 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小; 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质. 情景导入 关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠定了基础. 那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. 提示：运算中的不变性就是性质. 我们先来回顾一下等式有哪些性质？ 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 1.探究不等式的性质 新知探究 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的性质，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗，并加以证明吗？ 等式 不等式 对称性 传递性 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质： 我们来证明性质2： 由两个实数大小关系的基本事实知 等式 不等式 可加性 A B a b x b+c B1 a+c A1 类比等式的性质3—5，可以猜想不等式还有如下性质： 等式 不等式 加法 A B a b x b+c B1 a+c A1 类比等式的性质3—5，可以猜想不等式还有如下性质： 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 如图，把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点与，与和与的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3. 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. A B a b x b+c B1 a+c A1 A B a b x b+c B1 a+c A1 等式 不等式 加法 同向可加性： 等式 不等式 乘法 同向同正可乘性、同乘方性： 性质4(可乘性) 如果，那么如果，那么 这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 利用这些基本性质，我们还可以推导出 其他一些常用的不等式的性质.例如，利用性质2,3可以推出： 性质5(同向可加性) 如果，那么 事实上，由和性质3，得；由和性质3，得.再根据性质2，即得 利用性质4和性质2可以推出： 性质5(同向同正可乘性) 如果，那么 性质5(同乘方性) 如果，那么 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 因此我们可以得到不等式的七个性质： 性质1：如果a＞b，那么b＜a； 性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c； 性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc ，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc； 性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d； 性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； 性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）． 概念归纳 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： （1）运用不等式的性质判断：要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想象捏造性质； （2）特殊值法：取特殊值时，要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算。尤其是在选择题中经常采用这种方法。 概念归纳 例2.已知a＞b＞0，c＜0，求证： ． 课本例题 证明：∵a＞b＞0， 于是 ，即 ． 又由c＜0，得 ． ∴ab＞0， ， 探究一　不等式的性质及应用 典例剖析 典例剖析 典例剖析 利用不等式性质解题的策略 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一个反例． 概念归纳 【例2】 判断下列四个命题的真假: (1)若a<b<0,则 (2)若a>b>c,则有a|c|>b|c|; (3)若a>b,c<d,则有a-c>b-d; (4)若b<a<0,n∈N,n>1,且n为奇数,则有an>bn. 典例剖析 探究二 利用不等式的性质判断命题的真假 ∴(1)是假命题. (2)∵a>b,|c|≥0, 当c≠0时,|c|>0,∴a|c|>b|c|. 当c=0时,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0. ∴(2)是假命题. 典例剖析 (3)∵c<d,∴-c>-d. 又a>b,∴a+(-c)>b+(-d). 即a-c>b-d.∴(3)是真命题. (4)当b<a<0时,-b>-a>0. ∴(-b)n>(-a)n. ∵n为奇数,∴-bn>-an.∴an>bn. ∴(4)是真命题. 典例剖析 运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 概念归纳 练一练 D 练一练 练一练 【例3】 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc; 分析:根据条件选择合适的不等式的基本性质证明有关不等式. 典例剖析 探究三 利用不等式的性质证明不等式 典例剖析 用不等式的性质进行证明时，要善于寻找欲证不等式与已知条件的关系,利用相应的不等式性质证明; 要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘(除以)一个常数; 一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的; 一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等. 概念归纳 练一练 解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 典例剖析 探究四 利用不等式的性质求取值范围 【例4】 已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围; (2)求3x+2y的取值范围. 解:因为-1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4. 又因为x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0. 3.已知“-1<x<y<3”. 求x-y的取值范围; 1.利用几个不等式的取值范围来确定某代数式的取值范围是一类常见的综合问题,解题时要紧扣不等式的基本性质,不能直接将几个已知不等式相加(减或相乘除). 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养. 练一练 随堂练 B 随堂练 C 3.若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围是　　　　　　　. 解析:∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1. 又1≤a≤5,∴-1≤a-b≤6. 随堂练 -1≤a-b≤6 随堂练 用不等号“”或“”填空： （1）如果，，那么 ； （2）如果，，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ； 课本练习 错用不等式的性质 1.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围. 错解:1≤a-b≤2,① 2≤a+b≤4,② 错因分析 这个方法错在哪里？ 提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的. 那到底是为什么呢? 我们先看不等式4a-2b ≥3什么时候取等号, 由上述解题过程可知,当 ,才取等号,而此时a-b=0,不满足①式, 因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12. 出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的. 归纳总结 错因分析 防范措施 1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的取值范围. 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法. 归纳总结 4.已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围. 练一练 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 ③ 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 1≤α＋3β≤7 分层练习-拓展 C 课堂小结 不等式 的性质 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 利用不等式性质判断正误的方法： (1)直接法:正确的说法利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明; 说法错误的只需举出一个反例即可。 (2)特殊值法:取值的原则:一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算;三是所取的值要有代表性. （1）不等式两边同乘或除以负数时，要变号; （2）同乘或除以代数式时，要注意代数式的正负分类讨论 逻辑推理：通过等式性质，类比推理不等式性质，培养逻辑推理的核心素养 数学建模：不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养 对称性，传递性 同加保序性 乘正保序性 移项法则 正数同向可乘性 乘负反序性 正数乘方保序性 【例1】已知c＞a＞b＞0，求证：eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b). 证明　由eq \f(a,c－a)－eq \f(b,c－b)＝eq \f(ac－b－bc－a,c－a·c－b)＝eq \f(a－b·c,c－a·c－b)， ∵c＞a＞b＞0， ∴a－b＞0，c＞0，c－a＞0，c－b＞0， ∴eq \f(a－b·c,c－a·c－b)＞0， 即eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b). 【变式1】将本例中的条件“c＞a＞b＞0”变为“a＞b＞0，c＜0”， 求证：eq \f(c,a)＞eq \f(c,b). 证明　因为a＞b＞0，所以ab＞0，eq \f(1,ab)＞0. 于是a×eq \f(1,ab)＞b×eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)＞eq \f(1,a).由c＜0，得eq \f(c,a)＞eq \f(c,b). 【变式2】将本例中的条件“c＞a＞b＞0”变为“已知－6＜a＜8,2＜b＜3”，如何求出2a＋b，a－b及eq \f(a,b)的取值范围？ 解　因为－6＜a＜8,2＜b＜3，所以－12＜2a＜16， 所以－10＜2a＋b＜19. 又因为－3＜－b＜－2，所以－9＜a－b＜6. 又eq \f(1,3)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，①当0≤a＜8时，0≤eq \f(a,b)＜4； ②当－6＜a＜0时，－3＜eq \f(a,b)＜0. 由①②得－3＜eq \f(a,b)＜4. ; 解:(1)∵a<b<0,∴ab>0,∴>0. ∴a·<b·,∴. 1.对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则 C.若a<b<0,则 D.若a>b,,则a>0,b<0 解析:(方法一)∵c2≥0, ∴当c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题; ∵,又a>b>0,∴>0⇒,故B为假命题; ,故C为假命题; ⇒ab<0. ∵a>b,∴a>0,且b<0,故D为真命题. (方法二)特殊值排除法,取c=0,则ac2=bc2,故A错; 取a=2,b=1,则=1,,有,故B错; 取a=-2,b=-1,则=2,有,故C错. (2)已知a>b>0,c<d<0,求证:. 证明:(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc. ∵f<e,∴f-ac<e-bc. (2)∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∴->->0. 又a>b>0,∴->->0. ∴,即->-. 两边同乘-1,得. 2.若bc-ad≥0,bd>0.求证:. 证明:∵bc-ad≥0,∴ad≤bc. ∵bd>0,∴, ∴+1≤+1, ∴. 1.若a<0<b,则下列不等式正确的是(　　) A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b| 解析:因为a<0<b,所以<0<,因此A错,B对;取a=-2,b=1, 可得a2>b2,故C错;取a=-,b=1,可得|a|<|b|,故D错,故选B. 2.已知a,b为非零实数,且a<b,则下列不等式正确的是(　　) A.a2<b2 B.a2b<ab2 C. D. 解析:对于A,当a<0,b<0时,a2<b2不成立; 对于B,当a<0,b>0时,a2b>0,ab2<0,a2b<ab2不成立; 对于C,∵a<b,>0,∴; 对于D,当a=-1,b=1时,=-1,不成立. a+>b+ 4.已知a>b>0,则a+与b+的大小关系是　　　　　　. 解析:∵a>b>0,∴,∴a+>b+. 5.已知c>a>b>0,求证:. 证明:∵c>a>b>0,∴-a<-b<0, ∴0<c-a<c-b,∴0<. 又a>b>0,∴. ①+②,得3≤2a≤6,≤a≤3.③ ②+①×(-1),得0≤2b≤3,0≤b≤.④ ③×4+④×(-2),得3≤4a-2b≤12. a=,且b=时 正解:令a+b=μ,a-b=v, 则2≤μ≤4,1≤v≤2. 由解得 则4a-2b=4·-2·=2μ+2v-μ+v=μ+3v. 而2≤μ≤4,3≤3v≤6,则5≤μ+3v≤10. 故5≤4a-2b≤10. 解:设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则所以 即3x+2y=(x+y)+(x-y). 又因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以-(x+y)<10,1<(x-y)<, 所以-(x+y)+(x-y)<,即-<3x+2y<. 基础类型一　利用不等式的性质 判断不等关系(逻辑推理) 1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac－3>bc－3 B．a2＞b2 C． eq \f(a,c2＋1) ＞ eq \f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c| 【解析】 对A，c<0时，c－3<0，有ac－3<bc－3，所以A不成立； 对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，所以B不成立； 对C，因为c2＋1≥1，且a＞b，所以 eq \f(a,c2＋1) ＞ eq \f(b,c2＋1) 恒成立，所以C正确； 对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立． 2．(2021·六安高一检测)已知a＋b<0，且a>0，则(　　) A．a2<－ab<b2 B．b2<－ab<a2 C．a2<b2<－ab D．－ab<b2<a2 【解析】由a＋b<0，且a>0，可得0<a<－b， 将不等式的两边同时乘以a，可得a2<－ab， 将不等式的两边同时乘以－b，可得－ab<b2， 从而可得a2<－ab<b2. 3．给出下列命题： ①若a>b，则ac2>bc2；②若a>b>0，则 eq \f(1,a) > eq \f(1,b) ； ③若a>b， eq \f(1,a) > eq \f(1,b) ，则a>0，b<0.其中正确命题的序号是________． 【解析】①因为c2≥0，所以c＝0时有ac2＝bc2，故①不正确； ②由a>b>0，有ab>0⇒ eq \f(a,ab) > eq \f(b,ab) ⇒ eq \f(1,b) > eq \f(1,a) ，故②不正确； ③ eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b⇒b－a<0,\f(1,a)>\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)>0⇒\f(b－a,ab)>0)) ⇒ab<0. 因为a>b，所以a>0，b<0，故③正确． 基础类型二　利用不等式的性质求式子的 取值范围(逻辑推理) 4.(2021·伊春高一检测)已知－5<x<4，2<y<3. 求(1)x－2y的取值范围； (2)3x＋2y的取值范围． 【解析】(1)因为2<y<3， 所以－6<－2y<－4， 所以－5＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6)) <x－2y<4＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4)) ， 即－11<x－2y<0. (2)因为－5<x<4，2<y<3， 所以－15<3x<12，4<2y<6， 所以－11<3x＋2y<18. 1.已知－ eq \f(1,2) ≤α<β≤ eq \f(1,2) ，求 eq \f(α＋β,2) ， eq \f(α－β,3) 的取值范围． 【解析】因为－ eq \f(1,2) ≤α<β≤ eq \f(1,2) ，所以－ eq \f(1,4) ≤ eq \f(α,2) < eq \f(1,4) ，－ eq \f(1,4) < eq \f(β,2) ≤ eq \f(1,4) . 两式相加得－ eq \f(1,2) < eq \f(α＋β,2) < eq \f(1,2) . 因为－ eq \f(1,6) ≤ eq \f(α,3) < eq \f(1,6) ，－ eq \f(1,6) ≤－ eq \f(β,3) < eq \f(1,6) ，两式相加得－ eq \f(1,3) ≤ eq \f(α－β,3) < eq \f(1,3) . 又因为α<β，所以 eq \f(α－β,3) <0，所以－ eq \f(1,3) ≤ eq \f(α－β,3) <0. 利用不等式的性质证明不等式 2.已知c>a>b>0，求证： eq \f(a,c－a) > eq \f(b,c－b) . 【证明】方法一：因为a>b>0，所以 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ， 因为c>0，所以 eq \f(c,a) < eq \f(c,b) ， 所以 eq \f(c,a) －1< eq \f(c,b) －1，即 eq \f(c－a,a) < eq \f(c－b,b) ， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以 eq \f(a,c－a) > eq \f(b,c－b) . 方法二：因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b， 所以0< eq \f(1,c－b) < eq \f(1,c－a) ，即 eq \f(1,c－a) > eq \f(1,c－b) >0， 又因为a>b>0，所以 eq \f(a,c－a) > eq \f(b,c－b) . 3.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证： eq \f(1,x) < eq \f(1,y) 的充要条件是xy>0. 【解析】方法一：充分性：由xy>0及x>y， 得 eq \f(x,xy) > eq \f(y,xy) ，即 eq \f(1,x) < eq \f(1,y) .必要性：由 eq \f(1,x) < eq \f(1,y) ， 得 eq \f(1,x) － eq \f(1,y) <0，即 eq \f(y－x,xy) <0. 因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 所以 eq \f(1,x) < eq \f(1,y) 的充要条件是xy>0. 方法二： eq \f(1,x) < eq \f(1,y) ⇔ eq \f(1,x) － eq \f(1,y) <0⇔ eq \f(y－x,xy) <0. 由条件x>y⇔y－x<0，故由 eq \f(y－x,xy) <0⇔xy>0. 所以 eq \f(1,x) < eq \f(1,y) ⇔xy>0，即 eq \f(1,x) < eq \f(1,y) 的充要条件是xy>0. 作商法比较大小 4.已知a＞1＞b＞0，比较 eq \f(a,b) ， eq \f(b,a) ， eq \f(a2,b) ， eq \f(b2,a) 的大小关系． 【解析】因为 eq \f(\f(b,a),\f(a,b)) ＝ eq \f(b2,a2) ＜1，所以 eq \f(b,a) ＜ eq \f(a,b) ， 因为 eq \f(\f(b2,a),\f(a2,b)) ＝ eq \f(b3,a3) ＜1，所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(a2,b) ， 因为 eq \f(\f(b2,a),\f(b,a)) ＝b＜1，所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(b,a) ， 因为 eq \f(\f(a2,b),\f(a,b)) ＝a＞1，所以 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a2,b) ， 所以 eq \f(b2,a) ＜ eq \f(b,a) ＜ eq \f(a,b) ＜ eq \f(a2,b) . 待定系数法求取值范围(逻辑推理) 1. (2021·石家庄高一检测)若实数α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β 的取值范围为________． 【解析】设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)， 则α＋3β＝(x＋y)α＋(x＋2y)β， 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x＋2y＝3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2)) ， 所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)， 由－1≤α＋β≤1得－1≤－(α＋β)≤1， 由1≤α＋2β≤3得2≤2(α＋2β)≤6， 所以1≤α＋3β≤7. 答案：1≤α＋3β≤7 【解析】选C.令s＝x－y，t＝4x－y， 则x＝ eq \f(t－s,3) ，y＝ eq \f(t－4s,3) ， 则3x＋y＝3× eq \f(t－s,3) ＋ eq \f(t－4s,3) ＝ eq \f(4t－7s,3) ， 又－4≤s≤－1，－1≤t≤5， 所以 eq \f(7,3) ≤－ eq \f(7s,3) ≤ eq \f(28,3) ，－ eq \f(4,3) ≤ eq \f(4t,3) ≤ eq \f(20,3) ， 所以1≤ eq \f(4t－7s,3) ≤16， 所以3x＋y的最大值为16. 2.已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则3x＋y的最大值为(　　) A．8 B．9 C．16 D．18 $$