第1章 勾股定理（单元复习课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第一章 勾股定理 八年级北师大版数学上册 单元考点串讲 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 考点透视 C 典例剖析 C 典例剖析 A 典例剖析 A 典例剖析 64 典例剖析 13 典例剖析 5 cm 典例剖析 典例剖析 典例剖析 A 等腰三角形或直角三角形 典例剖析 典例剖析 典例剖析 典例剖析 典例剖析 易错易混 【易错分析】 1．勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，只有在直角三角形中才有两边(较小的两边)的平方和等于第三边(最长的边)的平方，非直角三角形不具备这种关系． 2．注意隐含条件． 3．注意应用的区别． 易错点一 受思维定式影响而造成错解 正解： 在Rt△ABC中，由勾股定理，得c²=a²-b²，所以c²=8²-6²=28，所以c为边长的正方形的面积为28. 例 1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A=90°，a=8，6=6，求以c为边长的正方形的面积. 易错点二 未分清直角边和斜边，造成漏解 正解： 当边BC为直角三角形的斜边时，在 Rt△ABC中，由勾股定理，得BC²=AC²+BC² =6²+8² =100； 当边BC为直角三角形的直角边时，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC²=AB²-BC² = 8²-6² = 28. 综上所述，BC²=100或28. 例 2.在Rt△ABC中，AC=6，AB=8，求BC². 易错点三 忽略勾股定理的适用范围 正解： 根据三角形的三边关系，可得AC-BC<AB<AC+BC，即 1<AB<7. 因为 AB>AC，所以 AB>4，所以 4<AB<7. 因为△ABC 的边长为整数，所以 AB=5 或 6. 例 3.在边长为整数的△ABC中，AB>AC，已知AC=4，BC=3，求AB的长. 易错点四 忽略三角形形状未确定造成漏解 例 4.[临沂郯城县期中]在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AH=8，求BC的长. 解：在Rt△ABH中，AB=17，AH=8， 由勾股定理得BH²=AB²-AH²=225，所以BH=15； 在RtΔACH中，AC=10，AH=8， 由勾股定理得CH²=AC²-AH²=36，所以CH=6. 所以当AH在三角形的内部时，如图① BC=BH+CH= 15+6=21； 当AH在三角形的外部时，如图②， BC=BH-CH= 15-6= 9. 所以BC的长为21或9. 易错点五 立体图形中求最短路程出错 例 5.有一长方体纸盒如图所示，小明所在的数学兴趣小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短路程.若长方体的长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组计算出在表面上由A点到B点的最短路程（21.59²≈466，19.24²≈370，18.44²≈340，精确到0.01） 错解：如图①，展开后连接AB，则AB 就是在表面上A 点到B点的最短路程， 因为∠AEB=90°，AE=12+9=21，BE=5， 所以在Rt△AEB中，由勾股定理，得AB² =AE²+BE² =21²+5² =466，所以 AB≈21.59. 所以由A点到B点的最短路程为21.59. 解法一：如图②，展开后连接AB，则AB就是在表面上A点到B点的最短路程. 因为∠ACB= 90°，AC= 12，BC=9+5=14，所以在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB²=AC²+BC² = 12²+14² = 340，所以 AB≈18.44. 解法二：如图③，展开后连接AB，则AB就是在表面上A点到B点的最短路程. 因为∠ADB = 90°，AD = 5+ 12 = 17，BD=9，所以在 Rt△ADB 中，由勾股定理，得 AB² = AD² + BD² = 17²+9²=370，所以 AB=19.24. 因为18.44<19.24<21.59，所以由A点到B点的最短路程如图②所示的路线长，即最短路程约为18.44. 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 A 技巧总结 C 技巧总结 技巧总结 技巧总结 B C 考场练兵 B C 考场练兵 C D 考场练兵 B B 考场练兵 D D 考场练兵 3、4、5 200 17 考场练兵 是 84 直角 考场练兵 150cm 76 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 勾股定理及应用 1．直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18,8，则较长直角边的长为(　　) A．20　　　 B．16　　　 C．12　　　 D．8 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于(　　) A．eq \f(10,13) B．eq \f(15,13) C．eq \f(60,13) D．eq \f(75,13) 3．如图，正方体盒子的棱长为3，BM＝2，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是(　　) A．5 B．4 C．6 D．7 4．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为(　　) A．(eq \f(1,2))6 B．(eq \f(1,2))7 C．(eq \f(1,2))8 D．(eq \f(1,2))9 5．若一个三角形的三边长分别为5,12，x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　 　. 6．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 13或eq \r(119) 7．如图，∠AOB＝90°，OA＝25 m，OB＝5 m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么为机器人行走的路程BC是 m. 8．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝eq \f(25,8)π，S2＝2π，则S3＝　 　. 9．如图，圆柱的底面周长为8 cm，点B距离底面3 cm，则在圆柱底面和B正对的圆周上一点A与B的最近表面距离是 . eq \f(9,8)π 10．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米．求小明到达的终止点B与原出发点C的距离． 解：过点C作一条虚线CA⊥AB(垂足为A)，∵BA⊥AC于点A，在Rt△ACB中，BC2＝AC2＋AB2.∴BC2＝802＋602＝1002.BC＝100(米)． 11．已知，如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝AP2＋BC2. 证明：连接BM，∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得，BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2，∴BP2＝BC2＋AP2. 直角三角形的判定 12．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为(　　) ①a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(1,5)；②a＝6，∠A＝45°；③∠A＝32°，∠B＝58°；④a＝7，b＝24，c＝25；⑤a＝2，b＝2，c＝4. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 13．若△ABC的三边a、b、c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是 ． 14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝24 cm，AD＝BC＝50 cm，E是AD上的一点，且AE∶ED＝9∶16，试猜想∠BEC是锐角、钝角还是直角？并证明你的猜想． 解：∠BEC是直角．证明：∵AD＝50 cm，AE∶ED＝9∶16，∴AE＝18 cm，ED＝32 cm，又∵∠A＝∠D＝90°，由勾股定理，得BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝30(cm)，EC＝eq \r(ED2＋DC2)＝40(cm)，又∵BE2＋EC2＝302＋402＝502＝BC2.∴∠BEC为直角． 15．观察下面的表格所给出的三个数a、b、c，a＜b＜c. 3,4,5 32＋42＝52 5,12,13 52＋122＝132 7,24,25 72＋242＝252 9,40,41 92＋402＝412 … … 21，b，c 212＋b2＝c2 (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论； (2)当a＝21时，求b、c的值． 解：(1)共同点：①都满足较小两个数的平方和等于大数的平方，②最小的一个数是奇数，另外两个数是连续的正整数，③最小一个数的平方等于另两个数的和．即m2＝n＋(n＋1)，m为最小的数； (2)b＝220，c＝221. 16．为了丰富少年儿童的课余文化生活，某社区要在 如图所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区 有两所学校，所在的位置在点C和D处，CA⊥AB于 点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km.试问：阅览室E应建在距点A多远，才能使它到C、D两所学校的距离相等？ 解：设阅览室E到A的距离为x km，在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2＝AC2＋AE2＝152＋x2，DE2＝BE2＋DB2＝(25－x)2＋102，∵CE＝DE，∴152＋x2＝(25－x)2＋102，∴x＝10，∴阅览室E应建在距点A处10 km远． 强化技巧1：利用勾股定理求线段长 1．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，求BP的最小值． 解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3.由勾股定理，得AD＝4，又∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝12，∴当BP⊥AC时，BP最小，此时S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BP＝12，∴BP的最小值为eq \f(24,5). 2．如图所示，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，试求AC的长． 解：在Rt△BCE中，EC2＝BE2－BC2＝132－52＝122，∴EC＝12.又∵DE＝7，∴CD＝EC－DE＝5.在Rt△ACD中，AC2＝AD2－CD2＝132－52＝122，∴AC＝12. 3．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，将Rt△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求CD的长． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13.由折叠的特性，知CD＝DE，AC＝AE，∠AED＝∠C＝90°.设CD＝x，则DE＝x，DB＝12－x，BE＝AB－AE＝13－AC＝13－5＝8.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，即x2＝(12－x)2－82，解得x＝eq \f(10,3)，∴CD＝eq \f(10,3). 解：连接EB.∵AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BE2＝22＋42＝20，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE为直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥EA. 强化技巧2：勾股定理的逆定理及应用 4．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB、EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明AB⊥EA. 5．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状． 解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵CD＝BD，∠ADC＝∠EDB，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB，∴AD＝DE＝6，AC＝BE＝13，在△AEB中，AE2＋AB2＝122＋52＝169＝BE2，∴∠EAB＝90°，∴△ABD为直角三角形． 6．要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，已知∠B＝90°，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？ 解：连接AC.∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，BC＝7，∴AC2＝AB2＋BC2＝242＋72＝625，故AC＝25.∵在△ACD中，CD＝15，AD＝20，∴152＋202＝252＝AC2.∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°.∴这个零件符合要求． 强化技巧3：利用勾股定理求最短路线 7．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55 dm,10 dm,6 dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，请你想一想，蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？ 解：将原图中的台阶面拉平，成为如图所示的平面． 连接AB，得到Rt△ACB，AC＝3×(10＋6)＝48(dm)，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝482＋552＝732.∴AB＝73 dm，∴蚂蚁所爬的最短路程为73 dm. 解：将侧面沿AB展开，CF为最短路线．如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16(cm)，CE＝eq \f(1,2)×60＝30(cm)，由勾股定理，得CF2＝EC2＋EF2＝342，∴CF＝34 cm，∴蜘蛛所走的最短路线长为34 cm. 8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底1 cm 的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛 相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇， 试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度． 强化技巧4：立体图形内的最长线段 9．如图，有一长、宽、高分别为12 cm,4 cm,3 cm的长方体木箱，在它里面放一根细木条(木条的粗细忽略不计)要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是(　　) A．13 cm B．14 cm C．15 cm D．16 cm 10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(　　) A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤15 强化技巧5：综合创新题 11．牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚， 牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家． 已知A点到河边的距离AC为500 m，点B到河边的 距离BD为700 m，且CD＝500 m. (1)请在原图上画出牧童回家的最短路线； (2)求出最短路线的长度． 解：(1)作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，点P即为所求作的点，牧童回家的最短路线为A—P—B； (2)由作图可得最短路程为A′B的距离．过点A′作A′F⊥BD的延长线于点F，则DF＝A′C＝AC＝500 m，A′F＝CD＝500 m，BF＝700＋500＝1200(m)．根据勾股定理，得A′B2＝12002＋5002＝13002，∴A′B＝1300 m．即最短路线的长度为1300 m. 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组数据中，不能组成直角三角形的是(　　) A．3、4、5 B．1、2eq \f(1,3)、3 C．1、1eq \f(1,3)、1eq \f(2,3) D．6、8、10 2．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和； ②三个内角之比为3∶4∶5；③三边长分别为7、24、25；④三边之比为5∶12∶13.其中直角三角形的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若△ABC的三边a、b、c满足(a2＋b2)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是(　　) A．100π－24 B．100π－48 C．25π－24 D．25π－48 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝9，AD＝12，AC＝20，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．如图所示，长方形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小长方形的周长之和为(　　) A．14 B．16 C．20 D．28 7．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(　　) A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF 8．如图所示，一个棱长为3 cm的魔方，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的边长都是1 cm，如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A、B间的最短距离d满足(　　) A．4＜d＜5 B．5＜d＜6 C．6＜d＜7 D．d＜4或d＞7 9．有一根钢管，不知道它有多长，把钢管横放在一扇门前，钢管的长度比门宽多4尺，把钢管竖放在这扇门前，钢管的长度比门高多2尺，把钢管斜放，钢管正好和这扇门的对角线等长，则钢管的长为(　　) A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 10．已知△ABC的三边分别为BC＝3，AC＝4，AB＝5.将△ABC沿最长边AB翻折成同一平面内的△ABC′，则CC′等于(　　) A.eq \f(12,5) B．eq \f(5,12) C．eq \f(5,6) D．eq \f(24,5) 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．直角三角形三边是连续整数，则这个三角形的各边分别为 . 12．一艘帆船由于风向的原因先向正东航行了160千米，然后向正北方向航行了120千米，这时它离出发点的距离是 千米． 13．有一个高15 cm，底面周长为8 cm的圆柱形包装盒，如图所示，要从点A开始沿包装盒表面缠一条丝带，正好达到点A的正上方点B，丝带最短需要 cm. 14．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70 km/h，如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向B处行驶．某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30 m处的点C，过了2 s后，测得小汽车与速度检测仪之间的距离AB为50 m，这辆小汽车 ______超速(填“是”或“否”)． 15．如图所示，点D为△ABC的边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则S△ABC＝ . 16．已知△ABC的三边a、b、c满足a＋b＝8，ab＝4，c2＝56，则△ABC是 三角形． 17．如图，在一根长90cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为　　 . 18．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是 . 三、解答题(共66分) 19．(8分)一个零件的形状如图所示，已知AC＝3 cm，AB＝4 cm，BD＝12 cm.求CD的长． 解：在Rt△ABC中，BC2＝CA2＋BA2，在Rt△BDC中，CD2＝BC2＋BD2，∴CD2＝BC2＋BD2＝CA2＋BA2＋BD2＝32＋42＋122＝132，∴CD＝13cm. 20．(8分)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13.试说明：AB⊥AD. 证明：如图， 21．(8分)(襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝eq \r(3)，AD＝1，AB＝2AC，求BC的长． 解：分两种情况： (1)当△ABC是锐角三角形，如图①，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵CD＝eq \r(3)，AD＝1，∴AC＝2.∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4－1＝3，∴BC＝eq \r(CD2＋BD2)＝eq \r(\r(3)2＋32)＝2eq \r(3)； (2)当△ABC是钝角三角形，如图②，同理得：AC＝2，AB＝4，∴BD＝1＋4＝5∴BC＝eq \r(CD2＋BD2)＝eq \r(\r(3)2＋52)＝2eq \r(7).综上所述，BC的长为2eq \r(3)或2eq \r(7). 22．(8分)将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h(彩旗完全展平时的尺寸如图②所示)． 解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长．因为1202＋902＝22500，所以彩旗的对角线的长为150cm.所以h＝320－150＝170(cm)．即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm. 23．(10分)如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm.求EC的长． 解：由折叠的性质可得AF＝AD＝10cm，EF＝ED.在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，所以BF＝6cm.所以FC＝BC－BF＝10－6＝4cm.设EC＝xcm，则EF＝DE＝DC－EC＝(8－x)cm.在Rt△ECF中，根据勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.所以EC的长为3cm. 24．(12分)圣诞节期间，在外上学的小颖同学买了一份礼物送给妈妈，为了邮寄方便，她把礼物装在一个长方体礼盒内，且用彩带装饰礼盒．如图所示，长方体高6 cm，底面是边长4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带，所用彩带的长度最短？最短长度是多少？ 解：最短彩带有两种贴法： 25．(12分)如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，若将足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P. (1)能否使三角板两直角边恰好同时通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； (2)再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由． 解：(1)能．设AP＝xcm，由BP2＝16＋x2，CP2＝16＋(10－x)2在Rt△PBC中，有BP2＋CP2＝BC2,16＋x2＋16＋(10－x)2＝100，∴x2－10x＋16＝0，即(x－5)2＝9，∴x＝8或x＝2，即AP＝8cm或2cm；　 (2)能．仿照(1)可求得AP＝4cm. $$