12.2一次函数的图象及其性质（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.2 一次函数 第二课时 一次函数的图象及其性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解一次函数的图象与性质．（重点） 2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题．（难点） 情景导入 形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数称为正比例函数，当y=kx+b中b=0时，y=kx+b就变成了正比例函数,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数称为一次函数 什么样的函数是一次函数？ 什么样的函数是正比例函数？它同一次函数有什么关系？ 正比例函数的图象是一条经过 点的 . 原 直线 正比例函数图象性质是什么？ 答：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x增大而增大； 当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x增大而减小． 情景导入 一次函数图象的画法步骤是什么？ ①列表 ②描点 ③连线 正比例函数 解析式 y =kx（k≠0） 性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0） 图象：经过原点和 （1，k）的一条直线 x y O k＞0 k＜0 x y O ？ ？ 情景导入 本节课我们就来探讨一次函数的图象及其性质把右侧的图表填写完整吧！ 1.一次函数的图象与性质 新知探究 课本例2.请使用图像法画出y=2x＋3的图象 第一步：列表（求出点的坐标位置） x –2 –1 0 1 2 y=2x+3 -1 1 3 5 7 1 2 3 4 x -1 -2 o 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 -4 y y=2x y=2x+3 第二步：描点 第三步：连线 我们再根据以上步骤画出 y=2x 的图象 对比二者的图象可以谈谈你有什么发现吗？ x –2 –1 0 1 2 y=2x -4 -2 0 2 4 1.这两个函数的图象都是 ，并且它们的位置关系是 . 2.函数y=2x的图象经过原点，函数y=2x+3的图象与y轴交于点 即它可以看作直线y=2x向 平移 个单位长度而得到. 直线 平行 上 3 （0，3） 对比二者的图象可以谈谈你有什么发现吗？ x –2 –1 0 1 2 y=2x -4 -2 0 2 4 y=2x+3 -4+3 -2+3 0+3 2+3 4+3 一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.一般过(0,b)和(1,k+b)或( ,0) 概念归纳 一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）有下列性质： (1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； (2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 画出y=-2x与y=-2x＋3的图象 x … -1 0 1 2 … y=-2x … 2 0 -2 -4 … y=-2x+3 … 5 3 1 -1 … y=-2x+3 y=-2x 一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限： ①k＞0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝x＋b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝x＋b的图象在二、三、四象限． 概念归纳 用图像归纳表示为 图象 k>0 k<0 b>0 b<0 (0, b) ( , 0) 与y轴交于点（0，b),b叫做直线 y=kx+b在y轴上的截距． 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位的长度得到（当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移）. 2.一次函数的截距 新知探究 解：对于y = x-2,有 过两点（0， -2），（3, 0）画直线，即得y = x-2的图象.它的截距是-2，如右图 课本例3.画出直线y= x-2,并求它的截距. y -2 0 x 0 3 1 2 3 4 x -1 -2 o 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y y= x-2 课本例题 1.将直线y＝2x向上平移4个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝4x－1 B．y＝4x－2 C．y＝4x＋1 D．y＝4x＋2 2.将正比例函数y＝－8x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是__________ (写出一个即可)． B y＝－8x+3 练一练 3.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？ 【解】当2m－1＜0， 即m＜ 时， y随x的增大而减小. 练一练 4.已知一次函数y＝(2m＋1)x＋m＋2，y随x增大而减小，且它的图象在y轴上的截距在x轴的上方，求整数m的值． 练一练 5.已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限； 解：(1)由题意得1-2m>0，解得 (2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即 (3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 练一练 课本练习 1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1) y =-8x; (2) (3) y = 8x²; (4) y = 8x -4. 解（1）是正比例函数 （1）（4）是一次函数 2.填空： （1）正比例函数 y = 4x 的图象，一定经过点（ ）和点（ ）的图象； （2）把直线 y=x 向上平移 2 个单位，所得直线是函数 的图象 （3）把函数y=-2x+3 的图象向 平移 个单位，可以得到函数 y =-2x 的图象. 0,0 1,4 y=x+2 下 3 3.画出下列一次函数的图象： （1）y = 3x +1； （2）y =-3x-1； （3）； （4）4. 1.填空： （1）对于函数 y = 7x，y随x的 而增大； （2）对于函数y=-2x +3，y随x的增大而 . 2.已知一次函数 y =（2m +1）x +5. 若 y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围. 增大 减小 解：由题意，得2m+1>0,即 3.直线y=-2x+3经过点A和B，当 > 时， 与哪个大？ 4.当 m取何值时，一次函数y =（m-1）x+m²-1的图象经过原点？ 5，当b>0时，y=x+b的图象经过哪几个象限？当b<0时呢？ 解：y=-2x+3,k=-2<0为减函数， 对于A（ ） B > ，所以 解：当b>0时，图象经过第一、二、三象限，当b<0时，图象经过第一、三、四象限 解：由题意得 B B 随堂练 D 二 减小 ①④⑤ 随堂练 随堂练 A A 随堂练 B 随堂练 y＝3x 随堂练 随堂练 直线 (0，b) (0，b) b 分层练习-基础 C D 分层练习-基础 |b| b＞0 b＜0 C y＝－2x＋2 分层练习-基础 增大 上升 下降 ＞ 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 C D B 分层练习-巩固 y1＞y2 ±2 y＝－x＋3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 C 课堂反馈 一次函数函数的图象和性质 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 与y轴的交点是（0，b）， 与x轴的交点是（ ，0）， 当k>0， b>0时，经过一、二、三象限； 当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限； 当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限； 当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限. 图象 性质 课堂小结 1．关于正比例函数y＝－2x，下列结论中正确的是(　　) A．函数图象经过点(－2,1) B．y随x的增大而减小 C．函数图象经过第一、三象限 D．不论x取何值，总有y＜0 2．下面所给点的坐标满足y＝－2x的是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(2,1) 3．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点(1，－1)，则m的值是(　　) A．－1 B．0 C．eq \f(1,2) D．1 4．在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P(m,5)在第 象限． 5．(上海中考)已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x值的增大而 (填“增大”或“减小”)． 6．下列函数：①y＝－3x；②y＝－eq \f(3,x)；③y＝－eq \f(3,2)x2；④y＝eq \f(x,3)＋1；⑤6x－2y＝3.其中y是x的一次函数的是 (填序号)． 7．已知函数y＝(a－3)x3－|a|＋a＋2. (1)当a取何值时，这个函数是一次函数； (2)当a取何值时，这个函数是正比例函数？并写出函数的解析式． 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3≠0,3－|a|＝1)) ，解得a＝±2.∴当a＝±2时，这个函数是一次函数； (2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3≠0,3－|a|＝1,a＋2＝0))， 解得a＝－2，则函数的解析式为y＝－5x. 8．(陕西中考)若正比例函数y＝－2x的图象经过点O(a－1,4)，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 9．(陕西中考)若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)、B(m，－4)两点，则m的值为(　　) A．2 B．8 C．－2 D．－8 10．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx.将a、b、c从小到大排列为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 11．若正比例函数y＝(2m＋1)x2－m2，y随x的增大而增大，则正比例函数的解析式为 . 12．已知y－2与x成正比例，当x＝3时，y＝1，那么y与x之间的函数解析式 为　 　. y＝－eq \f(1,3)x＋2 13．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，当x1＜ x2时，y1＞y2，则m的取值范围是　 　. m＞eq \f(1,2) 14．已知正比例函数y＝(1－2a)x. (1)a为何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)a为何值时，y随x的增大而减小？ (3)若函数图象经过(－1,2)，求此函数解析式并画出图象． 解：(1)a＜eq \f(1,2)；(2)a＞eq \f(1,2)；(3)y＝－2x，图略． 知识点一：一次函数的图象 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条 ，画一次函数的图 象，为了便于作图，通常取坐标轴上的 与 两点．直线y＝kx＋b与y轴相交于点 ， 叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距． (－eq \f(b,k)，0) 1．(湘潭中考)若b＞0，则一次函数y＝－x＋b的图象大致是(　　) 2．(抚顺中考)一次函数y＝－x－2的图象经过(　　) A．第一、二、三象限　　　　　　 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 知识点二：一次函数图象的平移 直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx上下平移 个单位而得到，当 时，向上平移，当 时，向下平移． 3．(南充中考)直线y＝2x向下平移2个单位长度得到的直线是(　　) A．y＝2(x＋2) B．y＝2(x－2) C．y＝2x－2 D．y＝2x＋2 4．将一次函数y＝－2x－1的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数关系式为 . 知识点三：一次函数的性质 一般地，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)有下列性质：①当k＞0时，y随x的增大而 (图象是自左向右 的)．②当k＜0时，y随x的增大而减小(图象是自左向右 的)． 5．(济宁中考)在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，若x1＜x2，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 6．作出一次函数y＝2x－1的图象，根据图象回答问题： (1)y的值随x的变化怎样变化？ (2)指出图象与两坐标轴的交点坐标． 解：图象如图： (2)与x轴交点坐标为(eq \f(1,2)，0)；与y轴交点坐标为(0，－1)． 7．对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是(　　) A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝－2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4) 8．A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)、B(x，y)，下列结论正确的是(　　) A．a＞0　　　　　　 B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜0 9．(贵阳中考)一次函数y＝kx－1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为(　　) A．(－5,3) B．(1，－3) C．(2,2) D．(5，－1) 10．一次函数y＝kx＋b不经过第三象限，则下列结论正确的是(　　) A．k＜0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＞0，b≤0 D．k＜0，b≥0 11．一次函数y＝mx＋|m－1|(m≠0)的图象过点(0,2)，且y随x的增大而增大，则m等于(　　) A．－1 B．3 C．1 D．－1或3 12．(眉山中考)已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为 . 13．已知一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴的上方， 且y随x的增大而减小，则a的取值范围是 . 14．若直线y＝kx－6与坐标轴围成的三角形面积为9，则k＝ . 15．一个y关于x的函数同时满足下列两个条件：①图象过点(2,1)；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数的解析式为 (写出一个即可)． 2＜a＜eq \f(7,3) 16．已知函数y＝(2m＋1)x＋m＋2. (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该一次函数y随着x的增大而减小，且它的图象在y轴上的截距在x轴的上方，求整数m的值． 解：(1)∵函数图象经过原点，∴m＋2＝0，∴m＝－2；　 (2)由题意得：2m＋1＜0，m＋2＞0，∴－2＜m＜－eq \f(1,2).而m为整数，∴m＝－1. 17．已知y＝(k－1)xk2＋3是一次函数． (1)求函数解析式； (2)画出图象并分析函数的增减性； (3)求此直线与两坐标轴围成的三角形面积． 解：(1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝1,k－1≠0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝±1,k≠1))，∴k＝－1，即所求的一次函数为y＝－2x＋3；　 (2)图象略，由图象知从左到右是下降的，所以y随x的增大而减小；　 (3)由图象可知：S△＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×3＝eq \f(9,4). 18．如图，点B是直线y＝－x＋8在第一象限的一动点，A(6,0)，设△AOB的面积为S. (1)写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (2)△AOB的面积能等于30吗？为什么？ 解：(1)S＝－3x＋24(0＜x＜8)；　 (2)不能，因为S＝30时，x＝－2，点B在第二象限，与题意不符． 　一次函数的图象与性质． 【例1】已知一次函数y＝(3a－2)x＋(1－b)，求字母a、b的取值范围，使得：(1)y随x的增大而减小；(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方；(3)函数的图象不经过第四象限． 【思路分析】根据一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象特征判断k、b的符号的方法是：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象从左到右是上升的，则k＞0；从左到右是下降的，则k＜0；直线y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点在x轴上方时，b＞0；在x轴下方时，b＜0. 【规范解答】(1)当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，即3a－2＜0，∴a＜eq \f(2,3)且b为任意实数； (2)函数图象与y轴的交点为(0,1－b)，∵交点在x轴的下方，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a－2≠0,1－b＜0))，即a≠eq \f(2,3)，b＞1； (3)分两种情况：①过一、三象限；②过一、二、三象限．则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a－2＞0,1－b≥0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞\f(2,3),b≤1)). 　一次函数图象的识别． 【例2】已知关于x的一次函数y＝mx－(m－3)，下列图象中不可能是它的图象的是(　　) 【思路分析】一次函数y＝mx－(m－3)中，x的系数m决定着直线从左至右上升或下降的趋势，－(m－3)即3－m决定着直线与y轴的交点是在正半轴、负半轴还是原点，这两个方向不得有矛盾之处，应该结合一次函数的图象进行分析．在选项A中，函数图象过第一、二、三象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0,3－m＞0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0,m＜3))，即0＜m＜3.在选项B中，函数图象过第一、三象限和原点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0,3－m＝0))，∴m＝3.在选项C中，函数图象过第二、三、四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0,3－m＜0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0,m＞3)).此不等式组无解，故此函数图象是不可能的．在选项D中，函数图象过第一、二、四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0,3－m＞0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0,m＜3))，∴m＜0. 【方法归纳】运用数形结合思想，根据表达式中的系数对图象特征的决定作用去思考，存在矛盾的图象便是错误的． $$