11.2三角形的外角（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 第三课时 三角形的外角 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（重点） 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° 情景导入 旧知回顾 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 情景导入 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的什么角呢？ 1.三角形的外角的概念 新知探究 将△ABC的一边BC延长至D点，得到∠ACD， ∠ACD就称作是△ABC的一个外角 概念归纳 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. D B A C 1 2 3 4 外角 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? D B A C 不相邻内角 1 2 3 4 外角与相邻内角有什么特殊关系？ ∠4+∠3=180° 外角与不相邻内角的大小不能确定 发现： 1.每一个三角形都有６个外角． 3.每个外角与相应的内角是邻补角． 2.每一个顶点相对应的外角都有２个． 且这2个角为对顶角. 相邻内角 外角 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 每一个三角形都有6个外角． 概念归纳 F A B C D E 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 2.三角形的外角的性质 新知探究 问题4 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°， 由三角形内角和定理，我们可以得到∠C=180 ° －（ ∠A＋∠B）=90°， 即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形. 由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形. D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 概念归纳 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 概念归纳 根据这个推论，我们还可以得到：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 练一练 如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝______度． 例1 根据平行线的性质求出∠C， 再根据三角形外角性 质即可求出∠3. ∵AB∥CD，∠1＝45°， ∴∠C＝∠1＝45°. 又∵∠2＝35°， ∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°. 分析： 80° 典例剖析 三角形外角的性质可以表示为角的和也可以表示 为角的差.如图，∠1为△ABC的外角，则其表现形式 有以下三种： ∠1=∠A+∠C. ∠A=∠1－∠C. ∠C=∠1－∠A. 概念归纳 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 练一练 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 典例剖析 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 例3.如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 典例剖析 现在回到我们最初提出的问题. 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 3.三角形的外角和 新知探究 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 首先，我们将实际问题转化成数学问题. 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD +(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 注意：三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各取一个外角的和. 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 练一练 2.如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　) A．∠HBA是△ABC的外角 B．∠HBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 D 3.(中考·柳州)图中∠1的大小等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° D 练一练 4.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这 个三角形是(　　) A．直角三角形 　　　 B．锐角三角形 C．钝角三角形 　　　 D．钝角三角形或锐角三角形 C 练一练 5.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B 练一练 6.如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是(　　) A．∠2＝∠4＋∠7 　 B．∠3＝∠1＋∠7 C．∠1＋∠4＋∠6＝180° D．∠2＋∠3＋∠5＝360° B 练一练 7.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 练一练 1 2 3 B A C P N M D E F 8.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________. 360° 练一练 38 1.如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数： （1） （2） （3） 1 1 1 2 2 2 60° 80° 30° 40° 40° ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 课本练习 ∠1 = 55° ∠2 = 70° ∠1 = 80° ∠2 = 40° ∠1 = 60° ∠2 = 30° 课本练习 解：(1) x = 33．(2) x = 60．(3) x = 54．(4) x = 60. 1.求出下列图形中的x的值: 习题11.2 复习巩固 解：（1）一个三角形最多有一个直角，因为如果有两个或三个直角，那么三个内角的和就大于 180° 了； （2）一个三角形最多有一个钝角，因为如果有两个或三个钝角，那么三个内角的和就大于 180° 了； （3）不可以，因为如果一个外角是锐角，那么与它相邻的内角必为钝角，那就是钝角三角形，而不是直角三角形了． 2.(1)一个三角形最多有几个直角?为什么? (2)一个三角形最多有几个钝角?为什么? (3)直角三角形的外角可以是锐角吗?为什么? 复习巩固 解：∵ ∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°， ∴ ∠C = ∠A + 10° + 10° = ∠A + 20°． 在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴ ∠A + ∠A + 10° + ∠A + 20° = 180°， 解得 ∠A = 50°． 则∠B = 50° + 10° = 60°，∠C = 50° + 20° = 70°. 3.△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠B+10°.求△ABC 的各内角的度数. 复习巩固 解法 1：由 AD⊥BC，得∠ADB = 90°． 由∠1 + ∠2 = 90°，∠1 =∠2，得∠2 = 45°. ∴∠BAC = 180° – ∠C – ∠2 = 70°． 解法 2：由 AD⊥BC，得∠ADC = 90°． ∴∠CAD = 90° – ∠C = 90° – 65° = 25°． 由∠1 + ∠2 = 90°，∠1 = ∠2，得∠1 = 45°. ∴∠BAC = ∠1 + ∠CAD = 45° + 25° = 70°. 4.如图,AD⊥BC，∠1=∠2,∠C=65°,求∠BAC的度数. 复习巩固 解：∵ AB // CD，∠A = 40°， ∴ ∠1 = ∠A = 40°． ∵∠D = 45°， ∴∠2 = ∠1 + ∠D = 40° + 45° = 85°． 5.如图, AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°.求∠1和∠2的度数. 综合运用 解：∵AB // CD，∠A = 45°， ∴∠DOE = ∠A = 45°． ∵∠DOE = ∠C + ∠E， ∴∠C + ∠E = 45°. 又∵∠C = ∠E， ∴∠C + ∠C = 45°， ∴∠C = 22.5°． 6.如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=∠E,求∠C的度数. 综合运用 解：依题意知： ∠ABC = 80° – 45° = 35°， ∠BAC = 45° + 15° = 60°， ∴∠ACB = 180° – 35° – 60° = 85°． 7.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向, C处在B处的北偏东80°方向,求∠ACB的度数. 综合运用 解：依题意知 ∠BDC =∠A + ∠ACD = 62° + 35° = 97°， ∠BFD = 180° – ∠BDC – ∠ABE = 180° – 97° – 20° = 63°． 8.如图,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于点F,∠A= 62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数. 综合运用 解：∵∠A +∠ABC +∠ACB = 180°，∠A = 100°， ∴∠ABC +∠ACB = 180° – ∠A = 180° – 100° = 80°． 又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4， ∴∠2 = ∠ABC，∠4 = ∠ACB． ∴∠2 +∠4 = （∠ABC + ∠ACB）= ×80° = 40°． ∴ x° = 180° – (∠2 + ∠4) = 180° – 40° = 140°，即 x = 140． 9.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,求x的值. 综合运用 10.如图,AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°,填空： ∵AB∥CD, ∴∠1+45°+∠2+45°=________. ∴∠1+∠2=_______. ∴∠E=________. 180° 90° 90° 拓广探索 证明：∵∠BAC 是△ACE 的一个外角， ∴∠BAC = ∠ACE + ∠E. ∵ CE 平分∠ACD， ∴∠ACE = ∠DCE. ∴∠BAC = ∠DCE + ∠E， 又∵∠DCE 是△BCE 的一个外角， ∴∠DCE = ∠B + ∠E． ∴∠BAC = ∠B + ∠E +∠E = ∠B + 2∠E． 11.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线 于点E.求证∠BAC=∠B+2∠E. 拓广探索 延长线 △ACD △DBE △DBE或△ABD 120° 分层练习-基础 不相邻 360° C B 分层练习-基础 分层练习-基础 ＝ ＞ ＞ 分层练习-基础 A 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 C C 40° 分层练习-巩固 80° 140 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 辅助线总结 ①求角的度数，通过三角形一顶点的平行线，利用平行线的性质解决 ②求角的度数，延长三角形一边或连接并延长，利用三角形外角性质解决 课堂小结 知识点一：三角形的外角 三角形的一边与另一边的 组成的角叫做三角形的外角． 1．如图所示，在△ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，∠ADB是 的外角，∠AEB是 的外角，∠CDA是 的外角． 2．三角形中有一内角是60°，则与它相邻的外角是 . 知识点二：三角形外角的性质 三角形的外角等于与它 的两个内角的和．三角形的外角和等于 . 3．如图，平面上直线a、b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a、b相交所成的锐角是(　　) A．20°　　　　 B．30°　　　　 C．70°　　　　 D．80° 4．如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于(　　) A．35° B．95° C．85° D．75° 5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BCD＝100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数． 解：∵∠BCD＝100°，∠BCD＝∠B＋∠A，∠B＝40°，∴∠A＝60°.∵∠BCD＋∠BCA＝180°，∴∠BCA＝80°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝40°. 能力点：判断角的大小关系 三角形的外角性质不仅可以用来计算角度，还可以结合不等式的性质用来判断角的大小关系． 6．用“＞、＜、＝”填空． (1)∠B＋∠A　　∠ACD； (2)∠ACD　　∠A，∠ACD　　∠B. 7．如图所示，下列结论正确的是(　　) A．∠1＞∠2＞∠A B．∠1＞∠A＞∠2 C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠1＞∠A 8．(海南中考)将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为(　　) A．10°　 B．15°　 C．20°　 D．25° 9．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．90°　　 D．120° 10．如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于(　　) A．90° B．100° C．180° D．360° 11．如图，∠3＝140°，则∠2－∠1＝ . 12．(温州中考)如图，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝ . 13．如图，∠A＝60°，∠B＝47°，∠C＝33°，则∠D＝ 度． 14．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于点F.若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数． 解：∵∠B＝67°，∠ACB＝74°，∴∠A＝180°－67°－74°＝39°.∵∠AED＝48°，∴∠BDF＝39°＋48°＝87°. 15．一个零件的形状如图所示，按规定，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格．运用所学知识说明不合格的理由． 解：如图，连接AD并延长至E. 16．如图，在△ABC中，三个内角的平分线相交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D，△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F. (1)求证：BF∥OD； (2)若∠F＝35°，求∠BAC的度数． (1)证明：∵BF平分∠ABE，BO为∠ABC的平分线，∴∠FBE＝eq \f(1,2)∠ABE＝eq \f(1,2)(180°－∠ABC)＝90°－∠ DBO.∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODB＝90°－∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；　 (2)解：∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝eq \f(1,2)∠ABE＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)．∵在△ABC中，三个内角的平分线相交于点O，∴∠FCB＝eq \f(1,2)∠ACB.∵∠F＝∠FBE－∠FCB＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)－eq \f(1,2)∠ACB＝eq \f(1,2)∠BAC.∵∠F＝35°，∴∠BAC＝2∠F＝70°. 会利用三角形的外角求角的度数． 【例1】如图，△ABC中，D是BC边上一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°.求∠DAC的度数． 【思路分析】题中只给出一个已知角，可借助三角形外角的性质得出∠3、∠4与∠1、∠2的关系，然后利用方程思想及三角形内角和为180°列方程求解． 【规范解答】∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠2.又∵∠4＝∠3，∴∠4＝2∠2.设∠2＝x°，则∠4＝2x°.在△ABC中，x°＋2x°＋78°＝180°，解得x°＝34°.∴∠3＝∠4＝68°.∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝180°－136°＝44°. 【方法归纳】若研究的角比较多，要设法利用三角形外角的性质将它们转化到一个三角形中去． 能通过作辅助线解决问题． 【例2】如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°.求∠BDC的度数． 【思路分析】观察图形，∠BDC和已知的∠1、∠2、∠A没有直接关系，因此需要添加辅助线建构桥梁，若延长CD交AB于E，则∠BDC是△BDE的外角，∠BED是△AEC的外角，利用外角的性质求出∠BDC. 【规范解答】如图，延长CD交AB于E，因为∠BDC是△BDE的外角，所以∠BDC＝∠1＋∠BED.又∠BED是△ACE的外角，所以∠BED＝∠A＋∠2，因此∠BDC＝∠1＋∠2＋∠A＝20°＋25°＋35°＝80°. 【方法归纳】注意辅助线的作法，通常连接两点或延长某线段使之形成三角形，再利用三角形内角和定理、外角的性质． $$