1.3 探索三角形全等的条件（第5课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

八年级苏科版数学上册 第一章 全等三角形 第五课时 角平分线、尺规作图 1.3 探索三角形全等的条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握用尺规作图作出角平分线和垂线. （重点） 2.用学到的方法解决现实生活中的问题. （重点、难点） 　　工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线． 情景导入 从木工师傅的画法中，你能找到用直尺和圆规作角平分线的方法吗？ 判定两个三角形全等的方法： ①两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 （即 “边角边”或“SAS”） ②两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 （即 “角边角”或“ASA”） ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （即 “角角边”或“AAS”） ④三边分别相等的两个三角形全等。 （即 “边边边”或“SSS”） 旧知回顾 如何作出右图∠ABC 的角平分线？ 请准备好以下工具试一试 1、量角器（观察） 2、直尺 3、铅笔、纸张 O A B 1.用尺规作角平分线 新知探究 A O B C D M 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：1、以 为圆心， 长为半径作弧，分别交射线OA,OB于点C,D； 2、分别点以 为圆心， 的长 为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点___. 3、作射线 . 就是∠AOB的平分线. O 任意 C,D OM M 射线OM 大于 CD 如何作出右图∠ABC 的角平分线？ 这种仅用没有刻度的直尺和圆规的作图方法，简称“尺规作图”。 （1）请按序说出木工师傅的“操作”过程． （2）用直尺和圆规在下图中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法． O A B 木工操作 作法 1.在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC=OD. 1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D. 2.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合. 2.分别以点C、D为圆心，大于½CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M. 3.连接过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线. 3.作射线OM. OM就是∠AOB的平分线. M C D C D 试一试 为什么利用尺规这样操作,画出的就是角平分线呢？ O A B M C D 在△OCM和△ODM中， OC = OD， CM = DM， OM = OM， △OCM ≌ △ODM（SSS）， ∠AOM=∠BOM， 即OM就是∠AOB的平分线. 连接CM，DM. 1.作一个角的平分线的尺规作图的理论依据是 (　　) A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS B 2.如图，在矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=_____°.  A B C D α 68° 34 练一练 如果点P在直线AB上，如何用直尺和圆规经过点P作AB的垂线？ .P 2.用尺规作垂线 新知探究 A B 1、以P为圆心，适合的长为半径画弧，使它与AB交于点C、D； 2、分别以C、D为圆心，大于½CD为半径做弧，两弧交于点Q; 3、作直线PQ. 直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线。 C Q A D B P 尺规作图法 例1.如图，PC=PD，QC=QD，PQ、CD相交于E. P C Q D （1）根据以上条件，你能发现哪些结论？ （2）你能证明PQ⊥CD吗？ E 思考： 由此，你能找到用直尺和圆规过直线外一点作这条直线垂线的方法吗？ △PCQ≌△PDQ ∠PQC=∠PQD ∠CPQ=∠DPQ △PCE≌△PDE △QCE≌△QDE … 典例剖析 3.如图，已知OP平分∠AOB,用直尺和圆规作图(保留作图痕迹). （1）作PD⊥OB，垂足为D； O A B P D （2）作PC⊥OP交OA于点C. C 过直线外一点作垂线 过直线上一点作垂线 练一练 例2.已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点.求证： ADBC. A B C D 证明： ∵ D是BC的中点（已知）,  BD=CD（线段中点的定义）. 在△ADB 和△ADC中,AB=AC，BD=CD ，AD=AD,  △ADB ≌ △ADC（SSS）.  ADB= ADC（全等三角形对应角相等）, 又∵ ADB与 ADC是邻补角,  ADB= ADC=90°,  ADBC（垂直的定义）. 典例剖析 C B 分层练习-基础 1. 2. 10 分层练习-基础 3. 6 50° 分层练习-基础 4. 30° 分层练习-基础 5. C 分层练习-基础 6. D 分层练习-基础 7. B 分层练习-基础 8. C 分层练习-基础 D 分层练习-基础 10. C B 分层练习-巩固 1. 2. BE＝CE等 BD＝DC 线段垂直平分线上的点到线 段两端点距离相等 分层练习-巩固 3. 4. 6 50° 分层练习-巩固 5. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分 线上 6. 分层练习-巩固 B C 分层练习-巩固 A PD＝PC 分层练习-巩固 15 6 3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 13. 分层练习-巩固 14. 分层练习-巩固 15. 分层练习-巩固 16. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 20° 课堂反馈 S.S.S. A 课堂反馈 线段的垂直平分线 作线段的垂直平分线 课堂反馈 作已知角的角平分线 过直线上的一点作已知直线的垂线 过直线外的一点作已知直线的垂线 特例 变式 过平面上一点作已知直线的垂线 基本技能：尺规作图 基本思想：数学推理 课堂小结 作图依据：SSS 8．如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠CAD∶∠DAB＝2∶1，则∠B的度数为(　　) A．20° B．22.5° C．25° D．30° 10．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，交AB、AC于点M、N，若BC＝10，则△AFE的周长为 . 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A＝40°，AB＋BC＝6，则△BCF的周长为 ，∠EFC＝ . 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过点E作ED⊥AB于点D，当∠A＝ 时，ED恰好为AB的中垂线． 3．用三角尺可以按照下面方法画∠AOB的平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP(如图)，则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是(　　) A．S.S.S. B．S.A.S. C．H.L. D．A.S.A. 8．如图，∠MON＝60°，且OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 10．(淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(　　) A．15　　　 B．30　　　 C．45　　　 D．60 9．如图，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，则要求AB与CD之间的距离，只需测量出(　　) A．PA的长度　　　　　 B．PC的长度 C．PE的长度 D．AB的长度 11．如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　) A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 8．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠CAD∶∠DAB＝2∶1，则∠B的度数为(　　) A．20° B．22.5° C．25° D．30° 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是 ． 11．如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需加条件是 ，理由是 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A＝40°，AB＋BC＝6，则△BCF的周长为 ，∠EFC＝ . 4．(北京中考)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P.(如图①) 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图② (1)在直线l上任取两点A，B； (2)分别以点A、B为圆心，以AP、BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 所以直线PQ就是所求的垂线． 请回答：该作图的依据是 ． 7．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA， PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于(　　) A．4　　　 B．3　　　 C．2　　　 D．1 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC 于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10，BC＝8，CA＝6，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于(　　) A．2,2,2 B．3,3,3 C．4,4,4 D．2,3,5 10．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥AC于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段 (只需写出一组即可)． 11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是 . 12．如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连结CD，则图中有 个直角三角形，有 对全等三角形． 12．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连结AD. 求证：AD是∠BAC的外角平分线． 证明：作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥AC于点F，DG⊥BC于点G，∵DB、DC分别是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线，∴DE＝DG，DF＝DG，∴DE＝DF，又∵DE⊥BA，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的外角平分线． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点I，ID⊥AB于点D.已知AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm.求ID的长． 解：过点I作IE⊥AC交AC于点E，IF⊥BC交BC于点F，∵AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，ID⊥AB，∴ID＝IF＝IE.设ID＝x cm，∴(4－x)＋(3－x)＝5，∴x＝1. 13．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长． 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE.∴AB＝AC＝CE＝5(cm)，∴BD＝CD＝3(cm)，∴BE＝BD＋CD＋CE＝3＋3＋5＝11(cm)． 14．某国际帆船运动中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等． (1)若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施(用点P表示)的位置； (2)若∠BAC＝66°，求∠BPC的度数． 解：(1)略；(2)∠BPC＝132°. 解：(1)AM平分∠BAD.证明：过点M作ME⊥AD于点E.∵MD平分∠ADC，MC⊥DC，ME⊥DA，∴ME＝MC(角平分线上的点到该角两边的距离相等)，又∵CM＝MB，∴ME＝MB，又∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)； 1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°， M是BC的中点，DM平分∠ADC. (1)AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； (2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． (2)AM⊥DM.理由如下：∵∠B＝∠C＝90°，∴DC⊥BC，AB⊥CB，∴CD∥AB.∴∠ADC＋∠DAB＝180°，又∵∠ADM＝eq \f(1,2)∠ADC.∠DAM＝eq \f(1,2)∠DAB，∴2∠ADM＋2∠DAM＝180°，∴∠ADM＋∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM. 2.如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证： (1)BF＝CG； (2)AB＋AC＝2AG. 证明：(1)如图， (2)由(1)得△AEF≌△AGE，∴AF＝AG，∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋GC＝AF＋AG＝2AG. 作已知角的平分线 . (邵阳中考)如图，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图： ①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE； ②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧， 在∠AOB内两弧交于点C； ③作射线OC. 则∠AOC的大小为 . 作已知线段的垂直平分线的理论依据是全等三角形的判定方法 . 1. 如图的尺规作图是作(　　) A．线段的垂直平分线　　 B．一个半径为定值的圆 C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角 作线段中点可以通过作 来得到． 2. 作线段的中点的作法与基本作图 的作法相同． $$