1.5 三角形全等的判定（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.5 三角形全等的判定 第一课时 利用“SSS”定理证明三角形全等 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．通过三角形的稳定性，体验三角形全等的 “边边边”条件. 2．会运用“边边边”定理判定两个三角形的全等. 情景导入 钱塘江大桥由著名桥梁工程师茅以升设计，建成于1937年，是我国第一座铁路、公路两用双层桥，桥上有许多全等的三角形结构. 1. 什么叫全等三角形？ ①AB=DE ③ CA=FD ② BC=EF ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 2. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 旧知回顾 一个图形经过平移、翻折、旋转后依然能够完全重合的两个图形叫做全等形. ∠A =∠A′ AB =A′B′ 若已知△ABC ≌△ A′B′C′，请找出其中相等的边与角： 思考探究：反之若三角形满足以上这六个条件可以保证 △ABC≌△A′B′C′吗？ ∠B =∠B′ BC =B′C′ ∠C =∠C′ AC =A′C′ 旧知回顾 即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等． 1.三角形全等的判定（“边边边”定理） 新知探究 思考探究：若只给一个条件可以判断三角形全等吗？ （1）有一条边相等的两个三角形 不能 可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等. 60° 60° 60° （2）有一个角相等的两个三角形 不能 结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等. 不一定全等. 思考探究：若只给两个条件可以判断三角形全等吗？ （1）有两个角对应相等的两个三角形 30° 30° 50° 50° 不一定全等. （2）有两条边对应相等的两个三角形 2cm 2cm 4cm 4cm 结论：有两个条件对应相等也不能保证三角形全等. 不一定全等. （3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形 30° 30° 30° 结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等. （1）有三个角对应相等的两个三角形 60o 300 300 60o 90o 90o 思考探究：若给出三个条件可以判断三角形全等吗？ 3cm 4cm 6cm 4cm 6cm 3cm 6cm 4cm 3cm （2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？ 请拿出纸笔，先画出一个△A′B′C′ ，使A′B′=AB， A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′、C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′； (3)连接线段A′B′，A′C′. 作图的结果反映了什么规律？你能否用文字语言和符号语言概括出来？ 试一试 定义：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”） “边边边”判定方法 A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. AB=DE， BC=EF， CA=FD， 几何语言表示： 概念归纳 注意： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理. 概念归纳 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：∠A=∠C. 证明：在△ABD和△CDB中， △ABD≌ ΔCDB（SSS）. ∠A=∠C 课本例题 例2.如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架． 求证：△ABD ≌△ACD ． 解题思路： 先找隐含条件 公共边AD 再找现有条件 AB=AC 最后找准备条件 BD=CD D是BC的中点 典例剖析 证明：∵ D 是BC中点， ∴　BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中， ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）． AB =AC (已知）， BD =CD （已证）， AD =AD （公共边）， ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论. 证明的书写步骤： 概念归纳 1.如图, C是BF的中点，AB =DC,AC =DF. 求证:△ABC ≌ △DCF. 在△ABC 和△DCF中， AB = DC， ∴ △ABC ≌ △DCF AC = DF， BC = CF， 证明：∵C是BF中点， ∴BC=CF. (SSS). 练一练 问题：在没有角平分仪的情况下，我们能用数学作图工具，实现该仪器所有的功能吗？ A B O 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 2.尺规作角平分线 新知探究 能 课本例2.已知:∠BAC. 求作：∠BAC的平分线AD. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! C B F E D A 作法： （1）以点A为圆心，适当 长为半径画弧，交AB于 点E，交AC于点F. （2）分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点D. （3）画射线AD.射线AD即为所求. 2.已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 练一练 B 随堂练 B 随堂练 100° 随堂练 4 ①②③ 随堂练 随堂练 知识点1　用“边边边(SSS)”判定两个三角形全等 1.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF,则还需添加的条件为(　　) A.BF=CF　　　　　B.BC=EF C.CF=CE　　　　　D.∠A=∠D 分层练习-基础 B 在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF, ∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF还需的条件是BC=EF,故选B. 2. 如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,已知AC=DF,BC=EF.若∠A=70°,∠E=60°,则∠C的度数为 (　　) A.30°　　　　　B.40°　　　 C.50°　　　　　D.60° 分层练习-基础 C ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB=DE, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ABC=∠E=60°, ∵∠A=70°,∴∠C=180°-70°-60°=50°.故选C. 3.如图,AB=ED,AC=CE,点C是BD的中点,若∠A=35°,则∠E=　　　　°.  35 解析　∵点C是BD的中点,∴BC=DC, 在△ABC和△EDC中, ∴△ABC≌△EDC(SSS), ∴∠E=∠A=35°,故答案为35. 分层练习-基础 4.图①是一人字梁屋顶,图②是抽象出来的人字梁三角形,现不用量角器,只用一把刻度尺检查人字梁三角形的∠B和∠C是否相等,请同学们设计一种测量方案,并说明理由. 解析　测量方案如下: ①分别在BA和CA上截取BE=CG; ②在BC上截取BD=CF; ③量出DE的长为a米,FG的长为b米. 若a=b,则∠B=∠C. 理由:如图,在△BDE和△CFG中,BE=CG,BD=CF,DE=FG, ∴△BDE≌△CFG(SSS),∴∠B=∠C. 分层练习-基础 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别为边AC,BC上一点,连接BD,DE.已知AB=BE,AD=DE. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)若∠A=55°,求证:∠CDE=∠ADB. 证明　(1)∵AB=EB,AD=ED,BD=BD, ∴△ABD≌△EBD(SSS),∴∠ABD=∠EBD, ∴BD平分∠ABC. 分层练习-基础 (2)∵∠A=55°,∠ABC=90°, ∴∠C=90°-∠A=90°-55°=35°, ∵△ABD≌△EBD, ∴∠DEB=∠A=55°,∠ADB=∠EDB, ∴∠CDE=∠DEB-∠C=55°-35°=20°, ∴∠ADB=(180°-∠CDE)=×(180°-20°)=80°, ∴∠CDE=∠ADB. 分层练习-基础 知识点2　用直尺和圆规作一个角等于已知角 6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图,可说明△COD≌△C'O'D',进而得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是(　　) A.SSS　　　B.SAS　　　C.ASA　　　D.AAS A 由题意可知,OD=OC=O'D'=O'C',CD=C'D', 在△COD和△C'O'D'中, ∴△COD≌△C'O'D'(SSS),故选A.   分层练习-基础 分层练习-基础 B 分层练习-基础 C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 108° 66° 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 全等 边边边 SSS SSS △ACD 课堂反馈 OC OD CD △OCD 课堂反馈 CE △ABF △CDE 课堂反馈 边边边 内容 有三边对应相等的两个三角形全等 应用 思路分析 书写步骤 结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件 注意 四个步骤 1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 课堂小结 1．如图所示，已知点A、C、D、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是(　　) A．∠BCA＝∠F　　　　 B．AD＝FC C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 2．如图所示，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出(　　) A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE 3．如图所示，在△ABC中，AB＝EB，AD＝ED，∠A＝80°，则∠CED＝ . 4．在△ABC和△DEF中，AB＝4，BC＝6，CA＝8，DE＝8，EF＝6，要使△ABC与△DEF全等，则DF等于 . 5．如图所示，AB＝CD，AD＝CB，则下列结论：①∠A＝∠C；②AD∥BC；③AB∥CD；④BD平分∠ABC.其中正确的序号是 . 6．已知∠AOB，点C是OB边上的一点．用尺规作图画出经过点C与OA平行的直线． 解：作图略．提示：以点C为顶点，作一个角等于∠AOB. 7．如图所示，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，AC＝BD，求证：△ABC≌△BAD. 证明：在△ABC和△BAD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BC＝AD,AC＝BD,AB＝BA))， ∴△ABC≌△BAD(SSS)． 8．如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝40°，则∠ACD的度数是(　　) A．120°　　 B．130° C．140°　　 D．150° 9．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，要增加一个条件是(　　) A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定(　　) A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D．以上都不对 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.若∠A＝108°，则∠C＝ . 12．如图，AB＝DC，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝ . 13．(西藏中考)如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF.求证：∠ABC＝∠DEF. 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DE,AC＝DF,BC＝EF))， ∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC＝∠DEF. 14．如图，点D在BC边上，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE.求证：∠1＝∠2. 证明：在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AD,BC＝DE,AC＝AE))，∴△ABC≌△ADE(SSS)， ∴∠B＝∠ADE，∴∠ADC＝∠ADE＋∠2＝∠B＋∠1，即∠1＝∠2. 15．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2. 证明：在△ABD和△ACE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC,AD＝AE,BD＝CE))，∴△ABD≌△ACE(SSS)，∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠ABD，∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，∴∠3＝∠1＋∠2. 16．如图所示是雨伞的中截面，伞骨AB＝AC，支撑 杆OE＝OF，AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC，当O沿AD滑动 时雨伞开闭．问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有 何关系？并说明理由． 解：∠BAD＝∠CAD.理由：∵AE＝eq \f(1,3)AB，AF＝eq \f(1,3)AC，且AB＝AC，∴AE＝AF，在△AOE和△AOF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AE＝AF,OE＝OF,OA＝OA))，∴△AOE≌△AOF，∴∠OAE＝∠OAF，即∠BAD＝∠CAD. 用“SSS”判定两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形 (可以简写成“ ”或 “ ”)． 自我诊断1. 如图，AB＝AC，BD＝CD，根据 ，可得到△ABD≌ . 用尺规作一个角等于已知角 自我诊断2.如图，由作图∠A′O′B′＝∠AOB可知：O′C′＝ ，O′D′＝ ，C′D′＝ ，则△O′C′D′≌ . 易错点：不是对应边直接当成全等的一个条件． 3. 如图，AB＝CD，BF＝DE，E、F是AC上两点，且AE＝CF.欲证∠B＝∠D，可先运用等式的性质证明AF＝ ，再用“SSS”证明 ≌ 得到结论． $$