1.2用待定系数法求二次函数的解析式（第5课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 第五课时 用待定系数法求二次函数的解析式 1.2 二次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用待定系数法求二次函数的解析式. (难点） 2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. （重点） 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 情景导入 情景导入 我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数 （k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 2 1 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 问题1 ：（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 1.一般式法求二次函数的解析式 新知探究 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写解析式） 【例1】已知二次函数y=ax2+k的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式. 解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别带入表达式y=ax2+c，得 3=4a+c， -3=a+c. 解这个方程组，得 a=2， c=-5. 所以，所求二次函数表达式为y=2x2－5. 典例剖析 【例2】已知二次函数经过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)三点，求二次函数的表达式． 解：∵二次函数经过点(－1，0)和(3，0)， ∴可设二次函数表达式为y＝a(x＋1)(x－3)， 把(1，4)代入，得4＝a(1＋1)(1－3)， 解得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3， ∴所求二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 典例剖析 1.已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)， (2，－5)，且与x轴交于A，B两点． (1)试确定此二次函数的表达式； (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，请说明理由． 练一练 解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 把(0，3)，(－3，0)，(2，－5)分别代入， ∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3； 练一练 (2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上． 当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1. ∴点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4， ∴S△PAB＝ ×4×3＝6. 练一练 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数解析式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a、b、c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式. 一般式法求二次函数解析式的方法 概念归纳 13 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).（其中x1、x2为交点的横坐标）因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式，得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 2.交点法求二次函数的解析式 新知探究 交点法求二次函数解析式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点法.其步骤是： ①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1、x2代入，得到关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数解析式. 概念归纳 用交点法确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行y轴）. 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k，得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式，得 a(1+2)2+1=-8， 解得a=-1. ∴所求的二次函数的解析式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 3.顶点法求二次函数的解析式 新知探究 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数解析式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数解析式. 概念归纳 【例3】一名学生推铅球时， 铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗? 4.已知两点求二次函数的解析式 新知探究 解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4,3），因此设它的关系式为y=a(x－4)2＋3 又∵图象过点（10,0） ∴a(10－4)2＋3=0 设所求二次函数的表达式为 y = a( x – 8 )2 + 9， 由这个函数的图象经过点（0, 1），可得 a = . 一个二次函数的图象经过点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 因此，所求二次函数的表达式为 y = ( x – 8 )2 + 9. 练一练 概念归纳 已知两点确定二次函数表达式需要满足以下两点之一： ①已知两个点的坐标，且其中一个是顶点； ②已知两个点的坐标，且a，b，c中有一个是已知数． (1)二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y＝ax2＋bx＋c； 顶点式：y＝a(x－h)2＋k[a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标]； 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2). 概念归纳 (2)如何求二次函数的表达式？ ①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上的两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式； ②已知二次函数顶点坐标和图象上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式； ③已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设交点式代入求其表达式． 概念归纳 5. 某高尔夫球手击出的高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24 m时，达到最高点；落球点比击球点的海拔低1 m，它们的水平距离为50 m. （1）建立适当的直角坐标系，求球的高度h(m) 关于水平距离x (m）的二次函数表达式； （2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？ 5.用二次函数解析式解决实际问题 新知探究 解：（1）取击球点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知，球的运动路线经过点0（0，0），A（48， 0），B（50，-1）. 设二次函数的表达式为h=a（x-0）（x-48）. （2）当=24时，球运动到最高点，此时 ∴与击球点相比，球运动到最高点时有5.76 m高. 2．如图，题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字．请你根据已有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解. 练一练 解：再添加一个点的坐标即可求出二次函数的表达式， 例如添上二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，2），则由已知条件可知 将①代入②③，得 由④×2+⑤，得9a=-2，解得.所以 把代入④，得 所以方程组的解为 所以该二次函数的表达式为 （此题答案不唯一） 提示：此题也可补充b或c的值或图象的对称轴等. A C 随堂练 B A 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-基础 ①③④ 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 任意三 三 课堂反馈 顶点 一个 课堂反馈 课堂反馈 横 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1、x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 得 解得 1．已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，－3)、B(－1,0)，则二次函数的表达式为(　 　) A．y＝x2－2x－3 B．y＝x2＋2x－3 C．y＝9x2＋6x－3 D．y＝9x2－6x－3 2．抛物线的顶点是(－2,3)，且点(－1,5)在这条抛物线上，则这个二次函数的表达式为(　 　) A．y＝x2＋8x＋11 B．y＝x2－8x－11 C．y＝2x2＋8x＋11 D．y＝2x2－8x＋11 3．已知抛物线过点A(2,0)、B(－1,0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则抛物线的表达式为(　 　) A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2 4．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为(　 　) A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝－x2－2x－3 5．已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过点(3,0)和(4,0)，则这个二次函数的表达式是　 　. 6．已知抛物线的顶点为(3，－2)，且与抛物线y＝－eq \f(1,2)x2的形状、开口方向相同，则这条抛物线的表达式为　 　. 7．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式． y＝x2－7x＋12 y＝－eq \f(1,2)(x－3)2－2 解：依题意，设y＝a(x－h)2＋k.将顶点坐标(4，－1)和与y轴交于点(0,3)代入，得3＝a(0－4)2－1.解得a＝eq \f(1,4).∴这条抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)(x－4)2－1. 8．二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3,0)，求二次函数的解析式． 解：y＝ax2＋4ax＋c＝a(x＋2)2＋c－4a， ∴抛物线的对称轴是x＝－2， ∴其顶点坐标为(－2,4)， ∴y＝a(x＋2)2＋4， 将点(－3,0)代入，得a＋4＝0，∴a＝－4， ∴y＝－4(x＋2)2＋4＝－4x2－16x－12. 9．(安徽中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)． (1)求a、b的值； (2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 解：(1)a＝－eq \f(1,2)，b＝3； (2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，由对称性可知，点P即为所求，设AE所在直线表达式为y＝kx＋b，分别代入A、E坐标，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＋b＝4,b＝－3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝7,b＝－3，))∴y＝7x－3，当y＝0时，x＝eq \f(3,7)，∴点P的坐标为(eq \f(3,7)，0)． 10．(安顺中考)如图，抛物线经过A(－1,0)、B(5,0)、C(0，－eq \f(5,2))三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由已知可求得抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,2)x2－2x－eq \f(5,2)； (2)抛物线的对称轴为直线x＝2，连接BC，∵B(5,0)，C(0，－eq \f(5,2))，∴直线BC的解析式为y＝eq \f(1,2)x－eq \f(5,2)，当x＝2时，y＝eq \f(3,2)，∴P(2，－eq \f(3,2))；　 (3)存在．符合条件的点N的坐标为(4，－eq \f(5,2))，(2＋eq \r(14)，eq \f(5,2))或(2－eq \r(14)，eq \f(5,2))． 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝eq \f(2,9)(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 2．如图，抛物线的函数表达式是( ) A．y＝eq \f(1,2)x2－x＋4 B．y＝－eq \f(1,2)x2－x＋4 C．y＝eq \f(1,2)x2＋x＋4 D．y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋4 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.则这个二次函数的解析式为　 　. 4．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式： (1)已知抛物线的顶点坐标是(1,2)，且过点(2,3)； (2)已知二次函数的图象经过(1，－1)、(0,1)、(－1,13)三点； (3)已知抛物线与x轴交于点(1,0)、(3,0)，且图象过点(0，－3)． y＝2x2－3x＋1 解：(1)根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋2，将(2,3)代入得：a＋2＝3，即a＝1，则抛物线解析式为y＝x2－2x＋3；　 (2)设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，将(1，－1)、(0,1)、(－1,13)三点代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1,c＝1,a－b＋c＝13))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝－7,c＝1))，则抛物线解析式为y＝5x2－7x＋1；　 (3)根据题意设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，将(0，－3)代入得：3a＝－3，即a＝－1，则抛物线解析式为y＝－x2＋4x－3. 5．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b、c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4 C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4 6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是　 　(填序号)． ①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)； ②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝0.5； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 7．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0,2)、B(4,3)、C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　 　. y＝eq \f(1,8)x2－eq \f(1,4)x＋2或y＝－eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2 8．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，－3)和(4，－3)，那么抛物线的对称轴是(　 　) A．直线x＝3 B．直线x＝2 C．直线x＝eq \f(3,2) D．直线x＝1 9．已知抛物线过A(－1,0)和B(3,0)两点，与y轴交于点C，且BC＝3eq \r(2).则这条抛物线的表达式为(　 　) A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝－x2＋2x－3或y＝－x2＋2x＋3 D．y＝－x2＋2x＋3或y＝x2－2x－3 10．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0,2)、B(4,3)、C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为　 　. 11．如果把第一条抛物线向上平移eq \f(9,4)a个单位(a＞0)，再向左平移eq \f(5,2)个单位，就得到第二条抛物线y＝ax2，已知第一条抛物线经过点(0,4)，则第一条抛物线的函数表达式是：　 　. y＝eq \f(1,8)x2－eq \f(1,4)x＋2或y＝－eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2 y＝x2－5x＋4 12．(宁波中考)已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点(1,0)、(0，eq \f(3,2))． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式． 解：(1)把(1,0)、(0，eq \f(3,2))代入抛物线解析式得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋b＋c＝0,c＝\f(3,2)))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－1,c＝\f(3,2)))，则抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)；　 (2)抛物线解析式为y＝－eq \f(1,2)x2－x＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2，将抛物线向右平移一个单位，再向下平移2个单位，解析式变为y＝－eq \f(1,2)x2. 13．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0)． (1)求此抛物线的解析式； (2)写出顶点坐标及对称轴； (3)若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标． 解：(1)∵y＝x2＋bx＋c过原点，可得c＝0.又y＝x2＋bx过点A(2,0)，可得b＝－2，∴y＝x2－2x；　 (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1；　 (3)∵OA＝2，S△OAB＝3，∴|yB|＝3.∴3＝x2－2x，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝3.故B点坐标为(－1,3)或(3,3)． (2)过A作x轴的垂线，垂足为D(2,0)，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、F，S△OAD＝eq \f(1,2)OD·AD＝eq \f(1,2)×2×4＝4；S△ACD＝eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD＝eq \f(1,2)BD·CF＝eq \f(1,2)×4×(－eq \f(1,2)x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16. 用一般式求二次函数的解析式 一般式y＝ax2＋bx＋c：已知图象上　 　点的坐标或　 　对x、y值，分别代入一般式，可以求得函数解析式． 自我诊断1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)、(0，－2)、(1，－2)，则这个二次函数的解析式为　 　. y＝x2－x－2 用顶点式求二次函数的解析式 顶点式y＝a(x－h)2＋k：已知抛物线　 　坐标和另　 　点的坐标，可求得解析式． 2. 顶点为(1,4)，且经过(2,3)的抛物线的解析式为　 　. y＝－x2＋2x＋3 用交点式求二次函数的解析式 交点式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是图象与x轴两个交点的　 　坐标．已知抛物线与x轴交点坐标和另一个点的坐标，可求得解析式． 自我诊断3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1,0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为　 　. y＝x2－2x－3 会用待定系数法求二次函数的表达式． 【例1】已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1), 且过原点(0,0)，求该函数表达式． 【思路分析】设顶点式y＝a(x－h)2＋k→代入点的坐标→求出a的值→写出表达式． 【规范解答】设二次函数表达式为y＝a(x－1)2－1，把(0,0)代入y＝a(x－1)2－1，解得a＝1，∴y＝(x－1)2－1. 【方法归纳】根据条件选择三种表达式中的一种构建二次函数模型，利用方程组求出待定系数即可． 会用适当的方法求二次函数的表达式． 【例2】有这样一个问题：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，a)、B(1,2)、. 求证：这个二次函数的图象的对称轴是直线x＝2. 题目中的矩形部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字． (1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程；若不能，说明理由； (2)请你根据已有信息，在原题中的矩形处，填上一个适当的条件，把原题补充完整． 【思路分析】仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件则可求出其关系式． 【规范解答】(1)能．y＝－x2＋4x－1.过程如下：由图象经过点A(0，a)，得c＝a，将图象的对称轴是直线x＝2看作已知条件，则有－eq \f(b,2a)＝2，得b＝－4a，∴y＝ax2－4ax＋a，∵抛物线经过点B(1,2)，∴a－4a＋a＝2，∴a＝－1，∴所求的二次函数为y＝－x2＋4x－1； (2)可补充条件：b＝－4a(或a＝－1，或b＝4等)． 【方法归纳】求二次函数的表达式，首先应清楚二次函数的几种表达式和它的图象及其性质，再根据已知条件灵活选取确定. $$