精品解析：福建省泉州市安溪县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春季八年级期末质量监测数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义：一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是多项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 、是单项式，属于整式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式，根据最简分式的定义：“分子与分母没有公因式的分式叫最简分式，”进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故不符合题意； B、，不是最简分式，故不符合题意； C、，不是最简分式，故不符合题意； D、是最简分式，故符合题意； 故选：D． 3. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 4. 将直线向下平移3个单位得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，解题的关键是掌握一次函数的平移规律：上加下减．据此即可解答． 【详解】解：将直线向下平移3个单位得到的函数解析式为， 故选：D． 5. 若函数的图象经过点（3，－7），那么它一定不经过点（ ） A. （3，7） B. （－3，－7） C. （－3，7） D. （2，－7） 【答案】ABD 【解析】 【分析】将（3，-7）代入即可求出k的值，再根据k=xy解答即可． 【详解】因为函数的图象经过点（3，－7）， 所以k= 3×(-7)=-21， 所以符合条件的只有C选项， (-3)× 7 =-21， 故选：ABD． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，利用k=xy是解题的关键． 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤． 先去分母，将分式方程化为整式方程，求出x的值，再检验即可． 【详解】解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D． 7. 如图，在平行四边形中，于点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直的定义可得∠AED=90°，结合已知条件可求出∠A的度数，进而根据平行四边形对角相等可求出∠C的大小． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵DE⊥AB于E， ∴∠AED=90°， ∵∠EDA=25°， ∴∠A=90°-25°=65°， ∴∠C=65°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直的定义和直角三角形两锐角互余的运用，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质． 8. 今年小安一家5个人的年龄（单位：岁）分别为：3，8，10，38，40．跟两年前相比，关于这5个人的年龄，下列描述正确的是（ ） A. 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数不变，方差不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，方差与稳定性．熟练掌握算术平均数，方差与稳定性是解题的关键． 由题意知，每个人的年龄都增加2岁，则平均数比原来大2，由数据的波动情况不变，可知方差不变． 【详解】解：由题意知，每个人的年龄都增加2岁，则平均数比原来大2， ∵数据波动情况不变， ∴方差不变， 故选：B． 9. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多； 清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间； 排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0． 纵观各选项，只有D选项图象符合． 故选D． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论． 【详解】解：如图，与x轴交于点C， 由图可知，， ，， ， 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 计算的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的减法法则计算即可． 【详解】． 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的减法运算．掌握分式的减法运算法则是解题关键． 12. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 _____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据正比例函数的性质：y的值随着x值的增大而减小，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小， ∴， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 13. 如图，点E是正方形对角线上一点，且，连接，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 先根据正方形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，最后根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质定理． 先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质得出，最后通过证明四边形是菱形，结合菱形的性质，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长， 故答案为：20． 16. 如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则________度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出，由折叠可知，，进而推出，，则，以为边构造等边三角形，连接， 通过证明，得出，进而得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， 以为边构造等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，等腰三角形，利用相关性质解答． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方运算、负整数指数幂、零指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 先将括号里面的进行通分，将除法改写为乘法，再进行化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 清溪中学八年级个班级开展了一次黑板报设计比赛，校学生会组织对这个班级的黑板报作品按分制进行评分，并绘制成如下统计表： 成绩（分） 班级数 已知八年级成绩的中位数为分， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________． （2）八年级成绩的众数为________分； （3）计算八年级的平均成绩． 【答案】（1），； （2）； （3）分． 【解析】 【分析】（）根据中位数的定义求出，进而求出； （）根据众数的定义即可求解； （）利用加权平均数公式计算即可求解； 本题考查了统计表，中位数、众数和加权平均数，掌握中位数、众数和加权平均数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵八年级共有个班级， ∴八年级成绩按照由小到大的顺序排列，中位数为第和第个数的平均数， ∵八年级成绩的中位数为分， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由统计表可知，分出现的次数最多， ∴八年级成绩的众数为分， 故答案为：； 【小问3详解】 解：八年级的平均成绩分． 20. 如图，点是边上一点，且，分别过点作的平行线交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，先根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边得到，即可由菱形的定义求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 21. 已知直线经过点，交y轴于点A． （1）求k的值； （2）若点B为该直线上一点，且的面积为3，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程，根据点A、B的坐标及的面积求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求得，设点B坐标为，利用三角形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， 把点代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 设点B坐标为， ∵的面积为3， ∴， 解得， ∴点B坐标为或． 22. 清溪中学计划购买篮球、足球共60个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，用400元购买篮球的数量和用300元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价各多少元？ （2）若购买篮球数量不少于足球数量的2倍，请求购买总费用的最小值． 【答案】（1）篮球的单价为80元，足球的单价为60元 （2）4400元 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买篮球a个，则购买足球个，购买总费用为w元，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，再根据题意列一次函数，由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：篮球的单价为80元，足球的单价为60元； 小问2详解】 解：设购买篮球a个，则购买足球个，购买总费用为w元， 由题意得，， 解得，， 由题意得，， ∵， ∴w随a的减小而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为（元）， 答：购买总费用的最小值为4400元． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意列方程是解题的关键． 23. 点，在反比例函数的图象上，且． （1）直接写出，大小关系； （2）如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（）根据反比例函数的性质即可判断求解； （）①由，，四边形为矩形，可得，，设直线的解析式为，把代入可得，再把代入得，得到点在直线上，即可求证； ②由矩形的性质可得，，进而得，再由轴于，得到轴，即得，即可得到，进而由三角形外角性质得到，又由可得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：∵，，四边形为矩形，轴于， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴点在直线上， ∴点三点共线； ②解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵轴于， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜上发生反射，D为入射点，反射光线与直线相交于点E．若，，． （1）________（填“”“”或“”）； （2）若，求点E的坐标； （3）若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜的高度． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）由题意可知，反射角等于入射角，即可求解； （2）延长交轴于点，过点作直线于点，直线与轴交于点，证明四边形是矩形，得到，，根据图形与坐标，得到，，证明和是等腰直角三角形，得到，，即可得出点E的坐标； （3）当点与点重合时，得出，利用待定系数法，得到直线的解析式为，进而求得；当点与点重合时，同理得出，再根据点E移动的路径长，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：反射角等于入射角， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点，过点作直线于点，直线与轴交于点， ，， 轴，即轴， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 点E的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，作直线，当点与点重合时，令反射光线与直线交于点，过点作直线于点， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点E的坐标为， 当点与点重合时，令反射光线与直线交于点， 同理可得，，直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 点E移动的路径长为12， ， ， 平面镜的高度为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一次函数的实际应用，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 25. 在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M． （1）如图1，若E为的中点． ①求证：； ②连接，求证：． （2）如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明过程见解析；②证明过程见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，，再由E为的中点，可得，再根据全等三角形的判定即可得证； ②连接，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而可得，根据等角对等边可得，再根据等腰三角形的性质即可得证； （2）过点作交于点K，首先推导出，由折叠的性质可得，，，进而得出，可得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵四边形平行四边形， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 由①可得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作交于点K， 由（1）②得，，， 由折叠的性质得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形外角的性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季八年级期末质量监测数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 3. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将直线向下平移3个单位得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象经过点（3，－7），那么它一定不经过点（ ） A. （3，7） B. （－3，－7） C. （－3，7） D. （2，－7） 6. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，于点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 今年小安一家5个人的年龄（单位：岁）分别为：3，8，10，38，40．跟两年前相比，关于这5个人的年龄，下列描述正确的是（ ） A 平均数变大，方差变大 B. 平均数变大，方差不变 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数不变，方差不变 9. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 计算的结果是______． 12. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第 _____象限． 13. 如图，点E是正方形对角线上一点，且，连接，则________度． 14. 某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分______分． 15. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，，．若，，则四边形的周长为________． 16. 如图，在中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交的延长线于点F，连接CE．若，，则________度． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 清溪中学八年级个班级开展了一次黑板报设计比赛，校学生会组织对这个班级的黑板报作品按分制进行评分，并绘制成如下统计表： 成绩（分） 班级数 已知八年级成绩的中位数为分， 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________． （2）八年级成绩的众数为________分； （3）计算八年级的平均成绩． 20. 如图，点是边上一点，且，分别过点作的平行线交于点，求证：四边形是菱形． 21. 已知直线经过点，交y轴于点A． （1）求k的值； （2）若点B为该直线上一点，且的面积为3，求点B的坐标． 22. 清溪中学计划购买篮球、足球共60个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，用400元购买篮球的数量和用300元购买足球的数量相同． （1）求篮球和足球的单价各多少元？ （2）若购买篮球数量不少于足球数量2倍，请求购买总费用的最小值． 23. 点，在反比例函数的图象上，且． （1）直接写出，的大小关系； （2）如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 24. 综合与实践 【物理情景】从大量实验研究得出结论： 光反射时，反射光线、入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图1所示． 【实践探究】如图2，点光源C发射出的一束光线在平面镜上发生反射，D为入射点，反射光线与直线相交于点E．若，，． （1）________（填“”“”或“”）； （2）若，求点E的坐标； （3）若在入射点D从点A移动至点B的过程中，点E移动的路径长为12，求平面镜的高度． 25. 在中，点E是边上一点，延长交的延长线于点F，将沿翻折得到，延长交于点M． （1）如图1，若E为的中点． ①求证：； ②连接，求证：． （2）如图2，连接交于点H，若G是的中点，．请判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $