第13讲 弧长及扇形的面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第13讲 弧长及扇形的面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的中，弦于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐都区校级一模）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是 　　． 【变式2】（2023秋•新吴区期末）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•溧阳市一模）如图，点、、在半径为9的上，弧的长为，则　　． 【变式4】（2022•南通一模）如图，，，，是上的四个点，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积 【例2】（2023•灌云县校级三模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•泗阳县一模）如图，点在半圆上，直径，，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•工业园区校级二模）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是 　　． 【变式3】（2023秋•海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【变式4】（2021秋•海州区期中）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为． （1）求的长度； （2）求纸扇上贴纸部分的面积． 经典题型汇编 题型一、弧长和扇形面积 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 题型二、求弧长 4．（23-24九年级上·江苏常州·期末）已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知圆弧所在圆的半径为4，所对的圆心角为，则这条弧的长是 ． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，以为直径的与交于点为上一点，且． (1)求的长； (2)若，判断直线与的位置关系，并说明理由． 题型三、求扇形半径 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 9．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 题型四、求圆心角 10．（19-20九年级上·江苏南京·期末）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）扇形的弧长是扇形的的半径为6，圆心角为 ． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 题型五、求某点的弧形运动路径长度 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    15．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，， ，边在直线l上，将矩形沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 ． 题型六、求弓形面积 16．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 17．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 18．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·江苏南通·期中）如图，点在半径为的上，劣弧的长为，则的大小是（ ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的外接圆， ，则的长是（     ）    A． B． C． D． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 7．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图，一个半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 A． B．－2 C．－ D．2－ 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）一个圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则它的侧面展开扇形的圆心角度数是 ． 13．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的周长为，的长为，则的半径为 ，图中阴影部分的面积为 ． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长为 ． 15．（2024·江苏南通·一模）如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦，点C是直径上方半圆上的动点（包括端点M，N），，和的平分线相交于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比值是 ． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点、、分别在、、弧上，，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 19．（21-22九年级·江苏·假期作业）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上． (1)画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知，点运动到点的位置时，点经过的路线长为______．（结果保留） 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点C在以为直径的圆上，D在线段的延长线上，且，． (1)求证：与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接， ． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 23．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留）． 25．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．    (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当点在直线上方时，过点作垂直于轴于点，交直线于点．若，求此时点的坐标： (3)抛物线在第一象限的部分记为，现将绕点逆时针旋转度，使得上每一点始终在第一象限，求点所经过的路经长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 弧长及扇形的面积 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【例1】（2024•宿迁模拟）如图，在半径为6的中，弦于点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算吗，得到答案． 【解答】解：连接、， ，， ， 由圆周角定理得：， 的长为：， 故选：． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键． 【变式1】（2024•盐都区校级一模）一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是 　6　． 【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可． 【解答】解：设扇形的半径为，由题意得， ， 解得， 故答案为：6． 【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提． 【变式2】（2023秋•新吴区期末）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据求出，利用弧长公式求解即可． 【解答】解：如图1，当时， ，， ， ， 弧的长． 故选：． 【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据圆周角定理求出． 【变式3】（2024•溧阳市一模）如图，点、、在半径为9的上，弧的长为，则　20　． 【分析】连接、．先由弧的长为，利用弧长计算公式求出，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到． 【解答】解：连接、， 设． 弧的长为， ， ， ， ． 故答案为：20． 【点评】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，同时考查了圆周角定理． 【变式4】（2022•南通一模）如图，，，，是上的四个点，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得出，，根据三角形内角和定理求出答案即可； （2）连结，，过点作于点，根据圆周角定理求出，求出，解直角三角形求出，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：（1）， 由圆周角定理得：，， ； （2）连结，，过点作于点， ， ． 于点，， ， ， 中，， ， 的长． 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积 【例2】（2023•灌云县校级三模）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出求出，求出，则，可得，则，，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点作于， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：． 【点评】本题考查的是矩形的性质、扇形面积计算，掌握扇形面积公式、矩形的性质是解题的关键，注意：扇形的半径为，圆心角为的扇形的面积是． 【变式1】（2024•泗阳县一模）如图，点在半圆上，直径，，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到的面积与的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可． 【解答】解：点是的中点， 线段是的中线， ， ， ， ， 直径， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【变式2】（2023•工业园区校级二模）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是 　　． 【分析】由翻折的性质得到，而，得到是等边三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积． 【解答】解：连接，直线与交于点，如图所示， 扇形中，， ， 点与圆心重合， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式3】（2023秋•海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）由，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）利用垂径定理和勾股定理求出和的长，根据两边关系得到圆心角度数，利用扇形面积减去三角形面积即可求得结果． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，，，， ，，， ，， ，， ， ，， 阴影部分的面积为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算、勾股定理、垂径定理等，求出圆心角是关键． 【变式4】（2021秋•海州区期中）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为． （1）求的长度； （2）求纸扇上贴纸部分的面积． 【分析】（1）利用弧长公式求解即可； （2）求出两个扇形面积的差即可． 【解答】解：（1）长度； （2），， ． ， ， 贴纸部分的面积． 【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． 经典题型汇编 题型一、弧长和扇形面积 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算，旋转的性质，关键是求出扇形的面积，等边三角形的面积．连接，由旋转的性质得到由旋转的性质得，扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，求出扇形的面积，等边三角形的面积，即可得到扇形空白部分的面积． 【详解】 解：连接，过点C作， 由旋转的性质得：，扇形的面积扇形的面积， 扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积， ， 是等边三角形， ， ， ， 扇形的面积，, ∴， 等边三角形的面积， 扇形空白部分的面积扇形的面积的面积． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 题型二、求弧长 4．（23-24九年级上·江苏常州·期末）已知圆弧所在圆的半径是，所对的圆心角是，则这条弧的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用弧长的计算公式计算即可．弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键． 【详解】解: 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知圆弧所在圆的半径为4，所对的圆心角为，则这条弧的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，这条弧的长是， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，以为直径的与交于点为上一点，且． (1)求的长； (2)若，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相切，见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形内角和定理，弧长的计算，圆周角定理，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据三角形内角和定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：连接 ，为直径， ∴的长； （2）直线与相切， 理由：连接， ∵是的直径， ∴直线与相切． 题型三、求扇形半径 7．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 9．（20-21九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）12 【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可 （2）根据弧长公式计算即可； 【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求； （2）如图，连接AO，BO， ∵弧AB的度数为， ∴， 又∵弧AB的长是， ∴， 解得：， ∴所在圆的半径的长是12． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键． 题型四、求圆心角 10．（19-20九年级上·江苏南京·期末）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为， ∴ 解得：，即其圆心角度数是 故选C． 【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）扇形的弧长是扇形的的半径为6，圆心角为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角的计算，熟练掌握弧长公式：是解题的关键． 把已知数据代入弧长公式：，计算即可得到答案． 【详解】解；设圆心角的度数为，根据题意可得：， 解得． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 题型五、求某点的弧形运动路径长度 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】顶点从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点为圆心，为半径的圆弧，旋转的角度是，所以根据弧长公式可得． 【详解】解：在含有角的直角三角板中，，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到 的位置，点B的对应点D首次落在斜边上，则点A的运动路径的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的性质，由旋转的性质可求，可证是等边三角形，可得，由弧长公式可求解． 【详解】解： ∵将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点A的运动路径的长为， 故答案为：． 15．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，， ，边在直线l上，将矩形沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 ． 【答案】 【分析】如下图，根据旋转的性质可知，点A在矩形第一次旋转后，所运动的轨迹是一个以半径为3，圆心角为所对应的弧长；同理，可以求出矩形在后面的旋转中点A的运动轨迹，把这些运动轨迹数据加在一起就是点A经过的路线长． 【详解】解：∵四边形是矩形，,, ∴由勾股定理得对角线． ∵根据旋转的性质知，， ， ∴如下图，点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：； 同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：； 点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为：； ∴当点A第一次翻滚到点A1位置时，点A经过的路线长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质及弧长公式的运用，分析掌握图形旋转后某点的运动轨迹是解本题的关键． 题型六、求弓形面积 16．（20-21九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（　　　）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2， ∵S1＋S2＝7， ∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， AB＝＝＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 17．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有关扇形面积的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 18．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出半径r． 【详解】由题得 解得 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长（n是弧所对应的圆心角度数），带入计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．（20-21九年级上·江苏南通·期中）如图，点在半径为的上，劣弧的长为，则的大小是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB即可，利用AB弧长与弧长公式即可求出圆心角，∠ACB=∠AOB，可确定答案． 【详解】连接    设 劣弧的长为， ． 故选择：B． 【点睛】本题考查圆周角的度数问题，掌握弧长公式，圆周角与圆心角的关系，会利用弧长求圆心角，利用同弧所对圆心角确定圆周角的大小． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的外接圆， ，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长的计算和圆周角定理，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 根据圆周角定理求出，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，， 的长是． 故选：B． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，是一个圆形人工湖，弦是湖上的一座桥．已知的长为10，圆周角，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了弧长计算以及圆周角定义，正确掌握弧长公式是解题关键．根据圆周角定理可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，，则， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧的长为：． 故选：B． 6．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为，其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、， 由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，    ∵，，，， ∴点A翻滚到位置时共走过的路径长， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质． 7．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图，一个半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 A． B．－2 C．－ D．2－ 【答案】D 【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=1，继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=2 ，然后根据S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB、S阴影=S半圆-2S弓形ABM计算可得答案． 【详解】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB， 由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1， 在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1， ∴cos∠AOC= ，AC= ∴∠AOC=60°，AB=2AC=2 ， ∴∠AOB=2∠AOC=120°， 则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB= ， S阴影=S半圆-2S弓形ABM= ． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，点为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了扇形面积计算，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式，三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设弧的中点为，连接，，，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大 ，连接，则于，且垂直平分， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵扇形的面积， ∴阴影部分面积的最小值， 故选：． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，以半圆的直径为边向上作正方形，连接交半圆弧于点，若，则图中阴影部分的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质；连接，根据正方形的性质和扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接． 四边形是正方形， ，， ，则 图中阴影部分的面积为 故选：A． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 ． 【答案】3 【分析】 本题考查求扇形的半径，设半径为，根据扇形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 故答案为：3． 12．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）一个圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则它的侧面展开扇形的圆心角度数是 ． 【答案】/240度 【分析】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意得， 解得：， 即它的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 13．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的周长为，的长为，则的半径为 ，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 2 【分析】根据圆周长公式即可求出圆的半径，设∠AOB=x，由弧长公式求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵⊙O的周长为4π， ∴⊙O的半径为， 设∠AOB=x， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：2；． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，弓形面积，求出∠AOB=90°是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理；连接、，先求出，再由弧长公式即可求出答案． 【详解】解：连接、，如图， 四边形是的内接四边形，， ， ； 故答案为：． 15．（2024·江苏南通·一模）如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算及圆周角定理．根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出的度数，再利用扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，扇形的面积，连接，由正方形的性质可得，，由可得，进而得到，利用勾股定理可得，再根据阴影部分的面积，即可求解，利用勾股定理求出圆的半径的长度是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积 ， ， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，弦，点C是直径上方半圆上的动点（包括端点M，N），，和的平分线相交于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比值是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理和等角对等边的性质可知，据此可知，在以为圆心，长为半径的圆上，根据角平分线的性质、圆周角定理及等边三角形的判定可知为等边三角形，进而可知，由此可知，当由运动到到时，运动路径为，运动路径为，与对应的圆周半径相同，最后计算路径长度比即为圆心角之比． 【详解】解：如图1，延长交于点， 由平分得恒为劣弧中点． 由已知，得， 则， 得． 故在以为圆心，长为半径的圆上． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，当由运动到到时，运动轨迹为， 运动路径为与路径对应的圆周半径相同，计算路径长度比即为圆心角之比， 由得路径长度之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、角平分线的性质、等边三角形的判定及其性质，以动点为背景，考查学生综合运用所学知识点能力，解题的关键是知道点运动轨迹是与点的运动路径对应圆周半径相同的． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点、、分别在、、弧上，，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不规则图形的面积，本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形的面积，直接根据相关条件求长方形的面积即可． 【详解】解：正方形的边长为2，即， ，， ，， 图形是面积等于图形的面积， 长方形的面积． 故答案为：． 三、解答题 19．（21-22九年级·江苏·假期作业）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2． (1)求α； (2)点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算． 【详解】（1）解：设∠AOB＝n°， 根据题意得， 解得n＝120， α为120°； （2）过C点作CD⊥BO于D，如图， ∵∠BOC＝120°， ∴∠COD＝60°， ∴ODOC＝2， ∴CDOD， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，的斜边在直线l上，将绕点顺时针旋转一个角，使得点的对应点落在直线上． (1)画出点的对应点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知，点运动到点的位置时，点经过的路线长为______．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式． （1）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作直线的垂线；以为圆心，长为半径作弧，在直线上方交直线于点，然后顺次连接即可； （2）利用补角的性质得到，再利用弧长公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：∵， ∴， ∴点经过的路线长为， 故答案为：． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点C在以为直径的圆上，D在线段的延长线上，且，． (1)求证：与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，即，由等腰三角形的性质得出，，得出，证出，则，即可得出结论； （2）证明，得出，，由直角三角形的性质得出，图中阴影部分的面积的面积-扇形的面积，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积的面积-扇形的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形中，，E是的中点，将绕点B按逆时针方向旋转后，点E落在延长线上的点F处，点C落在点A处；再将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，连接， ． (1)求证：； (2)求点C、A在旋转过程中形成的弧、弧与线段所围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，根据全等三角形的性质可得，然后求出，再求出，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明； （2）求出的长，再利用勾股定理列式求出的长，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再根据列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点F按顺时针方向旋转得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴， 由平行四边形的性质，， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，扇形的面积计算，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 23．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答； （2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答． 【详解】（1）解：作于点E，连接， ， ， ，， ， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ， ∴阴影部分的面积为．    【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是直径，且．，是上的点，，交于点，连接，．    (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据圆周角定理求解即可； （2）证明是等边三角形，根据扇形和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）连接， ， ， ， 是等边三角形， ．    【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，作辅助线，证明是等边三角形是解答的关键． 25．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到． (1)画出，并写出点的坐标， ， ； (2)在旋转变换过程中，线段扫过的图形面积为 ． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积公式是解此题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，再顺次连接即可，由图即可得出点的坐标； （2）由勾股定理可得，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， 由图可得：，， 故答案为：，； （2）解：由勾股定理得：， 线段扫过的图形面积为：， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．    (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当点在直线上方时，过点作垂直于轴于点，交直线于点．若，求此时点的坐标： (3)抛物线在第一象限的部分记为，现将绕点逆时针旋转度，使得上每一点始终在第一象限，求点所经过的路经长． 【答案】(1) (2) (3)点B经过的路径长为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、直线与抛物线相切时的特点、一元二次方程根的判别式、勾股定理求线段长、扇形弧长的求法等，解决第（3）问的关键是画出图形帮助分析解法． （1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式． （2）先求得点C的坐标，然后用待定系数法求得的解析式，设点的横坐标为a，然后用含字母a的代数式表示出等式关系，可求得a值，即可求得点P的坐标． （3）设经过点C且与抛物线相切的直线的解析式为，联立抛物线方程，当关于x的二次方程的判别式为0时可求得直线的解析式，从而可求得直线与y轴的夹角即是M的旋转角，点B经过的路径是一段圆弧，其圆心角就是这个旋转角，半径为，即可求得圆弧长． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线中， ，解得： ∴抛物线对应的函数表达式是：． （2）令，则抛物线， ∴点． 设直线的解析式是， 将的坐标代入 ∴， 直线的解析式是． 设点的横坐标为a，则点E的纵坐标为，点P的纵坐标为， ∵， ∴． 化简得： 解得：（不合题意，故舍去） ∴点P的纵坐标为 ∴此时点P的坐标是． （3）设在点处与抛物线相切的直线与x轴相交于点D，直线的方程为，则，即直线的解析式为：． 联立方程组，消去y，得， 整理得： ∴， 解得：． ∴直线的解析式为：．（如图）    令，则， ∴， ∴是等腰直角三角形，． ∴当M（抛物线在第一象限的部分）随直线绕点C逆时针旋转时，使得M上每一点始终在第一象限， ∴B点经过的路径是以点C为圆心，圆心角为的圆弧（如上图）． ∵圆弧半径， ∴的长度为：． 即点B所经过的路经长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$