第13讲 勾股定理的逆定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第13讲 勾股定理的逆定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【例1】（2023秋•阜宁县期末）满足下列条件的不是直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【变式1】（2023秋•吴中区期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【变式2】（2022春•平山县期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　　． 【变式3】（2023秋•秦淮区期中）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【变式4】（2021秋•广陵区校级期末）如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【例2】（2023秋•徐州期末）下列四组数中，勾股数是　　 A．5，12，13 B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D． 【变式1】（2023秋•溧阳市期中）下列数据不是勾股数的是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41 【变式2】（2021秋•兴化市校级月考）5、12、是一组勾股数，则　　． 【变式3】（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则　　（用含的式子表示）． 【变式4】（2023秋•丹阳市期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　　，8，10；②5，　　，13：③8，15，　　． （2）任取两个正整数和，请你证明这三个整数，，是勾股数． 经典题型汇编 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于 ． 3．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．    (1)求的长； (2)求中边上的高． 题型二、在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出_________，__________，__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高_________． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 8．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，的长分别是6、8、10，点D是边的中点，则 ． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在中，，，，．求： (1)的长； (2)点到的距离． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 11．（21-22八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝ ． 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． (1)求证：； (2)求的长． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 14．（八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，、、是的三边长，若，则是 . 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 试题练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·江苏连云港·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D．，， 3．（八年级上·江苏常州·期中）△ABC中，∠A＞90°，AB＝6，AC＝8，则BC的长度可能是【　　】 A．8 B．10 C．12 D．14 4．（八年级上·江苏泰州·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（19-20八年级上·江苏镇江·期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25 C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为、、 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20八年级上·全国·课后作业）已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 9．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）三角形的三边长分别是，可以判断这是 三角形． 12．（19-20八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 （精确到．参考数据）． 14．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则b的值为 ． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的中线，，，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则 ．    17．（19-20八年级上·江苏南京·阶段练习）某住宅小区有一块草坪如图四边形，已知米，米，米，米，且，则这块草坪的面积为 平方米． 18．（八年级上·江苏镇江·期中）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，已知在中，，，，，，求的面积． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．    (1)着火点受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？ 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图①②③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下面的要求画图：       ①                   ②                  ③ (1)在图①中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的等腰三角形； (2)在图②中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的直角三角形； （不得与第（1）题答案相同） (3)在图③中，以格点为顶点画一个边长都是有理数的三角形． 22．（22-23八年级上·江苏·期末）如图，中，，垂足为． (1)求证：； (2)点为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 23．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积 24．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 25．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求证：是直角三角形； (2) ， ， ， 发现：“的三边分别是对应三边的 倍”； 猜想：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形吗？若是请说明理由，若不是，请举出反例． 26．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 勾股定理的逆定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【例1】（2023秋•阜宁县期末）满足下列条件的不是直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定、，由三角形内角和可判定、，可得出答案． 【解答】解：、当，，时，满足，所以为直角三角形； 、当时，设，，，满足，所以为直角三角形； 、当时，且，所以，所以为直角三角形； 、当时，可设，，，由三角形内角和定理可得，解得，所以，，，所以为锐角三角形， 故选：． 【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理的逆定理，②有一个角为直角的三角形． 【变式1】（2023秋•吴中区期中）下列由三条线段、、构成的三角形：①；②，，；③；④，，为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是　　 A．①④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：①，， ， ， 能构成直角三角形； ②，， ， 能构成直角三角形； ③，， ， 不能构成直角三角形； ④，， ， 能构成直角三角形； 所以，能构成直角三角形的是①②④， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2】（2022春•平山县期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为　　． 【分析】先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【解答】解：三角形的三边长的比为， 设三角形的三边长分别为，，． 其周长为， ，解得， 三角形的三边长分别是15，20，25． ， 此三角形是直角三角形， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 【变式3】（2023秋•秦淮区期中）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　直角　三角形（直角、锐角、钝角）． 【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【解答】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为直角． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式． 【变式4】（2021秋•广陵区校级期末）如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【解答】解：（1）连接，如图． 在中，，，， ． 即、两点之间的距离为； （2）， ， 四边形纸片的面积 ． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【例2】（2023秋•徐州期末）下列四组数中，勾股数是　　 A．5，12，13 B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D． 【分析】根据勾股数的定义进行解答即可． 【解答】解：、，是勾股数，符合题意； 、，不是勾股数，不符合题意； 、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； 、，，不是整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【变式1】（2023秋•溧阳市期中）下列数据不是勾股数的是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．8，12，16 D．9，40，41 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可． 【解答】解：、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； 、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意； 、，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足． 【变式2】（2021秋•兴化市校级月考）5、12、是一组勾股数，则　13　． 【分析】分类讨论：12是最长边；是最长边． 【解答】解：当12是最长边时，，（舍去） 当是最长边时，，． 故答案为：13． 【点评】考查了勾股数，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【变式3】（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则　　（用含的式子表示）． 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：，，是勾股数，其中，均小于，，， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【变式4】（2023秋•丹阳市期中）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　6　，8，10；②5，　　，13：③8，15，　　． （2）任取两个正整数和，请你证明这三个整数，，是勾股数． 【分析】（1）根据勾股数的定义解答即可； （2）根据勾股数的定义进行计算即可． 【解答】（1）解：①，，， ， ，8，10是一组勾股数． 故答案为：6； ②，，， ， ，12，13是一组勾股数． 故答案为：12； ③，，， ， ，15，17是一组勾股数． 故答案为：17． （2）证明：，，， ， 任取两个正整数和，这三个整数，，是勾股数． 【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：正方形小方格边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后等面积法即可得到这个三角形中最长边上的高的长度． 【详解】解：∵， ∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形， 设这个三角形中最短边上的高为h， 则， 解得 故答案为：． 3．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等腰中，，，D是边上一点，且．    (1)求的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理得出是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）， 过A作于E，则是的高，    ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是． 题型二、在网格中判断直角三角形 4．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】分三种情况，，，分别找出格点，即可得出答案． 【详解】解：当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 综上分析可知，使得为直角三角形的格点C的个数是6个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，分三种情况进行讨论，是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 【答案】/135度 【分析】延长交网格于格点D，连接，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交网格于格点D，连接， 则，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出_________，__________，__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高_________． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理解三角形． （1）根据勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答； （3）先求出的面积，然后再求出边上的高． 【详解】（1）解：由勾股定理得： ， ， ． 故答案为：； （2）解：为直角三角形， 理由：， ， 为直角三角形； （3）解：的面积， 则边上的高． 故答案为：． 题型三、利用勾股定理的逆定理求解 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，连接，根据勾股定理得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以判断出的形状，然后根据即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积． 即这块四边形空地的面积是96． 故选：A． 8．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，，的长分别是6、8、10，点D是边的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质，先利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】解：在中，，，的长分别是6、8、10， ，， ， 为直角三角形， 点D是斜边的中点， ， 故答案为：5． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在中，，，，．求： (1)的长； (2)点到的距离． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，利用三角形面积求高． （1）根据勾股定理逆定理得出，再利用勾股定理进行求解即可； （2）过点D作垂足为，则为点到的距离，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ， ； （2）过点D作垂足为， 则为点到的距离， ， ， 解得：， 点到的距离为． 题型四、勾股定理逆定理的实际应用 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，   ， ， 在中，，， ， ， （平方米）， 故答案为：C． 11．（21-22八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝ ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】 如图，在中，，，， ，即, 是直角三角形， ， ，即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积．先根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)9米 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，； （2）解：设米，则米， ∴米 在中，由勾股定理得：， 解得： 则 答：的长为9米． 题型五、勾股定理逆定理的拓展问题 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 14．（八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，、、是的三边长，若，则是 . 【答案】等腰直角三角形 【分析】首先根据题意由非负数的性质可得：a-b=0，a2+b2-c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， 解得：a=b，a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 15．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 试题练习 一、单选题 1．（21-22八年级上·江苏连云港·期中）若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理和三边关系解答即可． 【详解】， 不能构成直角三角形，是锐角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边、的平方和与最大边的平方之间的关系，若，三角形为锐角三角形；若，三角形为直角三角形；若，三角形为钝角三角形，进而作出判断． 2．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理，根据这种方法一一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故该项符合题意． B．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理， 故是直角三角形，故该项不符合题意． C．∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故该项不符合题意． D．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故该项不符合题意． 故选：A． 3．（八年级上·江苏常州·期中）△ABC中，∠A＞90°，AB＝6，AC＝8，则BC的长度可能是【　　】 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】∵当∠A=90°时，由勾股定理可知：BC=， ∴当∠A>90°时，BC>10， 又∵当BC=14时，AB+AC=BC了，此时不能围成三角形， ∴BC=12. 故选C. 4．（八年级上·江苏泰州·期中）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握其定理是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，只有选项满足定理，由此选出答案． 【详解】解：选项，故不能组成直角三角形，不符合题意； 选项，故不能组成直角三角形，不符合题意； 选项，故能组成直角三角形，符合题意； 选项，故不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：． 5．（19-20八年级上·江苏镇江·期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25 C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形． 【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形； B、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形； C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形； D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理和勾股定理逆定理. 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（   ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为、、 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】A、，则，则为直角三角形，不符合题意； B、当三边比值为时，，不是直角三角形，符合题意； C、根据题意可知：，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形，不符合题意； D、根据题意可知，满足勾股定理的逆定理，则这个三角形就是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握运用勾股定理逆定理． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、设，则 解得，则，故该选项是符合题意的； B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的； C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的； D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的； 故选：A 8．（19-20八年级上·全国·课后作业）已知，，是三角形的三边长，且，那么此三角形是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据绝对值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判断△ABC的形状，即可得到答案. 【详解】∵， 根据绝对值、偶次方的非负性质， ∴c =13，b=12，a=5， ∵52+122=132， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的性质，掌握勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键. 9．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据题意画出符合条件的图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 则满足条件的格点Q有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是根据题意画出正确的图形． 10．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，，，， 因为， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）三角形的三边长分别是，可以判断这是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理；由勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 12．（19-20八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 【答案】6 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 13．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为 （精确到．参考数据）． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，连接，过点B作于E，先证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则；再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，求出，则． 【详解】解：如图所示，连接，过点B作于E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则b的值为 ． 【答案】21或35 【分析】根据a＜b＜c，a+c=49和a2+b2=c2讨论a、b、c的值，计算符合题意的a、b、c的值，即可求出b的值． 【详解】解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c， ∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49-a， 故b2=492-98a=49（49-2a）， 其中a＜b＜c，∴a＜24， b=7， 由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29， ∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意， 故答案为21或35． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中求出符合题意的a、b、c的值是解题的关键． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的中线，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及垂直平分线的性质，由是的中线求出，由勾股定理的逆定理得出，进而由垂直平分线的性质得出． 【详解】解：∵是的中线，, ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵是的中线， ∴垂直平分， ∴． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则 ．    【答案】45 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得是等腰直角三角形，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（19-20八年级上·江苏南京·阶段练习）某住宅小区有一块草坪如图四边形，已知米，米，米，米，且，则这块草坪的面积为 平方米． 【答案】36 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】连接AC， ∵米，米，且 ∴ ∴米， ∵米，米， ∴AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2． 故答案为：36． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点． 18．（八年级上·江苏镇江·期中）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ． 【答案】40海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里， 根据勾股定理得：=40（海里）． 故答案为：40海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，已知在中，，，，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，且，即可利用三角形面积计算公式求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．    (1)着火点受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为，    ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 着火点C受洒水影响； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点    则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点C能被扑灭． 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图①②③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下面的要求画图：       ①                   ②                  ③ (1)在图①中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的等腰三角形； (2)在图②中，以格点为顶点画一个边长都是无理数的直角三角形； （不得与第（1）题答案相同） (3)在图③中，以格点为顶点画一个边长都是有理数的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，网格图中判断直角三角形和等腰三角形． （1）根据题意，画出腰长为，底边长为的等腰三角形即可； （2）根据题意，画出直角边为和，斜边为的直角三角形即可； （3）根据题意画出边长分别为3、4、5的三角形即可． 【详解】（1）解：如图的三角形即为所求； ； （2）解：如图的三角形即为所求； ． （3）解：如图的三角形即为所求； ． 22．（22-23八年级上·江苏·期末）如图，中，，垂足为． (1)求证：； (2)点为边上一点，连接，若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形． （2）分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 又，，， ， ， ， ， ． （2）解：分三种情况： ①当时， ， ， ； ②当时，则：， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴； ③当时，； 综上所述：的长为或或． 23．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，点D是外一点，连接，， 且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． (1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故得长为5． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． 24．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：． （2）解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 25．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，垂足为，，，． (1)求证：是直角三角形； (2) ， ， ， 发现：“的三边分别是对应三边的 倍”； 猜想：将三边扩大任意的倍数，所构成的三角形还是直角三角形吗？若是请说明理由，若不是，请举出反例． 【答案】(1)见解析 (2)；；；，是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理， (1)根据，垂足为，，，，得到，计算，，，再利用勾股定理的逆定理证明即可． （2）根据已知计算，，，发现：“的三边分别是对应三边的倍”；利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）∵，垂足为，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， 故答案为：；；； 发现：“的三边分别是对应三边的倍”； 故答案为：． 还是直角三角形，理由如下： 设的边都扩大k倍，得 ∴； ∵， ∴， ∴ 故新三角形是直角三角形． 26．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$