1.1.2 空间向量的数量积运算（六个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

1.1.2空间向量的数量积运算 一、空间向量数量积的简单计算 四、空间向量的夹角问题 二、空间向量数量积与线性运算 五、空间向量的垂直问题 三、空间向量的模 六、空间向量的投影向量 知识点1空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 重难点一 空间向量数量积的简单计算 【例1】正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【例2】在正方体中，，则 ． 【变式1-1】已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知空间向量的夹角为，则 ． 【变式1-3】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（    ） A． B． C． D． 重难点二 空间向量数量积与线性运算 【例3】已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【例4】如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】在长方体中，，，，则（ ） A． B． C．3 D．9 【变式2-2】在正三棱锥中，是的中心，，则 . 【变式2-3】如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 知识点2数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 投影向量： 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 重难点三 空间向量的模 【例5】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【例6】如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    【变式3-1】如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【变式3-2】如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)求的模． 重难点四 空间向量的夹角问题 【例7】平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【例8】在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【变式4-1】如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 【变式4-3】已知：正四面体（所有棱长均相等）的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点，求、的夹角． 重难点五 空间向量的垂直问题 【例9】（多选）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（    ） A．· B．· C．· D．· 【例10】三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，若，则 . 【变式5-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式5-3】已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 重难点六 空间向量的投影向量 【例11】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【例12】如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【变式6-1】在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【变式6-2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是 ． 【变式6-3】如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 一、单选题 1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 3．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．从棱长为的正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 8．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 9．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 10．如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 11．平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 . 四、解答题 12．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 13．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 14．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2空间向量的数量积运算 一、空间向量数量积的简单计算 四、空间向量的夹角问题 二、空间向量数量积与线性运算 五、空间向量的垂直问题 三、空间向量的模 六、空间向量的投影向量 知识点1空间向量的数量积 1.空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 重难点一 空间向量数量积的简单计算 【例1】正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】, 故选：A 【例2】在正方体中，，则 ． 【答案】 【详解】解：在正方体中，因为，， 所以． 故答案为：2. 【变式1-1】已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 【变式1-2】已知空间向量的夹角为，则 ． 【答案】13 【详解】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 【变式1-3】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故选：B 重难点二 空间向量数量积与线性运算 【例3】已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 【例4】如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 【变式2-1】在长方体中，，，，则（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】，，， . 故选：C. 【变式2-2】在正三棱锥中，是的中心，，则 . 【答案】/ 【详解】如图所示，   ， 因为为正三棱锥且，所以为正四面体， 作中点，因为是的中心， 所以三点共线且， 所以， 所以 故答案为： 【变式2-3】如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得： ． （2）解：由向量的数量积的运算法则，可得： ． 知识点2数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 投影向量： 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 重难点三 空间向量的模 【例5】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【答案】D 【详解】由，又底面是正方形，，且， 所以， 故. 故选：D 【例6】如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    【答案】 【详解】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 故答案为： 【变式3-1】如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【答案】 【详解】因为. 所以 所以. 故答案为：. 【变式3-2】如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 同理可得，，， 所以丝线缠一圈的长度为， 故选：A 【变式3-3】如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． (1)用，，表示向量； (2)求的模． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）由（1）可得： ∴. 重难点四 空间向量的夹角问题 【例7】平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 【例8】在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 【变式4-1】如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式4-2】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 【答案】 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故与所成角的余弦值为. 【变式4-3】已知：正四面体（所有棱长均相等）的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点，求、的夹角． 【答案】 【详解】正四面体的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点， 记，，， 由空间向量数量积的定义可得， ，， ， 同理可得， 所以，， ，因此，、的夹角为. 重难点五 空间向量的垂直问题 【例9】（多选）已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（    ） A．· B．· C．· D．· 【答案】ABC 【详解】如图所示： 若AA1=AD，则AD1⊥B1C，A正确； 若AB=AD，则BD1⊥AC，B正确； ∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确； ∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边， ∴两者不可能垂直，D错. 故选：ABC. 【例10】三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得， 即， 故选：A 【变式5-1】正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，若，则 . 【答案】 【详解】如图： 由题意，且， 则，，又，即， 所以，所以， 所以，所以， 解得，即. 故答案为： 【变式5-2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式5-3】已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 重难点六 空间向量的投影向量 【例11】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【详解】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 【例12】如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 【变式6-1】在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【详解】   由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 【变式6-2】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是 ． 【答案】 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 【变式6-3】如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【答案】 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 一、单选题 1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）    A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：A. 3．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 4．从棱长为的正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①当为正方体的两条棱，且时， 或，； ②当为正方体的两条棱，且时，； ③当为正方体的一条棱，为与垂直的侧面的面对角线时， ，； ④当为正方体的一条棱，为与平行的侧面的面对角线时， ，，或，； ⑤当为正方体的一条棱，为正方体的体对角线时， ，，，； ⑥当分别为同一侧面或两平行侧面的面对角线时，或， 若，则； 若，则或，，； ⑦当分别为两相邻侧面的面对角线时， ，或，； ⑧当为正方体两条体对角线时， 设，则，， ，； 综上所述：的值有，，，共种. 故选：B. 5．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】①由及正方体棱长与体对角线关系，故，①正确； ②， 而面，面，则，又， ，面，故面， 又面，故，则，②正确； ③设该正方体的棱长为， ， 所以， 因为两个向量的夹角的范围为， 所以与的夹角为，③不正确， 故选：C. 6．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 二、多选题 7．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 8．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，，， 对于A选项，因为，， 所以，， 所以，故A错误； 对于B选项，因为，，， 所以， 所以，故B正确； 对于C选项，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D选项，因为，， 所以， 因为，所以， ，所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 10．如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 【答案】 【详解】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为： 11．平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设， ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 13．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 14．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2）由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$