第一章 一元二次方程小结思考（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章 一元二次方程 小结与思考 学习目标 1. 会解简单数字系数的一元二次方程，能根据具体方程的特征，灵活选择合适的方法解方程； 2. 会根据具体问题中数量之间的相等关系列出一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 2 思维导图 3 考点精讲 考点一 一元二次方程的概念 例1 若关于的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为 ( ) A．2 B．－ C．2或－ D． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A A 4 巩固练习 1.下列方程是一元二次方程的是(　　)A. ax2＋bx＋c＝0 B. 3x2－2x＝3(x2－2) C. x3－2x－4＝0 D. x2＋1＝0 D 2. 将方程5x2＝4x＋1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为_________________. 5、－4、－1 巩固练习 3. 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0， 回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值. 解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0， 解得m＝－1. 巩固练习 (2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解. 解：(2)存在，有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0， 则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，则方程变为 －x－1＝0，解得x＝－1. 考点精讲 考点二 一元二次方程的解法 一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择. 直接开平方法 缺少一次项或形如(ax＋b)2＝c(a≠0，c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解较简便. 8 一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解较简便. 考点精讲 因式分解法 方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解较简便. 配方法 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或较大数时，选配方法求解较简便. 公式法 9 考点精讲 例2 用适当的方法解下列方程： （1） (x－2)2＝16； x1＝－2，x2＝6 （2） x2－6x－91＝0； x1＝－7，x2＝13 （3） 2x2－4x＋3＝0； x1＝，x2＝ （4） 9(x－2)2－(2x＋3)2＝0. x1＝，x2＝9 10 巩固练习 1. 解方程(x－2)2＝3(x－2) ，最简便的方法是 ( ) A. 配方法 B. 公式法 C. 因式分解法 D. 直接开平方法 C 2. 用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是 ( ) C A. (x＋2)2＝3 B. (x＋2)2＝17 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝17 11 巩固练习 3. 已知关于x的方程ax2−bx−c=0的系数满足ac>0，则此方程的根为 ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D 4.若一元二次方程(x－2)2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a＋b的值为 __________.  6＋　 12 巩固练习 (1) 9x2＋6x＋1＝0； 5. 解下列方程： x1＝x2＝－ (2) x(x＋8)＝25； x1＝－4，x2＝－－4 (3) 2x2－3x＋5＝0； 无实数解 (4) (x－3)2＋2x(x－3)＝0. x1＝3，x2＝1 13 考点精讲 考点三 一元二次方程根的判别式 例3 已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：依题意，得 解得k＞－且k≠0. 14 巩固练习 1.下列关于一元二次方程2x2－2＝5x根的情况说法正确的是(　　)A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 B 2.若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)A.－1 B.1 C.－2或2 D.－3或1 A 15 巩固练习 3.关于x的方程(x－2)2＝1－m无实数根，那么m满足的条件是__________. m＞1 4. 若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是__________________. m≤1且m≠0 巩固练习 5. 已知关于x的方程mx2＋(3－m)x－3＝0(m为实数，m≠0).(1)试说明：此方程总有两个实数根； 解：(1)∵b2－4ac＝(3－m)2－4m×(－3) ＝m2－6m＋9＋12m ＝m2＋6m＋9 ＝(m＋3)2≥0， ∴此方程总有两个实数根. 17 巩固练习 (2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 解：(2)由求根公式，得x＝， ∴x1＝1，x2＝－ (m≠0). ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m的值为－1或－3. 18 考点精讲 考点四 一元二次方程根与系数的关系 例4 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝. 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值. 解：∵ m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根， ∴ m＋n＝1，mn＝－1. ∴ m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： 考点精讲 (1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝______⁠， x1x2＝__________； －　 －　 (2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0 的两个实数根分别为m、n，求m2＋n2的值； 解：(2) ∵ 一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为m、n， ∴ m＋n＝－，mn＝－. ∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝＋1＝. 考点精讲 (3)提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0 ，且s≠t，求－的值. 解：(3) ∵ 实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t， ∴ s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根. ∴ s＋t＝－，st＝－. ∵(t－s)2＝（t＋s）2－4st＝－4×＝， ∴ t－s＝±. ∴ －＝＝＝±. 巩固练习 1. 若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则 ( ) A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6 C. x1x2＝ D. x1x2＝7 A 2. 下列方程中，两个实数根的和等于2的方程是( ) A. 2x2－4x＋3＝0 B. 2x2－2x－3＝0 C. 2y2＋4y－3＝0 D. 2t2－4t－3＝0 D 22 巩固练习 3. 关于x的一元二次方程x2－(4－m)x＋m＝0的两个实数根分别为x1、x2，且x1＋x2＝5，则x1x2的值是________. －1 4. 已知一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为_______. 12 5.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2024＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________. 2022 巩固练习 (1) 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 解：(1) ∵ b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4×(m2＋m)＝1＞0， ∴ 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 6. 已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0. 巩固练习 (2)设该方程的两个实数根为a、b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值. 解：(2) ∵ x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两个实数根为a、b， ∴ a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m. ∵ (2a＋b)(a＋2b)＝20， ∴ 2a2＋4ab＋2b2＋ab＝20， 即2(a＋b)2＋ab＝20. ∴ 2(2m＋1)2＋m2＋m＝20， 即m2＋m－2＝0， 解得m＝1或m＝－2. ∴ m的值为1或－2. 25 考点精讲 考点五 用一元二次方程解决实际问题 例5 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料). (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ 解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为x m，则边BC的长为70－2x＋2＝(72－2x)m. 根据题意，得x(72－2x)＝640. 整理，得x2－36x＋320＝0， 解得x1＝16，x2＝20. 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. ∴ 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时， 能围成一个面积为640 m2的羊圈. 考点精讲 (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 解：(2) 不能　 理由：由题意，得x(72－2x)＝650. 整理，得x2－36x＋325＝0. ∵ b2－4ac＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴ 一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到650 m2. 巩固练习 2. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍共有( ) A. 8支 B. 10支 C. 7支 D. 9支 B 1. 若连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是 ( ) A. 3 B. <m></m> C. <m></m> 或4 D. <m></m> 或3 D 巩固练习 3.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为为_____m. 30m 24m 2 巩固练习 4. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买书籍的费用为5000元，2022年用于购买书籍的费用为7200元，求2020～2022年购买书籍费用的年平均增长率. 解：设2020～2022年购买书籍费用的年平均增长率为x. 由题意，得 5000(1＋x)2＝7200， 解得x＝0.2＝20％或x＝－2.2(不合题意，舍去). ∴ 2020～2022年购买书籍费用的年平均增长率为20％. 巩固练习 5.某商户购进某种电子产品的进价是每个50元，根据市场调研发现，当销售单价是80元时，每周可卖出160个.若销售单价每降低2元，则每周可多卖出20个.设销售单价降低x元. (1)每周可卖出 　（10x＋160）　⁠个（用含x的代数式表示）；  (2)要使该商户每周销售该商品的利润达到5280元，且更有利于减少库存，则销售单价应降低多少元？ 解：根据题意，得(80－x－50)(10x＋160)＝5280， 解得x1＝6，x2＝8. ∵ 要更有利于减少库存， ∴ x＝8. 答：销售单价应降低8元. （10x＋160）　 巩固练习 6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿射线AB运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设点P的运动时间为ts，△PCQ的面积为Scm2. (1) AC＝________cm；  8　 巩固练习 解：∵ AP＝CQ＝2tcm，AB＝8cm， ∴ BP＝｜8－2t｜cm. ∴ S＝CQ·BP＝t｜8－2t｜. 易知当t＝4时，点P与点B重合，此时不存在△PCQ， ∴ S＝ 当0＜t＜4时，－2t2＋8t＝×8×8，即t2－4t＋16＝0. ∵ 根的判别式为（－4）2－4×1×16＝－48＜0， ∴ 该方程无解. 当t＞4时，2t2－8t＝×8×8，即t2－4t－16＝0， 解得t1＝2－2（不合题意，舍去），t2＝2＋2. ∴ 当点P运动（2＋2）s时，S△PCQ＝S△ABC. (2) 求S关于t的函数表达式，并求出当点P运动多少秒时，S△PCQ＝S△ABC. 课堂总结 谈谈你本节课的收获是什么？ $$