2.8判别式及根与系数的关系大题专练（重难点分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.8判别式及根与系数的关系大题专练（重难点分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 3．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 4．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 5．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 6．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 7．（22-23九年级上·陕西延安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 8．（22-23九年级上·四川雅安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 9．（23-24·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 10．（23-24·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 11．（23-24·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根． 12．（23-24·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 13．（23-24·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 14．（23-24·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 15．（23-24·北京石景山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 16．（23-24·广西贺州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 17．（23-24·北京延庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 18．（23-24·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 19．（23-24·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 20．（23-24·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 一、解答题 1．（23-24·江苏南通·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 2．（23-24·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 3．（23-24·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 4．（2024·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 5．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 6．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 7．（23-24·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 8．（23-24·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 9．（23-24·重庆北碚·阶段练习）关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 10．（23-24·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 11．（23-24·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 12．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8判别式及根与系数的关系大题专练（重难点分层培优提升） 一、解答题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 【答案】，a的最小整数值是 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论． 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 的最小整数值是． 3．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2），，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 4．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 5．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 6．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 7．（22-23九年级上·陕西延安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 8．（22-23九年级上·四川雅安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的值或 【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键． 9．（23-24·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（23-24·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 11．（23-24·江苏盐城·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)若该一元二次方程有一个根为，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的根与系数关系． （1）根据题意可得根的判别式，列出不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，把代入，求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，； （2）解：设是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程根与系数的关系可知，， ∵， ∴． 即一元二次方程的另一个根为 12．（23-24·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 13．（23-24·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）通过计算判别式的值得到，从而可判断方程根的情况； （2）把代入方程可求的值，根据根与系数的关系得到方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，， 解得， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴ 14．（23-24·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，及根与系数的关系． （1）计算一元二次方程根的判别式得，根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根”即可得证得结论； （2）根据一元二次方程的跟与系数的关系，得，，然后利用完全平方公式变形，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ，恒成立，与无关， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：，为方程的两个实数根， ，， ， 解得，． 15．（23-24·北京石景山·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）由题意得： 解得： （2）∵ ∴m的最小整数为 此时方程为 解得： 16．（23-24·广西贺州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，该方程的另一个根 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）将代入方程即可求得，据此即可求解； 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得， 将代入方程，整理可得：， 即， 解得或， 该方程的另一个根． 17．（23-24·北京延庆·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，对于（1），根据题意可知，再求出解即可； 对于（2），根据取值范围求出m的值，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：依题意，得 ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴； （2）解：∵m为满足条件的最大整数， ∴． ∴， ∴． 18．（23-24·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 19．（23-24·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式的意义； （1）设另一个根为，由根与系数的关系得出，，即可求出的值及另一个根； （2）由判别式的意义得出，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设另一个根为， 由根与系数的关系得出， 解得：； （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 20．（23-24·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 一、解答题 1．（23-24·江苏南通·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ (3)若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】(1)，边长为 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； （2）解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； （3）解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 2．（23-24·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由关于的方程有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解方程得或5，再由（1）中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ，解得； （2）解：由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及由一元二次方程根的情况求参数范围、解不等式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解决问题的关键． 3．（23-24·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 4．（2024·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 5．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 6．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程有两个实数根，，且， 那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x 的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)是 (2)48 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了二次函数的性质． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，则利用根与系数的关系得，，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵，，， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为48． 7．（23-24·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 8．（23-24·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键． （1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程； （2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下， ∵， ∴， ∴关于的方程一定为一元二次方程； （2）解：当时，， ∴该方程为， ①∵该方程有实数解， ∴， ∴， 解得：； ②，整理得：， ∵和是该方程的两个实数解， ∴，， ∴代入中，得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵由①得：； ∴． 9．（23-24·重庆北碚·阶段练习）关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 【答案】(1)的周长为或 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义； （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 （2）∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 10．（23-24·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 11．（23-24·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)所求直线解析式为或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定义是解决本题的关键． （1）将分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可； （2）由题意可得直线过点，可得，即，得出函数关系式为，再求出点A、B的坐标，再根据列出方程求解即可； （3）由为“明一方程”，可得，又，从而得出，且有，解不等式组得：．再由为的两根，且为其一个解，可得另一个解为，再求解即可． 【详解】（1）解：①将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； ②将代入方程得，， 不是方程的解， 不是“明一方程”； ③将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； 故答案为：①③； （2）解：当时，关于x的方程为“明一方程”， 直线过点， ，即， 函数关系式为， 令，得，即， 令，得，解得：，即， ， ， 解得：或， 直线解析式为或或； （3）解：已知为“明一方程”， 所以，又， 所以，且有， 解不等式组得：． 为的两根，且为其一个解， 所以另一个解为， 所以，令， 则是关于的一次函数，由一次函数的增减性可得： 12．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$