22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（第2课时 13大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.1.5二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（十三大题型提分练） 题型一、二次函数y=a(x-h)²+k的基本性质 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 3．（九年级上·全国·课后作业）填表． 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 y＝－(x＋3)2＋2 y＝3(x－2)2 y＝－3x2＋2 题型二、二次函数y=a(x-h)²+k基本性质的判断 4．（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 6．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 题型三、比较二次函数y=a(x-h)²+k的函数值的大小 7．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，都在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、二次函数y=a(x-h)²+k的图象所过象限问题 10．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 11．（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 12．（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、二次函数y=a(x-h)²+k的增减性问题 13．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广西·一模）在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（20-21九年级上·河北廊坊·阶段练习）二次函数在时随增大而减小，则的取值范围是 ． 题型六、二次函数y=a(x-h)²+k与平移、对称问题 16．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 18．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 题型七 、求二次函数y=a(x-h)²+k最值问题 19．（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 20．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）二次函数在范围内的最小值为 ． 21．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）当时，函数的最大值是 ． 题型八、已知二次函数y=a(x-h)²+k的最值求参数 22．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 23．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 24．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 题型九、二次函数y=a(x-h)²+k与几何问题 25．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点B作的垂线并截取，连接周长最小值为 ． 26．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为 ． 27．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ． 题型十、二次函数y=a(x-h)²+k的公共点、固定点问题 28．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 29．（2023九年级下·全国·专题练习）若使抛物线的图象与直线没有交点，则的取值范围是 ． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于任何的实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点坐标是 ． 题型十一、画二次函数y=a(x-h)²+k的图象 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 32．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 33．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 题型十二、二次函数y=a(x-h)²+k的性质综合问题 34．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 35．（2022·安徽·模拟预测）已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 36．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线  B．抛物线）上，且表达式为______； (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 题型十三、二次函数y=a(x-h)²+k新定义问题 37．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 38．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． (1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 39．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 6．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数经过点，，若 ，则下列说法正确的为（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 7．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为 ． 9．（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    10．（2023·安徽宿州·二模）设二次函数，其中a为实数． （1）二次函数的对称轴为直线 ．（用含a的式子表示） （2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是 ． 三、解答题 11．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数（是实数）． (1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？ (2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 12．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令． (1)若，，求的值； (2)若，，求a的值； (3)若，请直接写出h的取值范围． 13．（20-21九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 14．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线． （1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值． （3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.5二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（十三大题型提分练） 题型一、二次函数y=a(x-h)²+k的基本性质 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 3．（17-18九年级上·全国·课后作业）填表． 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 y＝－(x＋3)2＋2 y＝3(x－2)2 y＝－3x2＋2 【分析】各个函数都是顶点坐标式，根据顶点式可求抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴． 【详解】 解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴 y＝(x－2)2－3 向上 (2，－3) 直线x＝2 y＝－(x＋3)2＋2 向下 (－3，2) 直线x＝－3 向下 (－5，－5) 直线x＝－5 向上 (，1) 直线x＝ y＝3(x－2)2 向上 (2，0) 直线x＝2 y＝－3x2＋2 向下 (0，2) 直线x＝0 【点睛】本题考查了二次函数的性质．在抛物线的顶点式方程y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 题型二、二次函数y=a(x-h)²+k基本性质的判断 4．（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像与性质即可得出答案． 【详解】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意； B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意； C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意； D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点坐标，及最高点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键 【详解】解：①的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ②的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为， 图象有最高点； ③的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ∵三个图象的，故三个抛物线的形状相同， 故选：C. 6．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数的图象， ∵，对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是， 故选项A、C、D错误，选项B正确． 故选：B 题型三、比较二次函数y=a(x-h)²+k的函数值的大小 7．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 8．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 9．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，都在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式．根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型四、二次函数y=a(x-h)²+k的图象所过象限问题 10．（23-24九年级下·河南南阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据抛物线顶点坐标的位置求得，，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【详解】解：由题意可知，二次函数的图象的顶点坐标为， 由图象可知，此拋物线的顶点在第四象限， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象必经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限， 故选：C． 11．（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 题型五、二次函数y=a(x-h)²+k的增减性问题 13．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 14．（2024·广西·一模）在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故选：B． 15．（20-21九年级上·河北廊坊·阶段练习）二次函数在时随增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据a=1＞0，抛物线开口向上，再根据对称性说明函数的递减情况，最后求出m的取值范围． 【详解】解：， 二次函数开口向上， 二次函数的对称轴是直线， 当时随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ． 故答案为：． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握用对称轴、开口方向判断函数的递减情况是解题关键． 题型六、二次函数y=a(x-h)²+k与平移、对称问题 16．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 17．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得关于轴对称的顶点坐标为，再根据开口向下，进而可求解．可求出抛物线的顶点坐标为，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，可求出函数的顶点式，再根据对称之后的开口向下，可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，且对称之后的抛物线开口向下， ∴所求抛物线解析式为：． 故选：D． 18．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 题型七 、求二次函数y=a(x-h)²+k最值问题 19．（2024·广西河池·三模）二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 20．（23-24九年级上·广东中山·阶段练习）二次函数在范围内的最小值为 ． 【答案】4 【分析】把解析式化为顶点式，可以得到该函数在的取值范围内，取得的最小值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴是，，开口向上，且在范围内y随x的增大而增大， ∴当时，． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）当时，函数的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出当时，函数最大值，即可求解． 【详解】解：, 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数最大值，最大值为， 故答案为：2． 题型八、已知二次函数y=a(x-h)²+k的最值求参数 22．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 23．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．最大值为分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由求出，最小值只能由求出． 【详解】解：二次函数的大致图象如下：    ①当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：或均不合题意，舍去； ②当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：， 或时，取最小值，时，取最大值， ，， ， ， 此种情形不合题意， 所以． 故选：B． 24．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 题型九、二次函数y=a(x-h)²+k与几何问题 25．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点B作的垂线并截取，连接周长最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，二次函数的性质，三角形的周长等知识． 根据勾股定理可求得，由可将的周长转化为，从而当取最小时，的周长最小，设（），在中，根据勾股定理可以表示出，根据二次函数的性质求得的最小值为16，故的最小值为4，即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设（）， 则， ∵， ∴在中，， ∴当，即时，有最小值，为， ∴的最小值为4， ∴周长的最小值为． 故答案为： 26．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到， 设抛物线与轴的交点为， 抛物线， 时，， ， 设点， 由题意得：， ， ， 点的坐标为 故答案为： 27．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A在第二象限可得答案． 【详解】解：∵以A为顶点的抛物线经过原点， ∴，， ∵点B在x轴负半轴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十、二次函数y=a(x-h)²+k的公共点、固定点问题 28．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 29．（2023九年级下·全国·专题练习）若使抛物线的图象与直线没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向和顶点坐标即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线顶点为，开口向下有最大值，抛物线图象与直线没有交点， ， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于任何的实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先把解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可． 【详解】解：， 当，即时，的值与无关，， 所以，抛物线总经过一个固定的点． 故答案为：． 题型十一、画二次函数y=a(x-h)²+k的图象 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)向下，，，，， (2)见解析 (3) (4)< 【分析】（1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得； （2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得； （3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得； （4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：    （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 32．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见解析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可； （2）由表中的点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由抛物线可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 33．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 【答案】(1)一次函数的表达式为，画图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可； （2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可； 【详解】（1）∵二次函数二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：    （2）由（1）中的图象可得， 不等式的解集为：或； （3）把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． 题型十二、二次函数y=a(x-h)²+k的性质综合问题 34．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 35．（2022·安徽·模拟预测）已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解； （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解． 【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上． ， ． 图象上任意两点纵坐标差的最大值为2， ， ， 解得（舍去）， ， ∴整数的值为1． 36．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线  B．抛物线）上，且表达式为______； (3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】（1）把代入得出函数解析式，再把点坐标代入函数解析式即可得出的值； （2）设①，②，可得，从而知顶点在一条直线上，且表达式为； （3）由点，都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线，从而得出，则，最后得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 点在该函数图象上， ， （2）顶点是，设①，②， 由①得，由②得， ， 顶点在一条直线上，且表达式为， 故选：；故答案为； （3）证明：点，都在该二次函数图象上， 对称轴为直线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型十三、二次函数y=a(x-h)²+k新定义问题 37．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 38．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”． (1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题； （2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为， 这个“反倍顶二次函数”的解析式为； （2），顶点坐标为， ，顶点坐标为， 函数恰好是的“反倍顶二次函数”， ， 解得． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型． 39．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． (1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； (3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解． 【详解】∵当时，；当时，， ∴， 即，可得：， 整理得：， ∵二次函数图像开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 3．（2024·河北邯郸·三模）已知，，为三个常数，且二次函数的图象经过，两点．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值可能为； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点有两个 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，即可判断Ⅰ；根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于，即可判断Ⅱ，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵图象经过、两点，， ∴对称轴在到之间，故结论Ⅰ不正确； ∵图象经过、两点，，对称轴为直线， ∴点不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， ∴点满足条件的点有两个，故结论Ⅱ正确； 故选：． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知某二次函数上两点，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．解题时要熟练掌握并理解是关键． 【详解】解：由题意， 当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大． ∵当时，； ∴． ∴． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，， ∴ ∴ ∴当时，y随x的增大而减小． ∴抛物线的对称轴为，开口向上，即二次项系数为正， 观察选项只有B符合， 故选：B． 5．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以根据的正负得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线， ∴当时，当时，随的增大而减少，当时，随的增大而增大 ∴当时，当时， 当时， ∴， 解得 当时，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减少 ∴当时，当时， 当时， ∴ 解得 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数经过点，，若 ，则下列说法正确的为（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键：开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小；开口向下，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越大，即可得到的取值范围．本题运用了分类讨论的思想． 【详解】解：当时 开口向上， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项B符合题意，选项C不符合题意； 当时 开口向下， ∵二次函数经过点，，且 ， ∴， ∴，故选项A不符合题意，选项D不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．（23-24九年级上·北京朝阳·阶段练习）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴， ∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且， ∴根据对称性可得P点对称点， ∴或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】7或0 【分析】由解析式可知该函数在时取得最大值1；时，y随x的增大而增大、当时，y随x的增大而减小，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，y取得最大值；②若，当时，y取得最大值，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：∵， 则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴①若，，时，y取得最大值， 可得：， 解得：0或4（舍）； ②若，，当时，y取得最大值， 可得：， 解得：7或3（舍）； ③当，时，最大值为1，不符合题意， 综上，h的值为7或0， 故答案为：7或0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 9．（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可． 【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵四边形为正方形，点，点， ∴点的坐标为， 如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，    将代入得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键． 10．（2023·安徽宿州·二模）设二次函数，其中a为实数． （1）二次函数的对称轴为直线 ．（用含a的式子表示） （2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是 ． 【答案】 / 4 【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）分三种情况讨论：当，即，则当时，y有最小值，最小值为，当，即，则当时，y有最小值，当，即，则当时，y有最小值，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵二次函数， ∴对称轴为直线：， 故答案为：； （2）当，即， 则当时，y有最小值，最小值为，不合题意，舍去； 若，即，则当时，y有最小值， ∴， ∴，解得（舍去），； 当，即， 则当时，y有最小值， ∴，解得（舍去）． 故答案为4． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题 11．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数（是实数）． (1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？ (2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)对的，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动； （2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：设顶点坐标为（x，y） ∵已知二次函数（是实数）， ∴x=2m，y=3-4m， ∴2x+y=3， 即y=-2x+3， ∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动， 故小明的说法是对的． （2）证明：点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线 ， ∴ ， ∴a=1， ∴点P坐标为（-4，c） 代入，得 ∴c≤15． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2022·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令． (1)若，，求的值； (2)若，，求a的值； (3)若，请直接写出h的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值； （2）方法同（1）得，即，求出a的值即可； （3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围． 【详解】（1）当，时，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时， 当时，； 当时，； ∴ ∴， ∴， ∴的值为1； （2）当时，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时， 当时，； 当时，； ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为； （3）由（1）可知，当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴点离抛物线的对称轴最远， ∴h的取值范围是 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13．（20-21九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知直线与抛物线有一个公共点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）说明直线与抛物线有两个交点． 【答案】（1），；（2）证明见详解． 【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标； （2）由直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可； 【详解】解：（1）抛物线过点， ，即， ， 抛物线顶点的坐标为，； （2）直线经过点， ，解得， ∴直线的解析式是 联立直线与抛物线解析式，即有： 可得 △， 由（1）知，且， ， △， 方程有两个不相等的实数根， 直线与抛物线有两个交点； 【点睛】本题考查的是二次函数的顶点式，根的判别式，一元二次方程等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 14．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线． （1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值． （3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式． 【答案】（1）见解析； （2）或； （3）， ， ， 【分析】（1）先求得顶点分别为与，再根据等勾股抛物线定义即可得出． （2）根据等勾股抛物线定义，按直角顶点分类讨论即可． （3）先求得顶点分别为，再根据等勾股抛物线定义即可得出 【详解】（1），，求得顶点分别为与， 易证，与原点构成的三角形为等腰直角三角形， 故：抛物线与抛物线是等勾股抛物线； （2）由题可知：抛物线与抛物线是等勾股抛物线， 则，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 则，，， ①若以为直角顶点，则， 即：，解得，则； ②若以为直角顶点，则， 即：，解得，不符合题意，舍去； ③若以为直角顶点，则, 即：，解得或（舍去），则； 的值为或； （3）由题意，抛物线的顶点为，， 直线的解析式为，则设直线垂线的解析式为， ①若以点为直角顶点，将代入，解得，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，， 则由，得，解得或， 即等勾股抛物线的顶点为， ， ②若以点为直角顶点，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，， 则由，得，解得， 即等勾股抛物线的顶点为， ， ③若以点为直角顶点，取的中点，代入中，解得，则， 如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上， 设其顶点坐标为，，， 则由，得，解得或， 即等勾股抛物线的顶点为， ， 综上，抛物线的等勾股抛物线的解析式有： ， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数与等腰直角三角形的综合问题，审清题意，抓住定义，分类讨论是解决问题的关键． ( 48 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$