专题12 二次函数综合题（解答题24题，压轴题）-【好题汇编】2024年中考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题12 二次函数综合题（解答题24题，压轴题） 一、解答题 1．（2024·上海长宁·统考一模）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值； ②如果，求点的坐标． 2．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．    图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 3．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 4．（2024·上海嘉定·统考一模）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·上海宝山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 6．（2024·上海静安·统考一模）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 7．（2024·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 8．（2024·上海崇明·统考一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 9．（2024·上海青浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 10．（2024·上海松江·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 11．（2024·上海奉贤·统考一模）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 12．（2024·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 13．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 14．（2024·上海黄浦·统考一模）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 15．（2024·上海金山·统考一模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 16．（2024·上海闵行·统考一模） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6）．抛物线C1：y＝﹣ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B（点P与点B不重合），抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反． （1）当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式； （2）求抛物线C2的对称轴； （3）当a＜0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数综合题（解答题24题，压轴题） 一、解答题 1．（2024·上海长宁·统考一模）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值； ②如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）先由一次函数求出，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答． （2）①依题意，得，，根据角的等量代换，即，先求出点B的坐标．的正切值等于； ②先表达出，，，，再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线经过点与点 则当； ∴ ∴ 解得 ； （2）解：①如图： ∵，且两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 则 ∵ ∴轴 则 ∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点． ∴ 则 ∵轴交于两点（点在点的左侧）， ∴ ∴， ∴ ∵ 则的正切值等于； ②设，的解析式为 ∴把代入 得 解得 ∵过点作的平行线交线段于点，交轴于点 ∴设的解析式为 把代入 得 ∴ 令， 即 当 解得 则把代入 得 ∴ ∵过点作轴，过点作轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ 解得 ∵点在线段下方的抛物线上， ∴（舍去） ∴． 把代入 ∴ ∴点的坐标 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．    图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 【答案】(1)P；位似；相似 (2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析 【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P；位似；相似 （2）解：①如图，即为所求；    令，则， 解得：或0， ∴点A的坐标为， 设点B的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B的坐标为， ∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设经过O、、三点的抛物线的表达式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴经过O、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下： 如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，    联立得： ，解得：或， ∴点M的坐标为， ∴，，， 同理点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴和为位似三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 3．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，求得，由此得到答案． （2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为，根据已知条件，令，求出，得到答案． ②先利用已知条件，求出点，点，由此得到轴，过点，作轴于点，得到，又，设，，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 点，点在抛物线上， ， 解得：， 该抛物线的表达式为：． （2）①根据题意得： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的表达式为： ， 令， 解得：， ， ， 解得：； ②由①抛物线的表达式为： ， 其对称轴为， 则点， 当时，， 即点， 点、的纵坐标相同， 轴， 过点，作轴于点， 由的坐标，得到， 则， ， 设，， 在中， ， 解得：， 则点坐标为：． 4．（2024·上海嘉定·统考一模）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． ②存在 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ，   ，   ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； 第二种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 5．（2024·上海宝山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2)是正方形，理由见解析； (3)、、、． 【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解； （2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 则点M的坐标为：， 当时，，即点， 则， 解得：（舍去）或， 则平移后的抛物线表达式为：； （2）解：四边形是正方形， 根据题意可得，，，， 记与交于点G，则， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：设，，， 可得，，， ①，，即， 解得，（舍去0）， ； ②，， 解得，， 或； ③，， 解得， ； 综上，点A的坐标是、、、． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键． 6．（2024·上海静安·统考一模）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 7．（2024·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 【答案】(1)，点 (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解； （3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或； （3）解：如图，过点作交于点，则， 设平移后的抛物线表达式为：， 则， 在等腰中，， 则， 则点， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 8．（2024·上海崇明·统考一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 9．（2024·上海青浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，，， (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）证明，则直线的表达式为，即可求解； （）当与相似时，证明，得到，则  ，即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）由题意得: ，解得： ， 当时，，则， （2）由（）得： ∴抛物线解析式为，    由点、的坐标知，轴， 由点、的坐标知，， 则直线的表达式为： ， 联立得：，解得：（舍去）或， ∴时，， 则点； （3）由点、的坐标得直线的表达式为：， 故设点， 由点、、、的坐标得，，，， 当与 相似时， ∵，， 则 ， ∴， 则 ， 即， 即， 解得：， 则点， 则抛物线的表达式为：． 10．（2024·上海松江·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）将、代入解析式再求解即可； （2）过A作轴，根据求解即可； （3）由（1）算出，，再根据点P在y轴上，轴，作轴于K ，得出 证明 得出，又结合平移得出，在中， 由列方程解出，即可求解； 【详解】（1）过 ， 又过， ∴ ， ∴的对称轴为直线， （2）由（1）知， ， ∴ ， 过A作轴， ， ， （3）由（1）得，， ∴，对称轴为直线， 故， 点P在y轴上，轴， 作轴于K ， 设交y轴于L， ， ∴ 又 又， ， ∴， 又由平移知， ∴， ∴， 又在中， ， ∴ ， 或， ， ， ∴二次函数解析式为， ∴为， ∴新抛物线解析式为 11．（2024·上海奉贤·统考一模）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可； （2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， 图 ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 图 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）解：如图2，         图2 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则， 设， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 12．（2024·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可． （2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且， ∴， 解得， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作于点，交右侧的的延长线于点， ∵， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴ ∴， 设的解析式为，的解析式为 ∴， 解得 ∴的解析式为，的解析式为， ∴， 解得， 故； （3）∵，点, 设抛物线向左平移了个单位，则点， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，直线的表达式为：， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键． 13．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①点 ，，②点， 【分析】（1）把代入，求出，求出抛物线的对称轴，在用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标． （2）①设，证明，得到，利用勾股定理得出，，的长，列方程求，可求的坐标． ②连接，求出，的纵坐标为，在代入二次函数解析式求横坐标． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ， 解得， ，抛物线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）①如图，设， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， （不合题意舍去），． 点的坐标为，； ②连接． ，， ， ， 直线垂直平分， ，， ． ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ，不合题意舍去．． 所以点的坐标为，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用． 14．（2024·上海黄浦·统考一模）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．（2024·上海金山·统考一模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标； （2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案； （3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 16．（2024·上海闵行·统考一模） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6）．抛物线C1：y＝﹣ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B（点P与点B不重合），抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反． （1）当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式； （2）求抛物线C2的对称轴； （3）当a＜0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF． 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线C1的解析式，求出a的值； （2）通过题意求出抛物线C2的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线C2求出m的值，从而得到抛物线C2的对称轴； （3）过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，利用a表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明△QOE≌△QOF，得到QO平分∠PQF． 【解答】解：（1）将点A（8，0）代入抛物线， 得﹣a•82+2×8＝0，解得， 得抛物线C1得表达式为； （2）由抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反，设抛物线C2得表达式为y＝ax2+bx+c， 把B（0，6）代入抛物线C2：y＝ax2+bx+c，得c＝6， 则抛物线C2得表达式为y＝ax2+bx+6， 由点P在抛物线C1上，设点P的坐标为（m，﹣am2+2m）， 由点P是抛物线C2的顶点，得，解得， 得点P的坐标为（3，﹣9a+6）， 即抛物线C2的对称轴为直线x＝3； （3）由点Q是抛物线C1的顶点，得Q， 过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，如下图所示， ∵Q， ∴OM＝ON＝， ∴△OQM是等腰直角三角形， ∴∠QON＝∠QOM＝45°， ∴∠QON+∠NOE＝∠QOM+∠MOF，即∠QOE＝∠QOF， 设直线PQ表达式为y＝kx+b， 代入Q，P（3，﹣9a+6），得， ∴直线PQ表达式为y＝（1﹣3a）x+3， 把x＝0代入y＝（1﹣3a）x+3，得y＝3， 得点E的坐标为（0，3）， ∴OE＝OF， ∵OQ＝OQ，∠QOE＝∠QOF， ∴△QOE≌△QOF， ∴∠OQE＝∠OQF， ∴QO平分∠PQF． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$