23.5-23.6 位似图形、图形与坐标（3个知识点+5类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

23.5位似图形及23.6图形与坐标 课程标准 学习目标 ①了解位似图形的相关概念；掌握位似图形的性质，会画位似图形； ②掌握确定物体位置的几种常用方法； ③探索图形变化后对应点的坐标变化. 1.知道位似图形、位似中心、位似比的概念；掌握位似图形的性质，会画位似图形； 2.掌握确定物体位置的几种常用方法，能灵活选择合适的方法确定物体的位置. 3.探索图形变化后对应点的坐标变化，能按要求做出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化. 知识点01 位似图形的相关概念及性质： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 【即学即练1】 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 【即学即练2】 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 知识点02 画位似图形 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【即学即练3】 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段和格点． (1)在所给网格中，以格点为位似中心将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)把线段绕端点顺时针旋转得到线段，画出线段． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点A的对应点即可． 【详解】（1）解：连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接，所作线段如图所示； （2）解：以中心，把线段顺时针旋转得到线段，如图所示，线段为求作的． 知识点03 图形的变化与坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 【即学即练4】 如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 题型01 位似图形的相关概念与性质 【典例1】已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据与是位似图形，可得，利用相似的性质求得，即可得出结果． 【详解】解：的周长是的周长一半， 与的相似比为1：2， 与的面积比为1：4， ， 故选：A． 【变式1】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 【变式2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 【变式3】如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形，根据位似图形的性质即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是， 故选：． 【变式4】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：， ， 与位似， ， ， ， ， 的面积为4， 的面积为9，故答案为：9． 题型02 画位似图形 【典例1】如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点处．    (1)以为位似中心，在网格图中将缩小到原来的，得到，画出图形； (2)连接（1）中的，求四边形的周长（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理， （1）根据位似图形的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出和的长，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的周长． 【变式1】在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】（1）利用位似变换的性质，，，再结合，，，即可分别作出B，C的对应点，，再连接即可作答； （2）探究坐标变化规律，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求：    （2）解：因为，，且由（1）的图可知，， 所以变化后点的对应点的坐标为． 【变式2】如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC． （1）作出关于x轴对称的； （2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2； （3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14平方单位． 【分析】（1）根据轴对称性质即可画出△ABC关于x轴对称的； （2）根据位似图形的性质即可画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为1：2;（3）利用相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：（1）如图，，即为所求作； （2）如图，，即为所求作； （3）∵与的位似比为1：2， ∴∽，， ∴， ∵的面积为3.5平方单位，即的面积为3.5平方单位， ∴的面积为：2=4×3.5=14平方单位． 题型03 位似图形的性质 【典例1】如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似图形和相似三角形的性质，根据点A到点O的距离和点到点O的距离，得到这两个位似三角形的相似比，根据面积比是相似比的平方，求出的面积． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是1∶4， 又的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 【变式1】如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（　　） A．15 B．20 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质推知：，且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答． 【详解】解：， ． 与位似，点为位似中心， ，且． ． ， ． 故选：C． 【变式2】如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 【变式3】如下图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形均为格点三角形（即顶点均在格点上）． (1)如图1，绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到，则点P，Q，M，N四个点中为旋转中心是点______； (2)如图2，以点O为位似中心，把按相似比放大，得到（其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）． ①在图2中画出； ②的面积为______． 【答案】(1)Q；(2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了找旋转中心，画位似图形，割补法求三角形面积： （1）根据旋转中心一定在旋转前后对应点连线的垂直平分线上进行求解即可； （2）①连接并延长到D使得，同理得到E、F，再顺次连接D、E、F即可；②利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线交于点Q， ∴绕点Q按逆时针方向旋转一定角度得到，即旋转中心为Q， 故答案为：Q； （2）解：①如图所示，即为所求； ②， 故答案为：． 题型04 用坐标确定位置 【典例1】北京中轴线创建于元代，形成、完善于明清两代，是北京城市建筑东西对称布局的对称轴线．若按图所示，表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（   ） A．正阳门 B．永定门 C．广渠门 D．西直门 【答案】D 【分析】本题考查的是利用坐标表示位置，先建立坐标系，再根据坐标系可得答案． 【详解】解：如图，∵按图所示，表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为， ∴建立如下图的坐标系， ∴正阳门，永定门，广渠门，西直门， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D 【变式1】如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 【答案】(1)方向，距离；(2)见解析；(3)， 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，确定位置等等： （1）根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置；（2）根据玖珑花海的坐标画出对应的坐标系即可；（3）根据（2）所求写出对应位置的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（2）可知生态湿地的坐标为，音乐喷泉广场的坐标为． 题型05 图形的变化与坐标变化 【典例1】填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． （2）点与点关于原点对称，则 ． （3）点绕原点旋转后到达的位置是 ． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．在平面直角坐标系中，任意点关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．如：点关于x轴的对称点为；关于y轴的对称点为，关于原点对称的点为． 【详解】解：（1）点与点关于原点对称， 点的坐标是， 故答案为：； （2）点与点关于原点对称， ，则， 故答案为：1； （3）点绕原点旋转后到达的位置与原来的点关于原点对称， 到达的位置是．故答案为：． 【变式1】在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（    ） A．向下平移6个单位 B．向上平移6个单位 C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位 【答案】D 【分析】此题主要考查点的坐标平移； 关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可. 【详解】∵点平移后能与原来的位置关于x轴对称， ∴平移后的坐标为， ∴点是向上平移得到，平移距离为 故选：D. 【变式2】点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移；根据点坐标“右加左减、上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的横坐标为，纵坐标为，即， 故答案为：． 1．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或. 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，点E的坐标为， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 4．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是(    ) A．9号楼1单元701号 B．文昌路8号 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定物体的位置，解题的关键是掌握确定物体的位置的方法．根据确定一个位置，需要两个条件，进行判断即可． 【详解】解：A、可以确定物体的位置，不符合题意； B、可以确定物体的位置，不符合题意； C、只有一个条件，缺少距离，不能确定物体的位置，符合题意； D、可以确定物体的位置，不符合题意； 故选C． 5．如图，与位似，点Ｏ为位似中心，若，的周长为4，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长是12， 故选：B． 6．按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 8．如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M，结合位似图形的性质可得，进而得出C点横坐标． 【详解】解：过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M， ∵点A的坐标是，以点A为位似图形， 并把的边长缩小为原来的倍， 记所得的位似图形为，点C的对应点E的横坐标为a， ∴， 由， ∴， ∴， ∴， 则点C的横坐标为：． 故选：C． 9．在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是， 故选：D． 10．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答． 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点P为位似中心． 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且，则点C关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，关于y轴对称的点的坐标的性质，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数；根据等腰三角形的性质和判定，关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】，， 为等腰直角三角形， 如图，过点作于点， 则， 点的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 13．已知，，将线段平移至与对应，与对应，若点恰好在轴上，点恰好在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形平移求点的坐标，涉及坐标轴上点的坐标特征等知识，由题意，设、，根据图形平移知道将平移到的过程与将平移到的过程一致，列式求解即可得到答案，熟记点的平移法则、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可设、， ，，将线段平移至与对应，与对应， 将平移到的过程与将平移到的过程一致，即 ，解得， 点的坐标是， 故选：A． 14．如图，一艘海洋科考船在O点用雷达发现了A、B两群鲸鱼，若图中目标的位置为，用方位角和距离可描述为：在点O正北方向，距离O点2个单位长度．小明和小美分别用两种方式表示目标B的位置，小明：目标B的位置为；小美：目标B在点O的南偏东方向，距离O点4个单位长度．则判断正确的是（    ） A．只有小明正确 B．只有小美正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 【答案】D 【分析】本题考查坐标方法的简单应用，理解题中位置的表示，得到点B的两种表示，进而可作出判断． 【详解】解：根据题意，目标B的位置为，用方位角和距离可描述为：目标B在点O的南偏西方向，距离O点4个单位长度， 故两人均不正确，故选：D． 15．如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的相关知识．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 【详解】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形．故选：C． 16．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为，， 四边形是正方形，， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则， ∴是第253组的最后一个点， 点的坐标为， 故选：C． 17．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】(5,4) 【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点即为位似中心，读出坐标即可得出结论. 【详解】解：如图，连接AA1，BB1，则交点坐标为(5，4). 故答案为(5，4). 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到，本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：点为位似中心，的位似图形为，位似比为，而，且点C在第四象限、点B在第二象限， ；即；故答案为： 19．已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横坐标与纵坐标分别互为相反数，解二元一次方程组；根据关于原点对称的点的坐标特征求出a与b的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，解得：；则；故答案为：8． 20．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点B由点A绕坐标原点逆时针旋转得到，可知A，B两点关于坐标原点成中心对称，据此可解决问题． 【详解】解：因为点B由点A绕坐标原点逆时针旋转得到， 所以A，B两点关于坐标原点成中心对称． 又因为点A坐标为， 所以点B的坐标为， 故答案为：． 21．在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，．先作关于轴成轴对称的，再把平移后得到，若，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．由 关于x轴对称的坐标为，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移3个单位，计算的坐标即可． 【详解】解：∵ 关于x轴对称的坐标为， 由到可得出平移方式为：向上平移3个单位，向右平移3个单位， ∴关于x轴对称的坐标为，再向上平移3个单位，向右平移3个单位后，即 故答案为：． 22．如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 23．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值以及坐标与图形的平移变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，利用点平移的坐标规律，求出，代入计算即可． 【详解】将点先向右平移个单位，得到点 再向下平移个单位，得到点 故答案为：． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知，．将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的性质与判定；分别过点和点作轴的垂线，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ，． 又，， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：． 25．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为． (1)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且相似比为； (2)的面积为___________． 【答案】(1)见解析；(2)28 【分析】（1）连接OB延长OB到，使得，同法可得，就是所求三角形； （2）利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求的位似三角形， （2）． 故答案为：． 26．如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．      (1)在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为． (2)在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质结合位似比即可得出对应点位置； （2）利用相似三角形的性质将对应边乘以，即可得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求．    （2）如图所示，即为所求，此时，相似比为．    27．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，图见解析；(2)，；(3) 【分析】本题考查坐标与图形、图形的平移、三角形面积的计算： （1）将的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可； （2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解； （3）用所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：两次平移后的图形三角形如下所示，． （2）解：由题意知，向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ，，，； （3）解：． 28．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，；(2)画图见解析；(3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 29．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴． 30．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）即为所求；； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.5位似图形及23.6图形与坐标 课程标准 学习目标 ①了解位似图形的相关概念；掌握位似图形的性质，会画位似图形； ②掌握确定物体位置的几种常用方法； ③探索图形变化后对应点的坐标变化. 1.知道位似图形、位似中心、位似比的概念；掌握位似图形的性质，会画位似图形； 2.掌握确定物体位置的几种常用方法，能灵活选择合适的方法确定物体的位置. 3.探索图形变化后对应点的坐标变化，能按要求做出简单的平面图形运动后的图形以及对应的坐标变化. 知识点01 位似图形的相关概念及性质： 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 【即学即练1】 大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【即学即练2】 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是 ．    知识点02 画位似图形 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【即学即练3】 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段和格点． (1)在所给网格中，以格点为位似中心将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)把线段绕端点顺时针旋转得到线段，画出线段． 知识点03 图形的变化与坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 【即学即练4】 如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 题型01 位似图形的相关概念与性质 【典例1】已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【变式3】如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为 ． 题型02 画位似图形 【典例1】如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均在小正方形的顶点处．    (1)以为位似中心，在网格图中将缩小到原来的，得到，画出图形； (2)连接（1）中的，求四边形的周长（结果保留根号）． 【变式1】在正方形网格中，的顶点分别为，，．    (1)以点为位似中心，以位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后点B，C两点的对应点分别为，，请画出； (2)在（1）中，若点为线段上任一点，直接写出变化后点M的对应点的坐标．（用含a，b的代数式表示） 【变式2】如图，在带有网格的平面直角坐标系中，网格边长为一个单位长度，给出了三角形ABC． （1）作出关于x轴对称的； （2）以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出的位似图形，使与的位似比为1：2； （3）若的面积为3.5平方单位，求出的面积． 题型03 位似图形的性质 【典例1】如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是 ． 【变式1】如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（　　） A．15 B．20 C．10 D．5 【变式2】如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【变式3】如下图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三角形均为格点三角形（即顶点均在格点上）． (1)如图1，绕某一点按逆时针方向旋转一定角度得到，则点P，Q，M，N四个点中为旋转中心是点______； (2)如图2，以点O为位似中心，把按相似比放大，得到（其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）． ①在图2中画出； ②的面积为______． 题型04 用坐标确定位置 【典例1】北京中轴线创建于元代，形成、完善于明清两代，是北京城市建筑东西对称布局的对称轴线．若按图所示，表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，则表示下列地点的点的大致坐标正确的是（   ） A．正阳门 B．永定门 C．广渠门 D．西直门 【变式1】如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【变式2】周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）． 小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．” 小军说：“玖珑花海的坐标是．” (1)小华是用________和________描述玖珑花海的位置； (2)小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系； (3)在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地________，音乐喷泉广场________． 题型05 图形的变化与坐标变化 【典例1】填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． （2）点与点关于原点对称，则 ． （3）点绕原点旋转后到达的位置是 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（    ） A．向下平移6个单位 B．向上平移6个单位 C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位 1．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 4．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是(    ) A．9号楼1单元701号 B．文昌路8号 C．北偏东 D．东经，北纬 5．如图，与位似，点Ｏ为位似中心，若，的周长为4，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．16 D．36 6．按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（   ） A． B． C． D． 9．在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且，则点C关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，将线段平移至与对应，与对应，若点恰好在轴上，点恰好在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．如图，一艘海洋科考船在O点用雷达发现了A、B两群鲸鱼，若图中目标的位置为，用方位角和距离可描述为：在点O正北方向，距离O点2个单位长度．小明和小美分别用两种方式表示目标B的位置，小明：目标B的位置为；小美：目标B在点O的南偏东方向，距离O点4个单位长度．则判断正确的是（    ） A．只有小明正确 B．只有小美正确 C．两人均正确 D．两人均不正确 15．如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 16．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为 ． 19．已知点与点关于原点对称，则 ． 20．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为 ； 21．在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为，．先作关于轴成轴对称的，再把平移后得到，若，则点坐标为 ． 22．如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 23．在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，则 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知，．将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 25．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为． (1)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且相似比为； (2)的面积为___________． 26．如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．      (1)在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为． (2)在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同． 27．如图，先将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出经过两次平移后的图形，并写出的坐标； (2)已知三角形内部一点P的坐标为，若点P随三角形一起平移，平移后点P的对应点的坐标为，请直接写出的值； (3)求三角形的面积． 28．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 29．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 30．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$