专题训练：全等三角形的辅助线作法解题模型--2024-2025学年人教版数学八年级上册专题性培优检测卷

2024-2025学年人教版数学八年级上册专题培优检测卷 专题训练：全等三角形的辅助线作法解题模型 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.45（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2023秋•海城市月考）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以测量工件内槽的宽度，在图中，要测量工件内槽宽，则需要测量的量是　　 A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 2．（2分）（2022秋•海林市期末）如图所示，，，，、、三点共线，，，则　　 A． B． C． D．无法计算 3．（2分）（2022秋•莱芜区期末）在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2023秋•工业园区期中）如图，，，，则的面积为　　 A．8 B．12 C．14 D．16 5．（2分）（2021秋•齐河县期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 6．（2分）（2024春•龙华区期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•聊城期中）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　　 A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 9．（2分）（2023秋•瑞安市期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，连接，，，，的值为　　 A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 10．（2分）（2023秋•湖北月考）如图，在中，，，为边上的点，且，连接．过点作，并截取，连接交于点．则下列结论： ①； ②是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023•开州区校级开学）如图，是的角平分线，过点作，垂足为点，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为 　　． 12．（2分）（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离　　． 13．（2分）（2023秋•浦北县期末）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为 　　． 14．（2分）（2023秋•望花区期中）如图，为等腰直角三角形，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为． 15．（2分）（2023秋•郑州期末）如图，在中，，，，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，则的长为 　　． 16．（2分）（2023秋•萧山区期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则　　． 17．（2分）（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　　． 18．（2分）（2023秋•洪山区月考）如图，在，，，在中，，是的中点，连接，．若，且，则的度数为 　　． 19．（2分）（2023秋•高港区期末）如图，在中，平分，于点，于点，，，则　　． 20．（2分）（2023秋•武昌区校级期中）如图中，，，，若点在线段上且满足，以为边构造等腰三角形使，则点到边的距离是 　　． 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 22．（6分）（2024春•章丘区期末）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，，，点在线段上，连接，作，交线段于点，当线段时，请证明． 23．（8分）（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 24．（8分）（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． 25．（8分）（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 26．（8分）（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 27．（8分）（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 28．（8分）（2023秋•绥阳县期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则． 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册专题培优检测卷 专题训练：全等三角形的辅助线作法解题模型 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.45（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2023秋•海城市月考）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以测量工件内槽的宽度，在图中，要测量工件内槽宽，则需要测量的量是　　 A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 解：只要测量就可以， 理由：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和△中， ， △． ． 故选：． 2．（2分）（2022秋•海林市期末）如图所示，，，，、、三点共线，，，则　　 A． B． C． D．无法计算 解：， ， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 故选：． 3．（2分）（2022秋•莱芜区期末）在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 解：将绕点顺时针旋转得到， ，故选项正确，不符合题意； 由旋转的性质得，，， ， ，， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ， 为等腰直角三角形， ，故选项正确，不符合题意； 由旋转的性质可得，， ，故选项错误，符合题意． 故选：． 4．（2分）（2023秋•工业园区期中）如图，，，，则的面积为　　 A．8 B．12 C．14 D．16 解：作于，交延长线于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 5．（2分）（2021秋•齐河县期末）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 解：连接， ， 是的平分线， ，①正确． ， ，②正确． 只是过点，并没有固定，明显③不成立． 故选：． 6．（2分）（2024春•龙华区期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　 A． B． C． D． 解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，． ， 故选：． 7．（2分）（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是　　 A． B． C． D． 解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：． 8．（2分）（2023秋•聊城期中）如图，中，，，平分，，为的中点，则的长为　　 A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， 故选：． 9．（2分）（2023秋•瑞安市期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，连接，，，，的值为　　 A．2.5 B．4 C．3.5 D．3 解：延长与交于点， ， ，， 点为的中点， ， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 10．（2分）（2023秋•湖北月考）如图，在中，，，为边上的点，且，连接．过点作，并截取，连接交于点．则下列结论： ①； ②是的中点； ③； ④．其中正确的结论共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ； ，， ， ，，， ， ， ，， ， ，，， 点是的中点； ， ； 故①②③都正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的结论共有3个， 故选：． 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023•开州区校级开学）如图，是的角平分线，过点作，垂足为点，延长与相交于点，连接，若，，则的度数为 　40　． 解：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：40． 12．（2分）（2024春•长春期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离　36　． 解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ，， ， 即：两堵木墙之间的距离为． 故答案为：36． 13．（2分）（2023秋•浦北县期末）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为 　30　． 解：是和的中点， ，， 在和中， ， ． ． ， ． 故答案为：30． 14．（2分）（2023秋•望花区期中）如图，为等腰直角三角形，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为． 解：如图，过点作轴于点，过点作于点， 则，，， ， 点坐标为，点坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•郑州期末）如图，在中，，，，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，则的长为 　　． 解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•萧山区期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则　3.5　． 解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：3.5． 17．（2分）（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形中，，，，为边的中点，，，则五边形的面积为　90　． 解：如图，延长到，使，连接、、， 在和中， ， 中， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：90． 18．（2分）（2023秋•洪山区月考）如图，在，，，在中，，是的中点，连接，．若，且，则的度数为 　　． 解：延长到点，使，连接，，， 设，， 是的中点， ， ， ， ，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（2分）（2023秋•高港区期末）如图，在中，平分，于点，于点，，，则　1.4　． 解：延长与相交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 的面积， ， ， 解得：， 在中，， 故答案为：1.4． 20．（2分）（2023秋•武昌区校级期中）如图中，，，，若点在线段上且满足，以为边构造等腰三角形使，则点到边的距离是 　或　． 解：，， ，， ，， ， 分两种情况：①如图： 作关于的对称点， 连接，， 则，， 连接，作于， 则即为点到 的距离， 为等腰三角形且， ， ，即． ，，， ， ，， ， ； ②如图，作 关于的对称点，连接、， 则，， 作，即为所求， 同理可证， ，． ， ． 综所述，点已到边 的距离为或， 故答案为：或， 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）解：由（1）可得， ． ， ， 即． 22．（6分）（2024春•章丘区期末）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，，，点在线段上，连接，作，交线段于点，当线段时，请证明． （1）解：由题意得：，，，， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 由题意得：，， ． 答：两堵木墙之间的距离为． （2）当时，． 理由：，， ． ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 23．（8分）（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 解：（1）选择②③， 选②时：，， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ； 选③时：，， ， ，， 点是中点， ， 在和中， ， ， ； （2），，，， ，， ，， ， ． 24．（8分）（2023秋•道外区期末）中，，分别以、为边作等边、等边，、交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：点是的中点； （2）如图2，连接，在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有能用图中字母表示的等腰三角形（非等边三角形）． （1）证明：、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 点是的中点； （2）解：， ， 是等腰三角形， ， 是等腰三角形， 、是等边三角形， ，，， ， ， 是等腰三角形， ，垂直平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有、、、共4个． 25．（8分）（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． （1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 26．（8分）（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． （1）解：如图1， ，， ． 平分， ． ，， ． ， ． 是等边三角形， ． （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接． ，， ，． 点是的中点， ． ． 是等边三角形． ， 是等边三角形， ，， ． ． ，， ，， ． ． ，． ． ． ． （3）解：当点在的延长线上时，如图3， 中，，，点是的中点， ， ， 为等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， 点是的中点， 平分， ； 当点在边上时，如图4， 由（2）知，，是等边三角形， ，， ， ， ， 点是的中点， 为等腰三角形， ， ， ， ， 同理，， ，即点是的中点， 即点、重合， 在和中， ， ， ， 即； 当点在的延长线上时，如图5， ，为等腰三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ； 当点与点对称时，如图6， 则和均为等边三角形， 点是的中点， ； 综上所述，的度数为或或或． 27．（8分）（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 28．（8分）（2023秋•绥阳县期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． 【探究发现】：（1）图1中与的数量关系是 　　，位置关系是 　　； 【初步应用】：（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若，则． 【探究提升】：（3）如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$