（预习篇）第九讲 角平分线的性质和判定（知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第九讲 角平分线的性质和判定 课时目标： 1.经历探索角平分线判定定理的过程,体会几何直观,发展学生的推理能力. 2.应用角的平分线的性质定理和判定定理解决数学问题,发展学生的模型观念. 学习重点：探究角平分线的判定定理. 学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的准确应用. 知识点1：用尺规作角的平分线 3 知识点2：角平分线的性质 4 知识点3：角平分线的判定 5 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 6 考点讲练2：角平分线的性质定理 7 考点讲练3：角平分线的判定定理 9 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 10 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 12 中档题真题练 14 培优题真题练 18 新知预习 【复习回顾】 （1） 判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2） 三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做__点到直线的距离_______________. 【新课导入】 【问题1】在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 【问题2】在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：角平分仪 【推进新课】 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 思考：(1)角平分仪由什么构成？ (2)角平分仪如何使用？ (3)∠DAC和∠BAC相等的依据是什么？ 分析：在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB（SSS） ∴∠DAC=∠BAC. ∴AE平分∠DAB. 知识点1：用尺规作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 思考：如果没有平分角的仪器，我们用尺规作图也能画出一个角的平分线吗？ (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． (2) 分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． (3) 画射线OC．射线OC即为所求． 思考：1.为什么以大于MN的长为半径作弧？ 2.两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？ 结论：1.如果以小于MN的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. 2.两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 画一画 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点2：角平分线的性质 如图，将三角形纸片的∠ABC对折，再将BM自身重合对折（点B与点M重合），观察折叠后的展开图，三条折痕分别表示什么？你发现了什么？ BD表示∠ABC的平分线，NP和NQ分别表示点N到AB和BC的距离，点N到AB和BC的距离相等（NP = NQ）. 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 已知：一个点在一个角的平分线上． 求证：这个点到这个角两边的距离相等． 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE． 证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO ， ∠AOC = ∠BOC ， OP = OP ， ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD = PE 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等 【几何语言】∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D、E，∴PD=PE． 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等 、 知识点3：角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线 OP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP ， PD = PE ， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO （HL）. ∴∠AOP =∠BOP.∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【几何语言】∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）． 思考 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上 【结论】三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 【归纳总结】 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 【典例精讲】（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【举一反三1】（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【举一反三2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【举一反三3】（21-22七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由 (2)若是的平分线，，求的度数． 考点讲练2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，已知，则 ． 【举一反三1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【举一反三2】（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【举一反三3】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 考点讲练3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·假期作业）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【举一反三2】（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，点分别在的两边上，点是内一点，，垂足分别为，且．求证：． 【举一反三3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【举一反三1】（2023·北京海淀·模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等． （1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【举一反三2】（22-23八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 【举一反三3】（19-20八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（2024·辽宁锦州·二模）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（21-22八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 【举一反三2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 【举一反三3】（23-24八年级上·广西贵港·期末）（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 中档题真题练 1．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知中，是边上的高，平分交于点，则的面积等于（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 3．（2020九年级·新疆·学业考试）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为 ． 4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，点P是线段上的动点，根据作图痕迹可知线段的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，，分别以点和点为图心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．若，则 度． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    7．（2021·河北·一模）如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，求的长． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 10．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，用尺规作的平分线．由作图知，从而得平分，则此两个三角形全等的依据是（   ）    A． B． C． D． 培优题真题练 11．（20-21八年级上·重庆大足·期末）如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24八年级上·天津和平·期末）如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 18．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 19．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 20．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，平分交于．若，点到的距离为6，则的长是 ． 21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的角平分线，交于点，，，，，的面积为 ． 22．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 23．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 24．（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题： (1)如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：． 25．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 26．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第九讲 角平分线的性质和判定 课时目标： 1.经历探索角平分线判定定理的过程,体会几何直观,发展学生的推理能力. 2.应用角的平分线的性质定理和判定定理解决数学问题,发展学生的模型观念. 学习重点：探究角平分线的判定定理. 学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的准确应用. 知识点1：用尺规作角的平分线 3 知识点2：角平分线的性质 4 知识点3：角平分线的判定 5 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 6 考点讲练2：角平分线的性质定理 10 考点讲练3：角平分线的判定定理 14 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 18 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 24 中档题真题练 28 培优题真题练 38 新知预习 【复习回顾】 （1） 判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2） 三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做__点到直线的距离_______________. 【新课导入】 【问题1】在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 【问题2】在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：角平分仪 【推进新课】 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？ 思考：(1)角平分仪由什么构成？ (2)角平分仪如何使用？ (3)∠DAC和∠BAC相等的依据是什么？ 分析：在△ACD和△ACB中， ∴△ACD≌△ACB（SSS） ∴∠DAC=∠BAC. ∴AE平分∠DAB. 知识点1：用尺规作角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 思考：如果没有平分角的仪器，我们用尺规作图也能画出一个角的平分线吗？ (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． (2) 分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C． (3) 画射线OC．射线OC即为所求． 思考：1.为什么以大于MN的长为半径作弧？ 2.两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？ 结论：1.如果以小于MN的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. 2.两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了. 画一画 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点2：角平分线的性质 如图，将三角形纸片的∠ABC对折，再将BM自身重合对折（点B与点M重合），观察折叠后的展开图，三条折痕分别表示什么？你发现了什么？ BD表示∠ABC的平分线，NP和NQ分别表示点N到AB和BC的距离，点N到AB和BC的距离相等（NP = NQ）. 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 已知：一个点在一个角的平分线上． 求证：这个点到这个角两边的距离相等． 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE． 证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO ， ∠AOC = ∠BOC ， OP = OP ， ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD = PE 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等 【几何语言】∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为D、E，∴PD=PE． 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等 、 知识点3：角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：作射线 OP. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°.在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP ， PD = PE ， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO （HL）. ∴∠AOP =∠BOP.∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【几何语言】∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）． 思考 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上 【结论】三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 【归纳总结】 考点讲练1：角平分线性质定理及证明 【典例精讲】（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【举一反三1】（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【答案】2：3：4 【思路点拨】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案． 【规范解答】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点． ∵CO、BO、AO分别平分 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：2：3：4 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键． 【举一反三2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【规范解答】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 【举一反三3】（21-22七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由 (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)互相平行，见解析 (2)40° 【思路点拨】（1）由平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用平行线的判定定理可得结论； （2）由已知可得，利用角平分线的性质定理可得，利用平行线的判定定理可得，由平行线的性质定理可得结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 是的平分线， ， ； ． 【考点评析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理． 考点讲练2：角平分线的性质定理 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点分别作，，的垂线，可得，从而可得，求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，， 由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是，，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【举一反三1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【思路点拨】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【规范解答】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【举一反三2】（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，中，，． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，直接写出的面积为： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，角平分线即为所作， ； （2）解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∴． 【举一反三3】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可证明结论成立； （2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ， ∴ ∵ （2）证明：∵， ∴ 平分，， 考点讲练3：角平分线的判定定理 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·假期作业）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【规范解答】到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 【举一反三1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可． 【规范解答】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到射线的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故选：A． 【举一反三2】（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）如图，点分别在的两边上，点是内一点，，垂足分别为，且．求证：． 【答案】详见解析 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定，熟练应用角平分线的判定是解题关键． 根据角平分线的判定得到是的角平分线，推导出，根据“SAS”证明． 【规范解答】证明：连接， ∵，，， ∴是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴． 【举一反三3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 考点讲练4：角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【思路点拨】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【规范解答】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 【举一反三1】（2023·北京海淀·模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等． （1）则点O为三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）； （2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ． 【答案】 角平分线 【思路点拨】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，进行作答即可； （2）根据题意，得到三条路线，在上截取，连接，证明，利用三角形的三边关系，即可得到最短路径． 【规范解答】解：（1）∵厂房O到每条公路的距离相等， ∴点O为三条角平分线的交点； 故答案为：角平分线． （2）如图： 有三条路线可走：， 在上截取，连接， ∵点O为三条角平分线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 同理， ∴最短， 即最短路线长为：； 故答案为：． 【考点评析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键． 【举一反三2】（22-23八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查直角三角形全等的判定与性质，涉及角平分线性质、直角三角形全等的判定与性质和邻补角定义，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等的判定与性质即可得到答案； （2）利用直角三角形全等的判定与性质得到，再由邻补角定义即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：在中，，是的平分线，于点， 由角平分线性质可知， 在和中， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 在和中， ， ， ， ， ． 【举一反三3】（19-20八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【思路点拨】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【规范解答】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 考点讲练5：作角平分线（尺规作图） 【典例精讲】（2024·辽宁锦州·二模）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【规范解答】解：由作图得：，平分， ， ， ， ， ， 故选：Ｃ． 【举一反三1】（21-22八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了基本作图——作角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键． 当时，最短，由作图可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解． 【规范解答】如图，由角平分线的作法可知，是的角平分线， ∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 【答案】2 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案． 【规范解答】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数； ， 解得：， 故答案为：． 【举一反三3】（23-24八年级上·广西贵港·期末）（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）证，得 ，即可得出结论； （2）根据角平分线定义及垂直平分线的性质作图即可； 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【规范解答】解：（1）理由：由题意得， ∴ ∴是的平分线 （2）如图，点E即为所求 中档题真题练 1．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【规范解答】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知中，是边上的高，平分交于点，则的面积等于（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出即可． 【规范解答】解：如图所示，过作于， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选A． 3．（2020九年级·新疆·学业考试）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【规范解答】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，点P是线段上的动点，根据作图痕迹可知线段的最小值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，尺规作图．过点D作于点Q，根据题意可得平分，再由角平分线的性质定理，可得，再由当点P与点Q重合时，线段最小，最小值为的长，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点D作于点Q， 由作法得：平分， ∵，， ∴， ∵点P是线段上的动点， ∴当点P与点Q重合时，线段最小，最小值为的长， 即线段的最小值为3． 故答案为：3 5．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，在中，，分别以点和点为图心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．若，则 度． 【答案】88 【思路点拨】本题考查角平分线定义．根据题意可知为的平分线，利用角平分线定义即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵，分别以点和点为图心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点， ∴为的平分线，， ∴， ∴， 故答案为：88． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，过点作于点，并延长交的延长线于点，且．求证：．    【答案】见解析 【思路点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．根据角平分线的性质可得，然后利用全等三角形的判定与性质可得结论． 【规范解答】证明：， ， 平分，， ，， 在和中， ， ， ． 7．（2021·河北·一模）如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）依据，，可得，，即可根据得到； （2）依据可得，再依据，，可利用证明，即可得到，进而得出． 【规范解答】（1）证明：，，平分， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， 又， 在和中， ， ， ， ， ， ． 8．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【思路点拨】（1）根据尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可； （2）①根据角平分线的性质得出，证明，即可得出答案； ②根据三角形面积求出，根据，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，为所求作的的平分线；    （2）解：①∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， 又∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若， 度； (2)如图1，在四边形中，平分，，、求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，，点E，F分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； 【答案】(1)90 (2)证明见解析 (3)不变，12 【思路点拨】 对于（1），设，则，，根据互补四边形的定义得，即可求出各角的度数； 对于（2），过点D作，，再证明，可得，然后结合可得答案； 对于（3），延长至G，使，连接，可证明，可得，，进而得出，接着证明，可得，再连接，可证明，即可得出，，然后求出，再说明的周长等于，即可得出答案． 【规范解答】（1） 解：设，则，，根据题意，得， 即， 解得， 则， 所以． 故答案为：90； （2） 过点D作，交的延长线于点E，作，交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3） 不变， 延长至G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴， ∴的周长等于． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，特殊角三角函数值，新定义的理解，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，用尺规作的平分线．由作图知，从而得平分，则此两个三角形全等的依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 本题考查了作图——基本作图：作已知角的角平分线、全等三角形的判定．利用作法得到，，则可利用“”判定，然后根据全等三角形的性质可得到平分．掌握作已知角的角平分线的方法是解决问题的关键． 【规范解答】解：由基本作图得，，而为公共边， 所以利用“”可判断， 所以，即平分． 故选：D． 培优题真题练 11．（20-21八年级上·重庆大足·期末）如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点，因为，所以，可判断②正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 设交于点G， ∴， 故②正确； 作于点于点J， ∵， ∴，又， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分， 故④正确； 假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，与已知条件相矛盾， ∴， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故选：C． 12．（2024·安徽安庆·一模）如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查角平分线的判定与性质，根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数，读懂题意，熟记角平分线的判定与性质是解决问题的关键． 【规范解答】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：A． 13．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了基本作图，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握种基本作图的方法．根据作图可得平分，根据角平分线的性质得到，再证明得到，根据勾股定理得到，则，利用面积法求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：由作图法得平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 14．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确． 【规范解答】解： 平分 平分 平分,故①正确； ,故②正确； ，故③正确； 如图，点是线段上任意一点 与不平行，与不平行 ，故④不正确， 所以，正确的个数有3个． 故选：C． 15．（23-24八年级上·天津和平·期末）如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】作于点，于点，由角平分线的性质得到，则平分，即，可判断①正确；由角平分线的性质和三角形内角和定理，推出，可判断②错误；由，，，得：，则，可判断③错误；在上截取，连接，当时，可推出，则，可证明，则，进而得到，再证明，得到，则，可判断④正确；当时，四边形是正方形，得到，可证明，得到，再证明，得到，推出，得到，可判断⑤正确，即可求解． 【规范解答】解：如图1，作于点，于点， 平分交于点， ， 平分交于点，于点， ， ， 点在的平分线上， 平分， ，故正确①； ，， ， ， ，故②错误； ，，，， ， ，故③错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确； 如图3，，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ，故⑤正确， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【规范解答】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 17．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 过点作于，得到，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【规范解答】解：过点作于， 是的角平分线，， ， ， 解得． 故选：D． 18．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【规范解答】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 19．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【答案】/70度 【思路点拨】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【规范解答】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，平分交于．若，点到的距离为6，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，根据题意，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，再由，求出，进而由代值求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【规范解答】解：过点作于，如图所示： 平分交于，，点到的距离为6， ， ， ， ， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的角平分线，交于点，，，，，的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质， 过点作于点，根据角平分线的性质可得，再证明，，根据全等三角形的性质进一步即可求出的面积． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了角平分线作图、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，掌握等面积法是解题的关键． 如图：过点D作于M，由勾股定理可求得，由作图可知平分，由角平分线的性质可得，然后根据等面积法列方程求解即可． 【规范解答】解：如图：过点D作于E， ∵，， ∴, 由题中作图知：平分，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为． 23．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 24．（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题： (1)如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可； （2）过点作于点，作于点，证明，得出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，作的平分线交于点； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 则， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 25．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)或 【思路点拨】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【规范解答】（1）∵点为三条内角平分线交点 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 【考点评析】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 26．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【规范解答】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$