第十六章 二次根式重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

第十六章 二次根式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期末）下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若，则实数x的范围是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海嘉定·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·上海·期末）下列四个算式正确的是（　　） A． B． C．＝× D． 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 8．（22-23七年级下·上海青浦·期末）计算： ． 9．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 10．（2023·上海静安·一模）计算= ． 11．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 12．（2023九年级·上海·专题练习）当m＝ 时，二次根式取到最小值． 13．（23-24八年级上·上海静安·期中）二次根式有意义，则x满足的条件是 ； 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）最简二次根式与是同类根式，则 ． 15．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 16．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知求的值= . 17．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 18．（22-23七年级·上海普陀·期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）计算：． 20．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 21．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知，，求的值． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）已知二次根式、是同类二次根式，写出三个的可能值． 23．（23-24八年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（23-24八年级下·上海崇明·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 25．（22-23八年级下·上海青浦·期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期末）下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若，则实数x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知式子可得且，再求出x的范围即可． 【详解】解：， 且， ， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握． 3．（22-23八年级上·上海嘉定·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把和各选项中的式子化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：． A．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B．，与的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； C．，与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； D．，与与的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键． 5．（22-23七年级下·上海·期末）下列四个算式正确的是（　　） A． B． C．＝× D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B.，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D.，故选项错误，不符合题意；． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（23-24八年级上·上海静安·期中）的有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．根据定义即可求解． 【详解】解：∵， 又 ∴ 故的有理化因式为 故选：A． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】利用解答即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键． 8．（22-23七年级下·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘除的运算法则进行计算即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握乘除的运算法则是解题的关键． 9．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】 本题考查了分母有理化．根据分母有理化的法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（2023·上海静安·一模）计算= ． 【答案】1 【分析】根据平方差公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活利用平方差公式计算是解题的关键． 11．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键． 根据的进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 12．（2023九年级·上海·专题练习）当m＝ 时，二次根式取到最小值． 【答案】2 【分析】根据二次根式的非负性即可解答． 【详解】解：∵≥0， ∴当m﹣2＝0，即m＝2时，有最小值0． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查二次根式的非负性，解题的关键是熟知≥0． 13．（23-24八年级上·上海静安·期中）二次根式有意义，则x满足的条件是 ； 【答案】/ 【分析】二次根式有意义的条件为：二次根式中的被开方数是非负数；本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得 即满足的条件是 故答案为：． 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得，等式变形即可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴，则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握最简二次根式与同类二次根式的定义是解决问题的关键． 15．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 16．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知求的值= . 【答案】26 【分析】先把两等式相乘和相加可得ab＝240，ab（a＋b）＝8160，则可计算出a＋b＝34，再根据完全平方公式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a2b＝2400，ab2＝5760， ∴a3b3＝2400×57600＝2403，a2b＋ab2＝2400＋5760， ∴ab＝240，ab（a＋b）＝8160， ∴a＋b＝＝34， ∴＝＝ 故填：26. 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形及整式的运算法则. 17．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 【答案】，， 【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ∴是最简二次根式的有：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键． 18．（22-23七年级·上海普陀·期中）把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】16cm 【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为， 根据题意得： x＝－2， 则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2， 宽分别为：2和4－x＝6－， ∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）． 故答案为：16cm． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20．（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 21．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知，，求的值． 【答案】12 【分析】先将x和y进行分母有理化，再将原式变形，代入x和y的值计算即可． 【详解】解：， ， 【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算和完全平方公式进行因式分解，掌握二次根式的混合运算法则和分母有理化是解题的关键． 22．（22-23八年级·上海·假期作业）已知二次根式、是同类二次根式，写出三个的可能值． 【答案】，，等，答案不唯一 【分析】根据题意：只要满足（n为正整数），据此即可写出. 【详解】解：由题意得，解得；，解得； ，解得． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，深刻理解定义，得出a必须满足（n为正整数）是解题的关键. 23．（23-24八年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 24．（23-24八年级下·上海崇明·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 25．（22-23八年级下·上海青浦·期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　+　=（　　+　； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ (4)化简：． 【答案】(1)， (2)4、2、1、1 (3)或 (4) 【分析】（1）根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值； （2）任意找出一组和的值，预设，代入（1）中探索的结论中即可求出和的值； （3）若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值． （4）根据题干所给方法可直接进行求解． 【详解】（1）解：若，则有， ，． 故答案为：；； （2）解：令，， 由（1）可知，，， 故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）； （3）解：由（1）可知，，， 而、、均为正整数， ，或者，， 当，时，； 当，时，． 综上，或者． （4）解：由题意得： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$