专题02 二次函数 单元综合仿真测试-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

专题02 二次函数 单元综合仿真测试 目录 01 仿真测试 02 能力提升 一、单选题 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若将函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   6．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 7．已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 10．已知二次函数，点，是其图象上两点，下说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 13．将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为 ． 14．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 15．在关于x的二次函数中，当时，，则的值为 ． 16．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 三、解答题 17．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． (1)求k，b的值； (2)结合图象直接写出的解集． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求它的顶点P坐标； (2)求它与x轴的交点A、B（点A在左侧）坐标． (3)求的面积． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，当时，求的取值范围； (2)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围． 20．已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 21．如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．． (1)当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． (2)当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点与点之间部分（包括点，）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 22．根据以下素材， 探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米，从 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线且形状相同． 如图，以水平方向为 轴， 点 为原点建立平面直角坐标系，点 在 轴 上，已知在与池中心 点水平距离为 2 米时， 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米． 素材 2 现重新改建喷泉， 升高喷水管， 使落水点与喷水 管距离 5 米， 已知喷水管升高后， 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高． 问题解决 任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式． 任务 2 探究喷水高度 改建前， 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处， 他会被喷到吗？ 任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？ 23．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．    (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由． (3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为． ①连结、，当为何值时，． ②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 一、单选题 1．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（    ） A．若，当，则 B．若，当，则 C．若，当，则 D．若，当，则 2．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 3．定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    5．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若称点Q为点P的“可控变点”，例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． （1）若点是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点的坐标为 ； （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题 7．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接． ①如图，若点在第一象限，且，求点的坐标； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长． 8．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在抛物线上．      备用图 (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1                  图2 (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； (3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 11．已知抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)当，，求证抛物线与轴有交点； (2)若抛物线与轴交于点，当是直角三角形时，求的值； (3)若抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于，直线：与抛物线交于、两点（在的左侧），过点且与轴平行的直线与直线相交于点，判断点N的纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 单元综合仿真测试 目录 01 仿真测试 02 能力提升 一、单选题 1．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的概念：如果一个整式方程经过整理后，只含有一个未知数，且未知数的次数为2的方程，其一般形式为，其中，且a，b，c为已知数；根据一元二次方程的概念即可判断． 【解析】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故不符合题意； C、右边不是整式，故不符合题意； D、由一元二次方程的概念知，是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．若将函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图象的平移，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答．熟练掌握图象的平移规律是解答的关键． 【解析】解：函数的图象向上平移5个单位，再向右平行移动1个单位， 得到． 故选：C． 3．抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【解析】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 4．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，y取得最大值，且最大值为3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次项系数大于0，以及解析式为顶点式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，由此可得当时，y的值随x值的增大而增大且当时，y取得最小值，且最小值为3，则二次函数的函数值恒大于等于3，即二次函数与x轴没有交点，据此可得答案． 【解析】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意； ∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意； ∴当时，y取得最小值，且最小值为3，故D说法错误，不符合题意； ∴， ∴二次函数与x轴没有交点，故B说法错误，不符合题意； 故选C． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数图象的综合判断；解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质． 【解析】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，故此选项不符合题意； B、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项符合题意； C、由抛物线，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知，，由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项不符合题意； D、由抛物线，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【解析】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 7．已知，，若，则二次函数图象的顶点可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数中系数之间的关系，根据题意可知，令时，的值为或3，得出对称轴为直线，用表示即，由题中等式可用表示．将代入函数解析式中判断的正负得出答案． 【解析】解：，， 当时，或， 对称轴为， ， 即， ， ， ， 令代入解析式中得， ， ， ， 当时，． 即顶点在第一象限． 故选：A． 8．如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键． 【解析】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是，， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵直线与抛物线相交于，且，如图， ∴，，，， ∴， 当时， ∴， 当时，的最小值为， 此时，不符合题意，故A，B不符合题意； 当， ∴， 当时，的最小值为， 此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 10．已知二次函数，点，是其图象上两点，下说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线及抛物线开口方向，再通过判断点与点到对称轴的距离求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【解析】解：， 抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，点，关于抛物线对称轴对称，即， 当时，点到抛物线对称轴的距离小于点到抛物线对称轴的距离， ，故选项B错误． 当时，点到抛物线对称轴的距离大于点到抛物线对称轴的距离， ， 当时，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大， ，故选项D错误； 由选项B的判定可知，当时，， ∴当时，不一定成立，故选项C错误． 故选：A． 二、填空题 11．已知二次函数的图象开口向上，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义，根据函数是二次函数，可得出，再由图象开口向上，得出，据此可解决问题． 【解析】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 12．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【解析】解：将代入函数解析式得，， ∴， ∴ ． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 13．将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【解析】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 14．已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可． 【解析】解：二次函数， ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随着的增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 15．在关于x的二次函数中，当时，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质及顶点式，利用顶点式求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：抛物线， ∴顶点坐标为， 当时， ∵时，， ∴函数有最小值， ∴， 当时， ∵时，， ∴函数有最大值， ∴， 故答案为：或． 16．已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ． 【答案】8 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 由二次函数图象及性质可得对称轴为，再根据当时，二次函数y随x增大而减小可得．根据图象及性质可得，进而得到，求解得，因此，从而根据点A，B的坐标即可求解． 【解析】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 ∵当时，二次函数y随x增大而减小， ∴，即 当时，， ∵， ∴在中， 当时，y有最大值，为， 当时，y有最小值，为， ∴当，时， ∵恒成立， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴A、B两点的最大距离为． 故答案为：8 三、解答题 17．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，而一次函数的图象也经过，两点． (1)求k，b的值； (2)结合图象直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是： （1）利用二次函数的解析式求得、点的坐标，然后利用待定系数法即可求得、的值； （2）找到二次函数图象在一次函数图象下方（含交点）时自变量的范围即可． 【解析】（1）解：中，令，则， ， 令，则，解得，， ， 一次函数的图象经过，两点， ， 解得； （2）观察图象，的解集是． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求它的顶点P坐标； (2)求它与x轴的交点A、B（点A在左侧）坐标． (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可； （2）把代入函数解析式求出x即可； （3）依据三角形的面积计算公式解答即可． 【解析】（1）解：， ∴抛物线的顶点P的坐标为； （2）解：把代入得， ， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）解：， ， ， ∴的面积为：． 19．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，当时，求的取值范围； (2)已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）将代入解析式，得出，可得对称轴为直线，进而分别求得最大值与最小值，即可求解； （2）根据题意分，两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意列出关于不等式，解不等式，即可求解． 【解析】（1）解：当时，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 比距离对称轴远， 时，为函数最小值， 当时，为函数最大值， 当时，； （2）对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， ， 解得， 当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， ， 解得， 的取值范围是或． 20．已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①直线，；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）①该二次函数图象经过和可得对称轴为直线，进而得到，再采用配方法即可解答；②分和两种情况分别根据二次函数的性质即可解答． 【解析】（1）解：把分别代入， 得，解得． 该二次函数表达式为． （2）解：①该二次函数图象经过和 对称轴为直线． ∴，解得：， ，最小值为．     ②当时，，符合要求； 当时，关于对称轴的对称点为， ，而在对称轴右侧，随的增大而增大． ， ． 故的取值范围是． 21．如图，在直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．． (1)当点与抛物线的顶点重合，求点的坐标． (2)当与轴平行时，求点与点的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点与点之间部分（包括点，）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）解：， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； （2）解：当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； （3）解：若，则，与矛盾，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元二次方程等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 22．根据以下素材， 探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米，从 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线且形状相同． 如图，以水平方向为 轴， 点 为原点建立平面直角坐标系，点 在 轴 上，已知在与池中心 点水平距离为 2 米时， 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米． 素材 2 现重新改建喷泉， 升高喷水管， 使落水点与喷水 管距离 5 米， 已知喷水管升高后， 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高． 问题解决 任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式． 任务 2 探究喷水高度 改建前， 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处， 他会被喷到吗？ 任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？ 【答案】任务 1∶ ； 任务2∶小明会被喷到，任务三：米 【分析】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 任务 1∶根据图像设抛物线解析式为，根据题意将点代入即可得到答案； 任务2∶计算当时y的值，与比较即可得到答案； 任务3∶根据题意中形状不变得到a不变，设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 及过点代入顶点式即可得到，再把代入得出的值，进一步即可得出答案． 【解析】解∶任务 1∶ 米， 在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米 设水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 把 代入上式，解得 水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 任务2∶当时， 小明会被喷到 任务3：根据题意，落水点坐标为 设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 ， 代入得 ， 解得： 令，则 即升高后点坐标为 喷水管要升高： (米) 23．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且、直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．    (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连结，判断线段与线段有何关系，请说明理由． (3)如图2．若点是直线上方的抛物线上的一动点，设点的横坐标为． ①连结、，当为何值时，． ②在直线上是否存在一点使为等腰直角三角形，若存在请求出的值，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①0或1；②0 【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点的坐标代入即可求解； （2）过点Q作与点G，过点C作于点M，利用点的坐标以及等腰等腰三角形的性质可求，即可得出结论； （3）①直线与抛物线解析式联立即可求出D的坐标，则可求的面积，过P作于点R，交直线于点K，过点D作于点F，设，则，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； ②利用分类讨论的思想分三种情况解答，设点，点，当时，过点P作轴，分别交过点Q、H的平行于x轴的直线于点G，M，通过证明得，，即可求得m；当时，利用已知条件可得轴，同理可得m的值；当时，点P在的下方，与题意不符． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：过点Q作与点G，过点C作于点M，交于点N，    则，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 对于，令，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①联立方程组， 解得或， ∴， 过P作于点R，交直线于点K，过点D作于点F    则， 设，则， ∴， 当时， 则， 解得或1； ②存在，理由如下： 设点，点， Ⅰ、当时， 过点P作轴，分别交过点Q和H的平行于x的直线于点G，M，    ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴，， 解得或（舍去）； Ⅱ、当时，如图，    当时，则点P、H关于抛物线的对称轴对称， 即垂直于抛物线的对称轴， ∴轴， ∴， 同Ⅰ可得或（舍去）； Ⅲ、当时，点P在的下方，与题意不符． 综上，m的值为0． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 一、单选题 1．已知二次函数的图象上有两点，，其中，则（    ） A．若，当，则 B．若，当，则 C．若，当，则 D．若，当，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由二次函数的解析式求得对称轴为直线，然后判断与的大小，即可判断每个选项正误，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解析】解：由二次函数得， 当时，， 解得，， ∴二次函数经过点，， ∴对称轴为直线， 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故不符合题意； 、若，当时， ∴， 则，故符合题意； 、若，当， ∴， 则，故不符合题意； 故选：． 2．已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解． 【解析】解：由题意，当时，或， 抛物线开口向上，且对称轴是直线． 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， 又，是抛物线上的两点，且， ． ． ． ． 故选：A． 3．定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】A、把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； B、利用平行线的性质求得直线与过顶点平行直线的直线与轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题； C、代入的值，验证即可解答； D、根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答． 【解析】解：∵函数的特征数为 ∴， A、当时，，顶点坐标是，故当时，函数的最大值为，此结论正确； B、过顶点平行直线的直线为， 所以直线与轴的交点为，而直线与轴的交点为， 所以两交点的长度为， 所以顶点到直线的距离为，此结论正确； C、当时，， 当时，， 即函数图象恒过两个定点和，此结论不正确． D、当时，是一个开口向下的抛物线， 其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小． 因为当时，，即函数在时，随的增大而增大，此结论正确； 故选C． 【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行线间距离相等，顶点坐标以及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角边紧靠轴上．将一条不可伸缩的（与等长）绳子的一端固定于点处，另一端固定在轴正半轴上的点处，铅笔笔尖紧靠着三角板边把绳子绷紧，当三角板沿着轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线．已知，，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了，则新抛物线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，先找到抛物线的顶点，然后求得点能到达的最左边的位置点，进而待定系数法求解析式，根据题意新抛物线的开口最大宽度增加了，结合图形，即可求解． 【解析】解：当与轴重合时， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为 当重合时，则，如图所示，过点作轴于点    又∵的纵坐标为，则， ∴ ∴ 代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 如图所示，现将点向上平移若干个单位后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加了， 设 ∴，， ∴ 解得：， ∴新的抛物线的顶点坐标为 设新抛物线解析式为， 将点代入得， 解得： ∴新的抛物线解析式为 故答案为：． 5．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 【答案】或， 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为，过点作轴于点，过点作延长线于点，设点，利用，求得的值，得到，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而设，然后分两种情况讨论：①当是平行四边形对角线时；②当是平行四边形对角线时，利用平行四边形的性质，折叠的性质，以及坐标两点的距离公式，分别求出的值，即可得到答案． 【解析】解：抛物线的对称轴是直线， ， ， 将代入，得：， 联立①②，解得：， 抛物线解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作延长线于点， 设点， ，，，， 的面积为18， ， 解得：，， 点B在第一象限内， ，则， ， C为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， P为直线上的一个动点， 设， ①如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为； ②如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为， 综上可知，点P的横坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的面积，坐标两点的距离公式等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 6．在直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若称点Q为点P的“可控变点”，例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． （1）若点是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点的坐标为 ； （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据“可控变点”的定义求解即可； （2）由题意可得，点的“可控变点”一定在函数的图象上，结合图象和定义，即可求解． 【解析】解：（1）， ∴点的“可控变点”的坐标为； （2）由题意可得图象上的点的“可控变点”必在函数的图象上， 如图 ∵ ∴解得， 当时， 当时，，解得 的取值范围为 故答案为：， 【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 三、解答题 7．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上不与点，，重合的一个动点，过点作轴，垂足为，连接． ①如图，若点在第一象限，且，求点的坐标； ②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①过点作轴交于点，由题意可得，从而得到方程，求出即可求点，； ②设，，求出直线的解析式可知，然后可求出点，然后可分类求解即可 【解析】（1）解：将点和点代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①当时，， ∴ 设， ∵点在第一象限， ∴， 过点作轴交于点， ∵， ∴， ∴ 解得（舍）或， ∴； ②设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当在轴正半轴上时，， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点为在直线上， ∴， 解得， ∴ ∴ 当在轴负半轴上时，， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点为在直线上， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴综上所述：的长为或    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在抛物线上．      备用图 (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标； (3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可； （3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可 【解析】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：如图：连接，过点D作于点E，    ，令， 解得， ∴， 设， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ， 令，则， ， ． ， ． ， 设 ， ∴， ∴当时，面积取得最大值， 此时， 的坐标为； （3）解：存在点，使得，理由如下： 当D在上方时，如图：    ∵， ∴， 令中，， 即， 解得：或， ∴； 当D在下方时，设交x轴于K，如图：    ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴ ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． 9．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为 (3)存在，点的坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）求出点，的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设点，，可得、的坐标，利用勾股定理求出，，，根据二次函数的最值即可求解； （3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解． 【解析】（1）解：直线，令得， 令得，解得． ，，，， ， ，， 将，， ，，，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）设点， 轴， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， 点为上方抛物线上一点， ， ， 的周长 ， 当时，周长的最大值为； （3）存在， 由（2）知时，， ， 设，， ①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， ，或，， 四边形为菱形，点的坐标可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 点可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， ，或，； ②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， ，或，， 四边形为菱形，点的坐标可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 点可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ，或，； ③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， 设，， ，解得， ，解得， ，． 综上所述，存在，点的坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法和菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 10．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． 图1                  图2 (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，于点D，求的最大值； (3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上．求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，点，点； (2)的最大值为； (3)直线恒过定点． 【分析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点P作轴于E，交于点F，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，直线，直线，直线，将点C、B的坐标代入可得：，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点． 【解析】（1）对于，令，则， ∴， ∴点，点， 令，则， ∴点； （2）过点P作轴于E，交于点F，如图1： 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）证明：如图2，设点， 直线，直线，直线， 整理得：， 则，， 同理：，，   ∵，   ∴， ∴， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴， 化简得：， ∴， ∴直线， ∴不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 11．已知抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)当，，求证抛物线与轴有交点； (2)若抛物线与轴交于点，当是直角三角形时，求的值； (3)若抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于，直线：与抛物线交于、两点（在的左侧），过点且与轴平行的直线与直线相交于点，判断点N的纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点的纵坐标是一个定值，定值为，理由见解析． 【分析】（1）由已知条件，将，代入，得到关于的一元二次方程，此方程，所以此方程有实数根，进而证明抛物线与轴有交点； （2）根据已知条件设，，由是直角三角形知，即，化简得到，因为，故； （3）根据已知条件先求出抛物线的表达式，然后设、，利用根与系数的关系得到，，设直线的解析式为，将，代入，得到直线的解析式为，当时，，得到，所以点的纵坐标是一个定值，定值为． 【解析】（1）解：根据题意得： 当，， 令， 关于的一元二次方程， 一元二次方程至少有一个实数根， 抛物线与轴有交点． （2）    如图，设，， 在中， 令得， ， ，是的两个实数根， ， 是直角三角形， 即 或 当时，不能构成，舍去， ． （3）点的纵坐标是一个定值，理由如下： 抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于， ， ， 设直线：与抛物线交于、 ， 整理得 ， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ，， 故点的纵坐标是一个定值，定值为． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，根与系数的关系，直线与抛物线的交点问题，根据点的坐标求直线解析式，熟练运用根与系数的关系是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$