专题05 函数的图像 函数的零点(讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题05 函数的图像 函数的零点(练习) 一、填空、单选、解答题 1．作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)y＝|log2x－1|； 2．函数的图像大致为（    ） A．B． C．D． 3．函数的图象大致为（   ） A．B． C． D． 4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 6．直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为且满足，，将的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)分别求与的解析式； (2)设函数，若在区间上有零点，求实数的取值范围. 9．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知指数函数为，则函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 12．函数零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 13．已知函数，，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 14．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数的零点，，则 ． 16．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 17．已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 18．已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．，，有零点，则的最小值为 ． 20．设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 21．已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 22．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 23．已知定义域为的偶函数，满足对任意的，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是 ． 24．已知函数. (1)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 25．已知 (1)当时，解关于的不等式； (2)若有两个零点，求的值； (3)当时，的最大值，最小值为，若，求的取值范围. 26．已知函数，． (1)解方程 (2)当时，有最大值为1，求实数的值； (3)若方程在上有4个实数解，求实数的取值范围． 27．已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 28．已知函数（，常数）. (1)求函数的零点； (2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点. 29．已知函数. (1)若且为偶函数，求实数的值； (2)，求解函数的零点，并证明其中大于1的那个零点是无理数； (3)若，且，设的最小值为，求函数及其定义域，并证明其在定义域内严格单调递减. 30．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. (1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件. ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的图像 函数的零点(练习) 一、填空、单选、解答题 1．作出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)y＝|log2x－1|； 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】(1)去绝对值化简成分段函数，画出图象即可． (2)原式变形为y＝1＋，先作出y＝的图象，再结合图象变换，即可得出结论． (3)先作出y＝log2x的图象，结合图象变换，即可得出结论． 【解析】(1)首先要化简解析式，y＝ 利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示. (2)原式变形为y＝1＋，先作出y＝的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得如图②所示. (3)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档题． 2．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的性质结合图象的特征，逐一判断即可得解. 【解析】设，易得的定义域为， 由，所以该函数为偶函数，可排除A； 由可排除D； 当时，，，可排除B. 故选：C. 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D. 【解析】， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为， 所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A 4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解. 【解析】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 5．已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【分析】首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可. 【解析】函数的定义域为，又， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A 6．直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【解析】函数的图象， 可由的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到， 又的定义域为，， 所以是奇函数，则其对称中心为， 故的对称中心为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时,等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 7．已知二次函数的图象的顶点坐标是，且截轴所得线段的长度是4，将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线，则抛物线与轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得，再利用平移的特征求得，从而得解. 【解析】因为二次函数的图象的顶点为， 故的对称轴为直线， 又的图象截轴所得线段的长度是4， 所以的图象与轴的交点坐标为和， 设，将点代入得，解得， 所以， 因为的图象为的图象右移2个单位得到的， 所以， 令，则， 所以与轴交点生标为. 故选：B. 8．已知函数的定义域为且满足，，将的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象. (1)分别求与的解析式； (2)设函数，若在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法求得的解析式，根据图象变换的知识求得的解析式. （2）先求得的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的性质求得的取值范围. 【解析】（1）令，，则，， 所以，则. 由题意可得，. （2）. 令，当时，， 函数有零点等价于关于的方程在上有解. 令，则，， 所以， 由双勾函数的单调性可知， 函数在上单调递减， 当时，该函数取得最小值，即， 当时，该函数取得最大值，即， 因此，实数m的取值范围为. 【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题来进行求解. 9．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【解析】因为开区间的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且， 故所需二分区间的次数最少为7. 故选：C. 10．已知指数函数为，则函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答. 【解析】函数，由，即，整理得，解得， 所以函数的零点为1. 故选：C 11．函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义即可求解. 【解析】令，得，则． 故选：A 12．函数零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据零点的定义计算即可. 【解析】由得： 或 解得或． 因此函数共有2个零点． 故选：B. 13．已知函数，，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】D 【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案. 【解析】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数， 作出，的大致图象，如图所示. 由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点； 当有3个零点时，只有1个零点； 当有2个零点时，有4个零点. 故选：D 14．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得. 【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点， 得，解得，即命题成立的充要条件是， 显然成立，不等式、、都不一定成立， 而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立， 所以命题成立的一个必要不充分条件是. 故选：D 15．已知函数的零点，，则 ． 【答案】2 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案. 【解析】因为函数为R上单调减函数， 故函数为R上单调减函数， 又，， 故在上有唯一零点， 结合题意可知， 故答案为：2 16．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案. 【解析】设t为在上的零点，则， 所以，即点在直线， 又表示点到原点距离的平方， 则，即， 令，可得， 因为， 所以， 可得在上为单调递增函数， 所以当t=0是，， 所以，即的最小值为. 故选：B 【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题. 17．已知是函数的一个零点，若，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用数形结合判定函数值大小即可. 【解析】令．从而有，此方程的解即为函数的零点． 在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示． 由图象易知，，从而，故，即． 同理． 故选：D    18．已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果. 【解析】因为，在R上为增函数，在上为增函数， 所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴； ，，∴， ∴. 故选：D. 19．，，有零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解. 【解析】由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方， 其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以距离的平方， ， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义. 20．设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【解析】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 21．已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合函数零点的意义，构造函数，探讨函数在的性质，数形结合求解即得. 【解析】由，得，令， 在区间上有且仅有1个零点，等价于直线与函数的图象仅只一个公共点， ，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 而，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象得，当时，直线与函数的图象只有一个公共点， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 22．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围. 【解析】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 23．已知定义域为的偶函数，满足对任意的，有，且当时，．若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，求出，可得函数的周期为2，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【解析】∵，且是定义域为的偶函数， 令可得，又， ∴，则有， ∴是最小正周期为2的偶函数． 当时，， 若，则，则， 即，， 若，则，即， 即，， 综上，， ，得， 设， 作出函数和的图象如图， 要使函数在上恰有三个零点，则， 当，则， 则，， 当，则， 则，， 由整理得， 由判别式， 整理得得（由图象知不合适）或， 由，整理得， 由判别式 整理得得（由图象知不合适）或， 综上，要使函数在上恰有三个零点， 则， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于较难题． 24．已知函数. (1)若对于任意,恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式小于0求解即可； （2）根据判别式与韦达定理列式求解即可. 【解析】（1）对于任意,恒成立，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为函数的图像与轴正半轴有两个不同的交点， 所以，即，解得实数的取值范围为. 25．已知 (1)当时，解关于的不等式； (2)若有两个零点，求的值； (3)当时，的最大值，最小值为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）将代入，然后取消绝对值解不等式即可； （2）先根据题意取消绝对值，然后判断的单调性，由，有两个零点可得，进而求的值，从而利用求即可. （3）先取消绝对值写出单调性，易得，，然后对进行分类，分别求最大值和最小值为的值，从而由解不等式可得实数的取值范围. 【解析】（1）当时， 或，所以或 于是不等式的解集为. （2）， 当时，的对称轴为， 所以在单调递减，在上单调递增； 当时，的对称轴为， 所以在单调递增； 综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，有两个零点， 所以，即又，得. 于是， 由，解得，， 所以. （3）， 当时，在递增，在递减，在递增， ， 当时，在上递增， 所以，， 由，得，不满足， 当，即时，，则， 所以， 则，， 由，得，则， 得， 所以， 当，即时，由，则， 所以， 所以，， 由，得，得，所以， 综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问解题的关键是先求出的单调性，再由，分分，和三种情况求出的最值，再由可求出的取值范围. 26．已知函数，． (1)解方程 (2)当时，有最大值为1，求实数的值； (3)若方程在上有4个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）解方程，即可求得答案； （2）利用换元法，将化简为二次函数，分类讨论二次函数对称轴和所给定区间的位置关系，结合二次函数性质，即可求得答案； （3）将方程在上有4个实数解，转化为在上有两个不等的实数解，令，即转化为函数在上有两个不等的零点，结合二次函数零点的分布，列出不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由，则，解得或， 故或； （2），， 令，则， 则即为， 当时，即，此时在上单调递增， 当时取到最大值1，即， 与不符合，舍去 当时，即，当时取到最大值1，， 解得，不符合，舍去 当时，即，此时在上单调递减， 当时取到最大值1，，解得，符合题意 则实数的值为3； （3）对任意的，， 所以，函数为偶函数， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上为减函数，则在上为增函数， 令，当时，， 则，由，可得， 由于仅在时取到， 故方程在上有4个实数解，即在上有两个不等的实数解， 令，则函数在上有两个不等的零点， 所以，解得． 因此，实数的取值范围是. 27．已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得的值； （2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数k的取值范围； （3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围． 【解析】（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间上是增函数， 所以，即，解得. 故. （2）由（1）得， 则不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 又时，，则， 所以，则. 故实数k的取值范围. （3）方程，代入， 得，， 化简整理得， 令，则， 则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根， 所以，即或， 解得或. 所以的取值范围是． 28．已知函数（，常数）. (1)求函数的零点； (2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上单调递减，求实数的取值范围，证明函数在上有且仅有1个零点. 【答案】(1)时，无零点；时，的零点为 (2)时，是偶函数；时，是非奇非偶函数；理由见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）分类讨论与，直接用方程法即可得解； （2）利用函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数单调性的定义，结合零点存在定理即可得解. 【解析】（1）因为（，常数） 当时，由得，则无零点； 当时，由得，则的零点为； （2）因为的定义域为， 当时，对任意，有，因此是偶函数 当时，且，因此是非奇非偶函数； （3）因为在上单调递减， 则在上任取，有恒成立， 即恒成立，而，所以， 当时，，取， 则， 又，，，， 所以，即， 所以在上严格递减，则在上至多1个零点， 又，即 所以由零点存在定理在区间上有且仅有1个零点. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用零点存在定理即可得解. 29．已知函数. (1)若且为偶函数，求实数的值； (2)，求解函数的零点，并证明其中大于1的那个零点是无理数； (3)若，且，设的最小值为，求函数及其定义域，并证明其在定义域内严格单调递减. 【答案】(1)； (2)零点为，证明见解析； (3)，，证明见解析. 【分析】（1）由偶函数性质求参数值即可； （2）根据零点定义、对数性质化为求的解，进而证明结论； （3）由题设且，结合二次函数性质求，再应用定义证单调性. 【解析】（1）由题设，即， 所以在上恒成立， 故经检验满足题意. （2）由题设，令，即， 所以，可得或， 所以函数的两个零点分别为，且大于1的那个零点是无理数； （3）由题设且，且开口向上，对称轴为， 又在上恒成立， 当，即时，恒成立， 若，则；若，则； 当，即，显然不满足恒成立； 若对称轴，此时，最小值； 当，即或时， 若时，对称轴，此时； 若时，对称轴，此时不恒成立； 若时，对称轴，此时，不满足； 综上，，定义域， 令，则，故在上递减； 令，则，故在上递减； 又处连续，所以在定义域内严格单调递减. 30．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. (1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由； (3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件. 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论； （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论； （3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论. 【解析】（1）解：函数的定义域为，对任意的，， 所以，函数为倒函数， 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数. （2）解：当时，则，由倒函数的定义可得， 由满足倒函数的定义， 当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数， 故当时，，当时，， 若函数有整数解，则， 设，则函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得，即， 故方程无整数解. （3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以，， 任取、且，则，所以，，， 所以， ， 所以，函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数. 当时，即，则，所以，， 即“”“”； 若，则，所以，，即. 所以，“”“”. 因此，是的充要条件. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略： （1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论； （2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间； （3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数的图像 函数的零点(讲义) 一、利用描点法作函数图象 1.确定函数的定义域； 2.化简函数解析式； 3.讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); 4.列表(将简单的、有代表性的自变量及对应的函数值列成表格，如：零点、最值点); 5.描点(在平面直角坐标系内描出各点); 6.连线(用平滑的曲线依次连接各点). 二、图象变换 1.平移变换 ①y=f(x)→y=f(x+a)(a>0),是把y=f(x)的图象沿x轴向左平程a个单位长度得到的. ②y=f(x)→y=f(x+a)(a<0),是把y=f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到的。 ③y=f(x)→y=f(x)+k(k>0),是把y=f(x)的图象沿y轴向上平称k个单位长度得到的。 ④y=f(x)→y=f(x)+k(k<0),是把y=f(x)的图象沿y轴向下平移个单位长度得到的。 2.伸缩变换 ①y=f(x)→y=f(ax)(a>1),是把y=f(x)的图象横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到的。 ②y=f(x)→y=f(ax)(0<a<1),是把y=f(x)的图象横坐标伸长为原来倍，纵坐标不变得到的. ③y=f(x)→y=af(x)(a>1),是把y=f(x)的图象纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变得到的. ④y=f(x)→y=af(x)(0<a<1),是把y=f(x)的图象纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变得到的. 3.翻转变换 ①y=f(x)→y=|f(x)|,是把y=f(x)的图象位于x轴下方部分翻折到上方，x轴及上方部分不变得到的. ②y=f(x)→y=f(|x|),是把y=f(x)的图象位于y轴右侧部分翻折到左侧，原左侧部分去掉，右侧部分不变得到的。 4.对称变换 ①y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称； ②y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称。 ③y=f(x)→y=-f(-x),关于原点对称； ④y=f(x)→x=f(y),关于直线y=x对称。 ⑤y=f(x)→-x=f(-y),关于直线y=-x对称； ⑥y=f(x)→y=f(2a-x),关于直线x=a对称。 ⑦y=f(x)→2b-y=f(x),关于直线y=b对称； ⑧y=f(x)→2b-y=f(2a-x),关于点(a,b)对称。 三、函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 四、函数零点存在定理 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零占即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的解. f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点. 2.若函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且在闭区间[a,b]上有零点不一定有f(a)·f(b)<0,也有可能f(a)·f(b)>0. 3.若函数f(x)在[a,b]上单调，且函数图象是一条连续不断的曲线，则f(a)·f(b)<0→函数f(x)在[a,b]上只有一个零点。 温馨提示：函数零点存在定理必须同时满足：①函数f(x)在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立。 五、二分法 1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0． ②求区间(a，b)的中点c． ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (ⅲ)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$