2.6.1.2正弦定理（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第二章《平面向量及其应用》 2.6.1.2正弦定理（教学设计） 【教学目标】 1．理解并掌握正弦定理及其证明方法；（数学抽象） 2．能正确运用正弦定理解决实际问题；（数学运算） 【教学重点】 正弦定理的探索和证明及其基本应用 【教学难点】 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 实际问题：如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向. (1)求点D到塔底B的距离； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 数学问题：在中，已知，CD=20，求BD的长 数学模型：已知一个三角形的两角及一边，求第二边C B A b c 问题提出：如图，若△ABC是直角三角形，C=90°， 则由sinA=-，sinB=-，可知 ==c. 因为C=90°，sinC=1， 所以==. 对等边三角形，这个等式无疑也成立；对其他三角形，它是否仍然成立呢? 分析理解：如图，△ABC是锐角三角形，CD是边AB上的高，根据三角函数的定义，CD=asinB，CD=bsinA， 所以=.同理 =.即==. 因此，对锐角三角形，以上等式仍然成立. 探究：当△ABC是钝角三角形时，以上等式是否仍然成立？ 二、抽象概括，得出概念 正弦定理 （1）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言： = = 三、典例剖析，理解概念 课本P117 例4 例4：某地出土一块古代玉佩(如图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57 cm， CE=3. 57 cm，BD=4.38 cm，B=450，C=120°.为了复原，请计算原玉佩另两边的长.(精确到0. 01 cm) 解：将BD，CE分别延长相交于点A(如图)，在△ABC中，BC=2.57 cm， B=45°，C=120°，A=180°-(B+C)=180°- (45°+120°)=15°. 由正弦定理，得= ， 所以AC== ≈7.02(cm)， 同理AB≈8.60(cm).因此，原玉佩另两边的长 分别约为7.02 cm，8.60 cm. 课本P118 例5 例5：求证：如图(1)，以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则 ===2R. 证明：在Rt△ABC中，C=90°，=c， 又==，且c=2R，所以===2R. 思考：对于钝角三角形(如图(2))、锐角三角形(如图(3))，上述结论还成立吗? 2.正弦定理的变形 (1) (2)其中 (3)的性质 ① ② 【当堂训练】在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 【参考答案】C 【详解】由题意，在中，满足， 对于A中，由正弦定理，所以， 所以A不正确； 对于B中，设三边的长分别为， 由余弦定理得， 所以，所以B错误； 对于C中，若，可得，可得，则， 所以的面积为，所以C正确； 对于D中，设三边的长分别为， 由，即，可得，所以， 设外接圆的半径为，则，所以，所以D错误.故选：C. 课本P119 例6 例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台 风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响? 这种影响持续多长时间?(精确到0. 1 h) 解：如图2-66，设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西 方向300 km处的点A假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC中，AB=300 km， AC=250 km， BC=40t km，B=45°. 由正弦定理，得==，==≈0.8485. 所以角C有两个解(如图2-67)：∠AC1B≈121.95°，∠AC2B≈58.05°. 当∠AC1B≈121.95°时，∠C1AB=180°-(B+∠ AC1B)≈180°-(45°+121.95°)=13.05°. 从而BC1===250sin13.05°(km)，t1== ≈2.00(h). 同理，当∠AC2B≈58.05°时，BC2=250sin76.95° km， t2 ≈8.61 h.t2 - t1 ≈8.61-2.00≈6.6(h). 因此，约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6 h. 四、迁移应用，掌握概念 3.三角形的面积公式 ①高；；； 的半径； ⑥； ,(其中) 题目已知哪个角，就用哪个公式，已知一个角，求的面积或已知面积：写出该角的余弦定理和该角的面积公式; 【当堂训练】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 解：.故选：B 4.利用正弦定理判断三角形解的个数 正弦定理：第一步：根据条件写出一个正弦定理，求出正弦值的表达式；第二步：求角度的范围，例如若已知则,第三步：画正弦曲线的草图，寻找交点的个数； 在中，已知，，，则满足条件的三角形有______个. 解：在中，由，即，所以，，所以或，所以满足条件的三角形有2个. 五、当堂检测，巩固达标 1．在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．或 2．在中，，，则外接圆的半径为（    ） A．2 B． C． D．4 3．若，，则等于_________. 4．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【参考答案】 1.【答案】A【详解】，，，则，. 2.【答案】D【详解】因为，所以，解得. 设外接圆的半径为，则，解得.故选：D 3.【答案】【详解】因为，，根据正弦定理得， 4.【答案】C解：因为，所以，由，得，所以. 六、课堂小结，升华素养 七、布置作业，即时检测 课本P120 第1、2、3、4题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$