1.1正数和负数（4知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

1.1 正数和负数 课程标准 学习目标 ①理解负数的意义； ②理有理数的意义 ①借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量； ②会判断一个数是正数还是负数； ③理解有理数的意义，并能对有理数进行分类 知识点01 正数和负数的概念 ·定义 正数：像3、1.8%、3.5、这样大于0的数叫做正数。 负数：像－3、－2.7%、－4.5、－1.2这样在正数前面添上负号“－”的数叫做负数。 ·数的符号 一个数前面的“+”“－”号叫做它的符号，其中“+”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . ·符号“+”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号 【即学即练1】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 知识点02 “0”的认识 “0”的意义： (1)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点 . (2)0既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的基准数 . (3)0不是最小的数，它小于任何正数，大于任何负数 . 【即学即练3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A．在一个数前面加“－”号就得到负数 B．0既不是正数也不是负数 C．正数和负数统称为负数 D．非负数就是正数 知识点03 相反意义的量 ·定义 在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做相反意义的量. ·用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示【即学即练4】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果规定汽车向东行驶 千米记作 千米，那么向西行驶 千米记作（    ） A．千米 B．米 C．千米 D．千米 【即学即练5】（22-23七年级上·安徽池州·期末）下列各对关系中，不具有相反意义的量是（    ） A．收入元与支出元 B．气温上升与下降 C．前进与后退 D．身高增加与体重减少 知识点04 有理数及其分类 ·有理数的相关概念 (1) 整数：正整数、0、负整数统称整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… (2) 分数：正分数、 负分数统称分数， 如3 ，0.3，－1.25， － ，… (3)有理数：整数和分数统称有理数. ·有理数的分类 (1)按有理数的定义分类： (2)按有理数的性质分类： 注意：有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含。 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一规则。 (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部。 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类。 例如，将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准不统一，漏掉了负整数这一类 . ※4. 数集的表示(拓展) 把一类数放在一起，就组成了一个集合，简称数集。在对有理数进行分类时，每种分类结果都可以看成一个数的集合。 例如：全部正整数组成了正整数集合，全部负有理数组成了负有理数集合，全部有理数组成了有理数集合。集合可用圆圈或大括号表示，如果填入的数只是集合的一部分，集合的最后要有“…”. 【即学即练6】下列数中：，有理数有 个． 非负数：大于等于0的数，包含0； 自然数：大于等于0的整数，0、1、2、3…… 现学的有理数：包含整数和分数，所有的分数可以化为有限小数和无限循环小数，所以整数、有限小数、无限循环小数也称有理数。 注意：无限不循环小数和不是有理数。 【题型一：有理数相关概念的判断】 例1．（20-21七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称有理数 B．0是整数，但不是正数 C．0是最小的有理数 D．整数包括正整数和负整数 变式1-1. 下列结论正确的是( ) A. 不大于 0 的数一定是负数 B. 海拔高度是 0 米表示没有高度 C. 0 是非正数 D. 不是正数的数一定是负数 【总结】 ·判断正数、负数的方法： 首先要确 定它不为零；其次看它的 “+”“－”号 的呈现形式： 若不含“+”“－”号，或只含“+”号，或“－”号的个数为偶数，则为正数，否则为负数 ·概念辨析 “不大于”表示“小于或等于”，“不小于”表示“大于或等于”. “非正数”就是“不是正数的数”，包括负数和 0； “非负数”就是“不是负数的数”，包括正数和 0. 【题型二：给一组数进行分类】 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．（20-21七年级上·安徽芜湖·期中）有一些数：、、、0、、、请把它填入相应的框内．    【方法技巧与总结】填写数集的两种方法： 1.依次分析所给的数，把它们写入某一个或某几个集合中，如 － 2是整数也是非正数，可以把－ 2写入这两个集合中； 2.从给出的数中找出属于每个集合的所有数，如填写非负有理数集合时，把给出的数中的0 和正有理数全填入集合中即可。 【题型三：相反意义的量的应用】 例3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 变式3-1．（21-22七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 变式3-2．出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【方法技巧与总结】判断相反意义的量的方法： 要紧扣相反意义的量的“两要素”，先看它们是不是同一类量，再看它们是否意义相反，两者缺一不可.。 【题型四：无限循环小数转化为分数】 例4．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 变式4-1.在中，属于非负有理数的是__________________，转化为分数是_______． 【方法技巧与总结】根据利润（销售额）=单价销售量列出总利润（总售价）关于单价（数量）的二次函数解析式即可 1.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数3，0，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（22-23七年级上·安徽安庆·期末）在，，4，，0，中，表示有理数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3.（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．整数和分数统称为有理数 4.下列说法正确的是(　　) A．正整数、负整数、正分数和负分数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 5．把下列各数填在相应的大括号内： ，2．5，1，，0，． 整数：{                               …} 分数：{                               …} 非负数：{                             …} 负有理数：{                           …} 6．（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 7．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校八（一）班40人参加跳绳比赛的情况，若规定标准数量为每人每分钟100个. 规定跳绳超过标准数量，每多跳一个绳加2分，规定跳绳未达到标准数量，每少跳一个绳扣1分，若班级跳绳总积分超过100分，便可得到学校的奖励，通过计算说明八（一）班能否得到学校奖励？ 跳绳个数与标准数量的差值 0 2 4 5 6 人数 8 10 6 2 9 4 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 正数和负数 课程标准 学习目标 ①理解负数的意义； ②理有理数的意义 ①借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量； ②会判断一个数是正数还是负数； ③理解有理数的意义，并能对有理数进行分类 知识点01 正数和负数的概念 ·定义 正数：像3、1.8%、3.5、这样大于0的数叫做正数。 负数：像－3、－2.7%、－4.5、－1.2这样在正数前面添上负号“－”的数叫做负数。 ·数的符号 一个数前面的“+”“－”号叫做它的符号，其中“+”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . ·符号“+”“－”的双重含义 (1)作为运算符号是加减号； (2)作为数的性质符号是正负号 【即学即练1】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 【答案】 【详解】∵包装上标有：， ∴这袋大米最轻的重量是． 故答案为: ． 【即学即练2】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 【答案】 8.9，，3.010010001 0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001 【详解】解：正分数有：8.9，，3.010010001； 非负数有：0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001； 故答案为：8.9，，3.010010001；0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001． 知识点02 “0”的认识 “0”的意义： (1)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点 . (2)0既表示没有，也表示有，它常用来表示某些量的基准数 . (3)0不是最小的数，它小于任何正数，大于任何负数 . 【即学即练3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A．在一个数前面加“－”号就得到负数 B．0既不是正数也不是负数 C．正数和负数统称为负数 D．非负数就是正数 【答案】B 【详解】A、错误，在一个正数前面加“－”号可以得到负数，不符合题意； B、正确，符合题意； C、错误，正数大于0，负数小于0，不能说正数和负数统称为负数，不符合题意； D、错误，非负数包括正数和0，不符合题意． 故选：B． 知识点03 相反意义的量 ·定义 在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做相反意义的量. ·用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 【即学即练4】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果规定汽车向东行驶 千米记作 千米，那么向西行驶 千米记作（    ） A．千米 B．米 C．千米 D．千米 【答案】D 【详解】解：∵向东行驶 千米记作 千米， ∴向西行驶 千米记作千米． 故选：D． 【即学即练5】（22-23七年级上·安徽池州·期末）下列各对关系中，不具有相反意义的量是（    ） A．收入元与支出元 B．气温上升与下降 C．前进与后退 D．身高增加与体重减少 【答案】D 【详解】解：、收入元与支出元，是具有相反意义的量，不符合题意； 、气温上升与下降，是具有相反意义的量，不符合题意； 、前进与后退，是具有相反意义的量，不符合题意； 、身高增加与体重减少，身高与体重不是同类量，不具有相反意义的量，符合题意； 故选：． 知识点04 有理数及其分类 ·有理数的相关概念 (1) 整数：正整数、0、负整数统称整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… (2) 分数：正分数、 负分数统称分数， 如3 ，0.3，－1.25， － ，… (3)有理数：整数和分数统称有理数. ·有理数的分类 (1)按有理数的定义分类： (2)按有理数的性质分类： 注意：有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含。 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一规则。 (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部。 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类。 例如，将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准不统一，漏掉了负整数这一类 . ※4. 数集的表示(拓展) 把一类数放在一起，就组成了一个集合，简称数集。在对有理数进行分类时，每种分类结果都可以看成一个数的集合。 例如：全部正整数组成了正整数集合，全部负有理数组成了负有理数集合，全部有理数组成了有理数集合。集合可用圆圈或大括号表示，如果填入的数只是集合的一部分，集合的最后要有“…”. 【即学即练6】下列数中：，有理数有 个． 【答案】3 【详解】解：中，是有理数， ∴有理数有3个， 故答案为：3． 非负数：大于等于0的数，包含0； 自然数：大于等于0的整数，0、1、2、3…… 现学的有理数：包含整数和分数，所有的分数可以化为有限小数和无限循环小数，所以整数、有限小数、无限循环小数也称有理数。 注意：无限不循环小数和不是有理数。 【题型一：有理数相关概念的判断】 例1．（20-21七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（　　） A．正数和负数统称有理数 B．0是整数，但不是正数 C．0是最小的有理数 D．整数包括正整数和负整数 【答案】B 【详解】解：A、正数、负数和0统称有理数．故本选项错误； B、0既不是正数，也不是负数，但0是整数，故本选项正确； C、0是最小的整数，不是最小的有理数，故本选项错误； D、整数包括正整数、负整数和零．故本选项错误； 故选：B． 变式1-1. 下列结论正确的是( ) A. 不大于 0 的数一定是负数 B. 海拔高度是 0 米表示没有高度 C. 0 是非正数 D. 不是正数的数一定是负数 【答案】C 【详解】解：A、不大于 0 的数包含0，0不是负数．故本选项错误； B、在海拔高度上，0的实际意义表示高度为0，不是没有意义．故本选项错误； C、0 是非正数，故本选项正确； D、不是正数的数可能是0或负数．故本选项错误； 故选：C． 【总结】 ·判断正数、负数的方法： 首先要确 定它不为零；其次看它的 “+”“－”号 的呈现形式： 若不含“+”“－”号，或只含“+”号，或“－”号的个数为偶数，则为正数，否则为负数 ·概念辨析 “不大于”表示“小于或等于”，“不小于”表示“大于或等于”. “非正数”就是“不是正数的数”，包括负数和 0； “非负数”就是“不是负数的数”，包括正数和 0. 【题型二：给一组数进行分类】 例2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 变式2-1．（20-21七年级上·安徽芜湖·期中）有一些数：、、、0、、、请把它填入相应的框内．    【答案】见解析 【详解】解：，，， 分类如下图：    【方法技巧与总结】填写数集的两种方法： 1.依次分析所给的数，把它们写入某一个或某几个集合中，如 － 2是整数也是非正数，可以把－ 2写入这两个集合中； 2.从给出的数中找出属于每个集合的所有数，如填写非负有理数集合时，把给出的数中的0 和正有理数全填入集合中即可。 【题型三：相反意义的量的应用】 例3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某食品厂在产品中抽出袋样品，检查其质量是否达标，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 袋数/袋 4 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)若每袋的标准质量为克，求这批样品的总质量是多少克？ 【答案】(1)这批样品的总质量比标准总质量少，少克； (2)这批样品的总质量是克． 【详解】（1）； （克）， 答：这批样品的总质量比标准总质量少，少克； （2） ， （克）， 答：这批样品的总质量是克． 变式3-1．（21-22七年级上·安徽合肥·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 变式3-2．出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【答案】(1)小李距下午出发地有6千米； (2)从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【详解】（1）解：由题意得：（千米）， ∴小李距下午出发地有6千米； （2）解： （元） ∴从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为元； 【方法技巧与总结】判断相反意义的量的方法： 要紧扣相反意义的量的“两要素”，先看它们是不是同一类量，再看它们是否意义相反，两者缺一不可.。 【题型四：无限循环小数转化为分数】 例4．阅读与探究： 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比． (1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：； 化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）； (2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________； (3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程． (4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________ 【答案】(1)是 (2) (3)是，过程见解析 (4) 【详解】解：（1）是             （2）             设，由，得． 可知，，即， 解得：， （3）设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得…，     即：…，     化简，得： 解方程，得：．             （4） 由（1）知： 所以． 变式4-1.在中，属于非负有理数的是__________________，转化为分数是_______． 【答案】 【详解】 【详解】在中，属于非负有理数的是，0，，16.2； 设，由，     可得：， 等式两边同乘以100，可得…，     即：…，     化简，得： 解方程，得：．             故答案为：，0，，16.2；． 【方法技巧与总结】根据利润（销售额）=单价销售量列出总利润（总售价）关于单价（数量）的二次函数解析式即可 1.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数3，0，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：除了、外，其余4个数都是有理数； 故选：D． 2.（22-23七年级上·安徽安庆·期末）在，，4，，0，中，表示有理数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：在，，4，，0，中， 表示有理数的有：，4，，0，，共有5个， 故选：C． 3.（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【详解】解：选项，是分数，属于有理数，故不符合题意； 选项，不带“”号，但不是正数，故不符合题意； 选项，是自然数，但既不是正数，也不是负数，故不符合题意； 选项，整数和分数统称为有理数，说法正确，故符合题意． 故选：． 4.下列说法正确的是(　　) A．正整数、负整数、正分数和负分数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 【答案】B 【详解】解：有理数按照数的定义划分，分为整数和分数． 故选：B． 5．把下列各数填在相应的大括号内： ，2．5，1，，0，． 整数：{                               …} 分数：{                               …} 非负数：{                             …} 负有理数：{                           …} 【答案】见解析 【详解】解：整数：{，1，0，…} 分数：{，，…} 非负数：{2.5，1，0，，…} 负有理数：{，，…}． 6．（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)35 (2)84500元 【详解】（1）（件）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件， 故答案为：35． （2） （件）， （元）， ∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元． 7．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校八（一）班40人参加跳绳比赛的情况，若规定标准数量为每人每分钟100个. 规定跳绳超过标准数量，每多跳一个绳加2分，规定跳绳未达到标准数量，每少跳一个绳扣1分，若班级跳绳总积分超过100分，便可得到学校的奖励，通过计算说明八（一）班能否得到学校奖励？ 跳绳个数与标准数量的差值 0 2 4 5 6 人数 8 10 6 2 9 4 1 【答案】能得到学校奖励 【详解】依据题意，有： ∴八（一）班能得到学校奖励． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$