专题01 二次根式（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识二次根式 【解惑】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有 个． 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 类型二、二次根式有意义 【解惑】若式子有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．使得有意义的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．使有意义的x的取值范围是 ． 3．写出一个使函数有意义的自变量的值 ． 类型三、二次根式的值 【解惑】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 2．当时，二次根式的值是 ． 3．当时，二次根式的值为 ． 类型四、二次根式比较大小 【解惑】两个数，5的大小关系是 （   　 ） A． B． C． D．无法比较 【融会贯通】 1．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．+2＜﹣1 C．＞ D．＞ 2．比较下列实数的大小： ． 3．比较大小： （填“”、“”、“”）． 类型五、二次根式的非负性 【解惑】已知x、y为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 3．若，，且，则 ． 类型六、二次根式的乘法 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 类型七、二次根式的除法 【解惑】计算： (1) (2) (3) (4) 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 类型八、二次根式的加法 【解惑】化简：． 【融会贯通】 1．计算 2．计算：． 3．计算：． 类型九、二次根式的减法 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算： (1) (2) 3．计算下列各小题． (1)； (2)． 类型十、二次根式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 【一览众山小】 1．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式是二次根式的是（     ）． A．5 B． C． D． 3．式子在实数范围内有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 4．化简： ． 5． ． 6．当时，二次根式的值是 ． 7．计算： (1)； (2)； 8．计算：． 9．计算 (1)； (2)． 10．（1）计算：． （2）计算：． （3）先化简，再求值，其中． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识二次根式 【解惑】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义及相关基础是解题的关键，根据二次根式的定义：一般形如的代数式叫做二次根式；双重非负性：是一个非负数．其中，也是一个非负数，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不符合二次根式的形式，故此选项不符合题意； B、符合二次根式的形式，同样也符合二次根式的性质，故此选项符合题意； C、不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； D、当时不符合二次根式被开方数为非负数的性质，故此选项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如的式子叫做二次根式”是解题关键． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D 2．在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有 个． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. 依次分析即可. 【详解】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. ①是二次根式； ②是二次根式； ③不是二次根式； ④，二次根式无意义，故④不是二次根式； ⑤，因为，所以1-x0，故⑤是二次根式. 二次根式有①②⑤三个. 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的定义. 3．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式有 【答案】①③ 【分析】根据二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式判断即可． 【详解】二次根式有：①；③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式． 类型二、二次根式有意义 【解惑】若式子有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式意义的条件为被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． 【融会贯通】 1．使得有意义的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故选：C． 2．使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解这一条件是关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，即可求得x的取值范围． 【详解】由题意得， 解得． 故答案为：． 3．写出一个使函数有意义的自变量的值 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了函数的自变量取值范围，先确定x的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵函数有意义， ∴，且， 解得，且． 所以当，2符合题意． 故答案为：0（答案不唯一）． 类型三、二次根式的值 【解惑】当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【融会贯通】 1．当时，二次根式的值是（      ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式求值；把a的值代入二次根式求值即可． 【详解】解：时，； 故选：B． 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值． 【详解】解：根据题意，得 当时，． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 3．当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键． 类型四、二次根式比较大小 【解惑】两个数，5的大小关系是 （   　 ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】把两数都化为只有根式的形式，再根据根号里面的数比较大小. 【详解】∵,5= 则＜ ∴＜5 故答案为A. 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，解题关键在于通过比较被开方数的大小去比较无理数的大小. 【融会贯通】 1．比较大小错误的是（    ） A．＜ B．+2＜﹣1 C．＞ D．＞ 【答案】D 【分析】根据正整数算术平方根的大小估算，继而进行大小比较即可做出判断． 【详解】解：∵5＜7， ∴＜，因此选项A不符合题意； ∵5＜＜6， ∴7＜+2＜8， ∵9＜＜10， ∴8＜﹣1＜9， ∴+2＜﹣1，因此选项B不符合题意； ∵4＜＜5， ∴11＜+7＜12， ∴5.5＜＜6， ∴﹣6＜﹣＜﹣5.5，因此选项C不符合题意； ∵3＝，2＝，而＞， ∴3＞2，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的估算，二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握正整数算术平方根的大小比较方法． 2．比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 3．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 类型五、二次根式的非负性 【解惑】已知x、y为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，被开方数需大于或等于零，以及完全平方式的值大于或等于零，由此可以求得x、y的值． 【详解】解： 要有意义， ， 又 ，且， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质进行化简即可，正确求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 3．若，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用二次根式的化简公式化简已知等式，再根据，求出a与b的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 类型六、二次根式的乘法 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解本题的关键在熟练掌握二次根式的运算法则．利用乘法分配律相乘，即可得出结果； 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，立方根，算术平方根，然后进行加法运算即可； （2）先化简绝对值，计算二次根式的乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，化简绝对值，二次根式的乘法等知识．熟练掌握立方根，算术平方根，化简绝对值，二次根式的乘法是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可． （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 类型七、二次根式的除法 【解惑】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把被开方数整理为，再进行化简，即可作答． （2）先把被开方数整理为，再进行化简，即可作答． （3）先把被开方数整理为，再进行化简，即可作答． （4）先把被开方数整理为，再进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，首先计算乘方、开立方，计算二次根式的除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)20 (2) (3)10 (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘法、除法、乘除混合运算，以及二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用二次根式的性质化简计算得出答案； （2）直接化简二次根式进而计算得出答案； （3）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （5）直接利用二次根式的化简计算得出答案； （6）直接利用二次根式的乘除混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 类型八、二次根式的加法 【解惑】化简：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质先化简再计算即可． 【详解】． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题方法一般先化简再合并同类二次根式． 【融会贯通】 1．计算 【答案】 【分析】先化简负整数指数幂、绝对值以及二次根式，再加减运算即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质及加减运算，熟练掌握这些性质是解题的关键． 2．计算：． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，二次根式的加减运算，负整数指数幂的含义，正确化简各数是解题关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】先将题目中的式子化简，然后合并同类项和同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用． 类型九、二次根式的减法 【解惑】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键． 先根据二次根式的性质，然后再进行计算即可； 【详解】解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 类型十、二次根式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）改好完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则，正确化简二次根式是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算除法，最后再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法和利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可； （2）先去绝对值，分母有理化，化为最简二次根式，再合并． 【详解】（1） 解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先把每项化成最简二次根式，再进行加减计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【一览众山小】 1．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列各式是二次根式的是（     ）． A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，5，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 3．式子在实数范围内有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4．化简： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质“”进行计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：3． 5． ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式．利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：3． 6．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：3． 7．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确运用计算法则是正确解决本题的关键． （1）先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘法，再算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．计算：． 【答案】 【分析】本题二次根式的加减，先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可． 【详解】解： ． 9．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键； （1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可； （2）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（1）计算：． （2）计算：． （3）先化简，再求值，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】题主要考查二次根式的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式和分式的混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘法，并化简各二次根式，再计算加减即可； （2）用完全平方公式展开工计算即可； （3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 当时， 原式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$