专题01 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题01 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（12题） 19 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，已知点A为反比例函数的图象上任意一点，过A作轴于B，的面积为（   ）    A．2 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的系数的几何意义，即可得出解． 【详解】解：由题意，得：的面积； 故选D． 【点睛】本题考查已知反比例函数的系数，求特殊图形的面积，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义，是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为点，点在轴上，则的面积是（    ）    A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】连接，根据平行线之间的距离处处相等可得，再根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：如图，连接，    ∵轴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等． 2．如图，点A在双曲线点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，．若的面积是4，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，设与y轴交点为M，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出k的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，设与y轴交点为M， 轴， 轴，， 点A在双曲线点B在双曲线上， ，， ， ， 解得：， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了考查了反比例函数系数的几何意义，熟记反比例函数面积与k的关系是解题关键． 3．如图，点在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ．    【答案】1 【分析】延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、，    轴， ， ， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解． 【详解】解：过点A作轴于C， ∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】作于，根据四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，据此即可得到答案． 【详解】解：过点A作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， ∵， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 【答案】6 【分析】过点C作于点E，连接，利用平行四边形的性质，证明，得到，进而得到，再根据反比例函数系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，连接， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设， 点C在第一象限， ，， ，， ， 反比例函数的分支过点C， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    【答案】10 【分析】过点A作规于E，过点B作规于F，设与y轴交于G，MJ ，，再根据平等四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作规于E，过点B作规于F，    ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 【答案】 【分析】延长交y轴于点D，过B作轴，结合反比例函数k的几何意义即可得到答案； 【详解】解：延长交y轴于点D，过B作轴， ∵点A是双曲线，轴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵点B在上， ∴， 解得：， 故答案为； 【点睛】本题考查反比函数k的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的三角形得到面积． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是 ．    【答案】 【分析】直接根据反比例函数比例系数的几何意义求解． 【详解】解：∵是函数图象上的一点， 又， ∴四边形是矩形 ∴矩形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式训练】 1．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义可得答案． 【详解】解：延长交轴于点，则轴，四边形是矩形，如图： ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握过反比例函数上一点作坐标轴垂线组成的四边形面积为是解答本题的关键． 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，，，即可得四边形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点， ∴， ， ， ∴四边形的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数中k的几何意义． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和，的面积即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的k值与矩形和三角形的面积关系． 2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）点，，在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若四边形的面积是27，则的值为 ；若，则的值为 ；若，则的值为 ．    【答案】 27 27 【分析】利用反比例函数系数的几何意义可得，根据求解，然后利用列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 若四边形的面积是27， ∵在反比例函数（常数，）图象上，且四边形的面积是27， ∴； 若， 同理：矩形，矩形的面积都为， ∴； 若， ， ， ， ∴ 故答案为：27，27， 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 2．（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，令直线交轴于，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：如图，令直线交轴于， ， ∵直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（2024·云南曲靖·二模）如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：依题意有：和的面积是个定值． 所以． 故选：B． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，连接， 过点A作轴于点B， 轴， ， 故答案为：4．    6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行， 设点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 小正方形的面积为， 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且， 大正方形在第一象限的顶点坐标为， 大正方形的面积为， 图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积， 故答案为：48． 7．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 8．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键． （1）将点代入反比例函数可求出k的值； （2）设点，则，，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，， ； （2）设点，则， ． 10．（22-23九年级下·河南新乡·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积． ∵的面积是矩形面积的， ∴矩形的面积． ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、待定系数法求函数表达式、反比例函数比例系数k的几何意义，熟练反比例函数比例系数k的几何意义，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 11．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 12．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【答案】探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 2 类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 7 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 11 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 14 压轴能力测评（12题） 19 解题知识必备 1. 求三角形的面积 2. 求等腰三角形的面积 3.求平行四边形的面积 4. 求矩形的面积 5.求阴影部分的面积 压轴题型讲练 类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，已知点A为反比例函数的图象上任意一点，过A作轴于B，的面积为（   ）    A．2 B．2 C．1 D． 【变式训练】 1．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为点，点在轴上，则的面积是（    ）    A． B．1 C．2 D．4 2．如图，点A在双曲线点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，．若的面积是4，则k的值为（　　）    A． B． C． D． 3．如图，点在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ．    类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为 ． 【变式训练】 1．如图，的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数的分支过点C，若的面积为6，则 ． 2．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ．    3．如图，点A是双曲线上的动点，过点A作x轴的平行线交双曲线于点B，作轴于点C，连接，若四边形为平行四边形，则k的值是 ． 类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，是函数图象上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，则四边形的面积是 ．    【变式训练】 1．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 3．（2023春·山东菏泽·九年级统考开学考试）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，两个反比例函数和（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ．    2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）点，，在反比例函数（常数，）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．，若四边形的面积是27，则的值为 ；若，则的值为 ；若，则的值为 ．    3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·云南曲靖·二模）如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 二、填空题 5．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    6．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，两个正方形的中心与原点重合，边分别与两坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 8．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 三、解答题 9．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积． 10．（22-23九年级下·河南新乡·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 11．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 12．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$