第1章 一元二次方程单元重点综合测试-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第1章 一元二次方程单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 4．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 5．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根 6．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．将一元二次方程化成的形式，则 ． 8．一元二次方程的二次项系数与常数项之积是 ． 9．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 10．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 12．“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为 ． 13．若m，n是方程的两个根，则的值为 ． 14．观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 15．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 16．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 19．下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 21．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 22．据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用． (1)求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率； (2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元． 23．综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长． 目标2：探究最少的材料方案．   现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．    （1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米． 24．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 25．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 26．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 27．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意； C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意； D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：C． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 4．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 5．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根． 根据三角形三边关系得到，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：C． 6．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意； B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意； C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意； D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ． 故答案为：． 8．一元二次方程的二次项系数与常数项之积是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程二次项系数和常数项的定义分别求出二次项系数和常数项，然后求出对应的积即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为6，常数项为， ∴一元二次方程的二次项系数与常数项之积是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程，其中a、b、c分别表示二次项系数，一次项系数，常数项，其中分别表示二次项，一次项． 9．一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【答案】57 【分析】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用根的判别式求出答案． 【详解】解：一元二次方程整理成一般形式为： ∴根的判别式的值是：． 故答案为57． 10．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 11．若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．“指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据整个挂图的面积挂图的长挂图的宽原挂图的长原挂图的宽，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设边框的宽度为，依题意可列方程为， 故答案为：． 13．若m，n是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，找出，是解题的关键．得出，，再将所求的式子整理，代入相应的值即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 即，， ， ． 故答案为：． 14．观察下列图形规律，当图形中的“”的个数和“”个数差为2024时，的值为 ． 【答案】不存在 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个，根据图形中“”和“”个数的变化，可找出变化规律；，令即可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第个图形中“”的个数为个，“”的个数为个， 观察图形， 可知∶，， ； ，， ； 当时， ，即， 解得或，均不为整数，不符合题； 当时， ，即， ，无解； 综上，n的值不存在 故答案为：不存在． 15．已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【详解】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 16．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 18．已知：关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入得， 解得； （2）证明： ， 方程有两个不相等的实数根． 19．下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)①一；② (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法及配方法是解题的关键． （1）①利用等式的性质，即可解答；②利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②解： 即或 此题的正确结果是， 故答案为：； （2）解：． 配方，得，即． 两边开平方，得， 即或． ∴． 20．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 21．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 22．据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用． (1)求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率； (2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元． 【答案】(1)景点接待游客的年平均增长率为； (2)当房价定为元时，宾馆当天的利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程． （1）设景点累计接待游客的月平均增长率为，根据年月底和年月底的游客人数列出方程，解之即可； （2）设房价定为元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解之，取较小正数解即可． 【详解】（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：景点接待游客的年平均增长率为； （2）设房价定为元时，宾馆当天的利润为元， 由题意得：， 解得：，， 为了尽可能让游客享受更低的单价， ， 答：当房价定为元时，宾馆当天的利润为元． 23．综合实践：如何用最少的材料设计花园？ 【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米． 【项目解决】 目标1：确定面积与边长关系． 当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长． 目标2：探究最少的材料方案．   现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．    （1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． （2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米． 【答案】目标1：；    目标2：（1）不能，理由见解析； （2）18，； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键． 目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可； 目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值； 【详解】解：目标1：设的长为x米， 当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米， ，   现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完， ，即， 解得，， 或， 又 墙长为10米，，不合题意，舍去， ． 目标2：（1） 设的长为x米，   矩形花园面积为平方米， ， 所用的篱笆为米， ，即， ，   方程无解，故不能成功围成． （2）设所用的篱笆为米， 则，即， ， ， 解得，或（舍去）， 故m的最小值为18米， 此时， 解得． 故米． 24．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)80元 【分析】本题考查一次函数、一元二次方程的实际应用： （1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列一元二次方程可解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ， y与x的函数关系式为； （2）解：由题意列方程：， 整理得， 解得或， 由（1）得， ， 即销售单价应定为80元． 25．阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B； （2）解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 26．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)“勾系一元二次方程”为： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据勾股定理求出c的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）， “勾系一元二次方程”为：； （2）根据题意，得， “勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， 四边形的周长是， ，即 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 27．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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