专题10 直线的两点式方程5种常考题型归类（41题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题10 直线的两点式方程5种常考题型归类（41题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的两点式和截距式方程辨析 题型二 直线的两点式方程 题型三 直线的截距式方程 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 知识点1：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点2：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点3：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 解题策略 1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 2．直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距． 3.直线的两点式方程的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． 4.用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论． 注：截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 5.利用截距求面积 (1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便． (2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知道截距的大小，因此，需要进行分类讨论． 题型一 直线的两点式和截距式方程辨析 1.（2024·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 2.【多选】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 3.【多选】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过两点，的直线方程为 4.【多选】（2024·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 题型二 直线的两点式方程 5．（2024··高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（2024·江苏·高二假期作业）已知直线经过点，求这条直线的方程． 7.（2024··浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 8.（2024·全国·高二专题练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 9.（2024·全国·高二专题练习）已知△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4,1)，求三角形三条边所在直线的方程． 10.（2024·江苏·高二假期作业）已知点)，，则过点且过线段的中点的直线方程为______ 11．（2024··高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 12.（2024·江苏·高二假期作业）已知，，，在中， (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 13．（2024··山东济宁·高二校考阶段练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为______． 题型三 直线的截距式方程 14．【多选】（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．y=-x+5 B．y=x+5 C．y= D．y=- 15.（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 16．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________. 18．（2024··江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 19．（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为______，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为______. 20．（2024··高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 21.（2024·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在轴上截距与在轴上截距之和为6的直线方程为______________. 22.（2024·全国·高三专题练习）直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 23.（2024·全国·高三专题练习）直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线l的方程． 24．（2024·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________. 25.（2024·全国·高三专题练习）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程． 26．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______． 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 27.（2024·全国·高三专题练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 28．（2024·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 29.（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线l过定点A(－3,4)，求直线l的方程． 30.（2024·全国·高二专题练习）已知直线的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 31.（2024··广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 32.（2024··高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程． 33.（2024·高三课时练习）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为. (1)求中过，边上中点的直线方程； (2)求的面积. 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 34.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 35.（2024·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 36.（2024·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 37.（2024·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 38.（2024·高二课时练习）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 39.（2024·全国·高二专题练习）已知直线： （1）若直线的斜率是2，求的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 40.（2024·全国·高三专题练习）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 41.（2024·高二课时练习）已知直线过点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题10 直线的两点式方程5种常考题型归类（41题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的两点式和截距式方程辨析 题型二 直线的两点式方程 题型三 直线的截距式方程 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 知识点1：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点2：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点3：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 解题策略 1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 2．直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距． 3.直线的两点式方程的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． 4.用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论． 注：截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． 5.利用截距求面积 (1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便． (2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知道截距的大小，因此，需要进行分类讨论． 题型一 直线的两点式和截距式方程辨析 1.（2024·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用， 由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线. 故选:C 2.【多选】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（   ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 D．过两点的直线方程为 【答案】AD 【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确； B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误； C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误； D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确； 故选：AD. 3.【多选】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过两点，的直线方程为 【答案】AD 【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确； 在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误； 直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线 当时，直线方程为，变形为， 当时，直线方程为，也适合方程， 所以D正确． 故选：AD． 4.【多选】（2024·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（    ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点，的直线都可用方程 表示 D．不过原点的直线都可用方程表示 【答案】ABD 【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确； C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确； 故选：ABD. 题型二 直线的两点式方程 5．（2024··高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 6.（2024·江苏·高二假期作业）已知直线经过点，求这条直线的方程． 【答案】当时，直线方程为；当时，直线方程为． 【详解】由直线经过点，可知该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即时，直线方程为； ②当直线斜率存在，即时，利用两点式，可得直线方程为，即． 综上所述，当时，直线方程为；当时，直线方程为． 7.（2024··浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 8.（2024·全国·高二专题练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【详解】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：， 故选：C 9.（2024·全国·高二专题练习）已知△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4,1)，求三角形三条边所在直线的方程． 【解析】∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 10.（2024·江苏·高二假期作业）已知点)，，则过点且过线段的中点的直线方程为______ 【答案】 【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：， 化简得：. 11．（2024··高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解. 【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即. 故选：D 12.（2024·江苏·高二假期作业）已知，，，在中， (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)2x＋5y＋10＝0 (2)10x＋11y＋8＝0 【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0． （2）设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3，所以， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0． 13．（2024··山东济宁·高二校考阶段练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为______． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，分别求得三角形垂心和重心的坐标，再求欧拉线方程即可. 【详解】由，，，可知边上的高所在的直线为， 又，因此边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线为：，即， 联立，所以的垂心坐标为， 由重心坐标公式可得的重心坐标为， 所以的欧拉线方程为：，化简得． 故答案为：. 题型三 直线的截距式方程 14．【多选】（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．y=-x+5 B．y=x+5 C．y= D．y=- 【答案】AC 【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求. 【详解】当直线过坐标原点时，直线过点,所以直线方程为y=; 当直线不过坐标原点时，设直线方程为=1，代入点，可得a=5， 即y=-x+5. 故选:AC. 15.（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为； 若，设直线为， 代入，即，解得， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：D. 16．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程. 【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为， 故选：C 17．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________. 【答案】或 【分析】对两坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，再利用待定系数法即可求得直线方程. 【详解】若直线在两坐标轴上的截距为0，则直线过坐标原点， 所以直线方程可以写为，即； 当截距不为零时，不妨设直线方程为， 代入点可得，即； 综上可知，直线方程为或. 故答案为：或 18．（2024··江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解. 【详解】当此直线过原点时，直线方程为，化为； 当此直线不过原点时，设直线的方程为，或， 把点分别代入可得，或，解得，． 直线的方程为或． 综上可知：直线的方程为或，． 故选：D． 19．（2024··高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为______，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为______. 【答案】 【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0. 可设直线方程为，因为直线过，所以，解得， 所以直线方程为. 当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 故答案为. 20．（2024··高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】设直线的方程为，则解得 则直线的方程为+=1，即. 故答案为： 21.（2024·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在轴上截距与在轴上截距之和为6的直线方程为______________. 【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 【详解】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， 则有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2. 直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0. 故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 22.（2024·全国·高三专题练习）直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 【解析】设直线l的方程为＋＝1， 由已知得a＋b＝12.① 又直线l过点(－3,4)， ∴＋＝1.② 由①②，解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 23.（2024·全国·高三专题练习）直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线l的方程． 【解析】设直线l的方程为＋＝1， 由已知得ab＝6.① 又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.② 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 24．（2024·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________. 【答案】或. 【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程. 【详解】设直线方程的截距式为. 则，解得或， 则直线方程是或， 即或. 故答案为：或. 25.（2024·全国·高三专题练习）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】或． 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点， 所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为， 则在轴上的截距为，则直线的方程为， 又直线过点， ∴， 解得， ∴直线的方程为． 综上;直线的方程为或． 26．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值． 【详解】∵直线过点， ． ，当且仅当，即，时取等号． 的最小值为． 故答案为：． 题型四 直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 27.（2024·全国·高三专题练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【解析】因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. ①若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a， 则直线l的方程为＋＝1， 即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6， ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. ②若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a，故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6， ∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 28．（2024·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程. 【答案】或 【分析】依题意设所求直线的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为， 由已知可得，解得或， 所以或， 故直线的方程为或． 29.（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线l过定点A(－3,4)，求直线l的方程． 【解析】由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴、y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 则×|3k＋4|×＝3， 显然k>0时不成立． 解得k1＝－，k2＝－. 所以直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 30.（2024·全国·高二专题练习）已知直线的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程． 【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1． 【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|， 故其面积为， 由，解得b＝±1， 故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1． 31.（2024··广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 32.（2024··高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程． 【答案】直线l的方程为或或或． 【详解】设直线l在x，y的截距分别为， 由题意可得，解得或， 又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率，即， 可得或或或， 所以直线l的方程为或或或 33.（2024·高三课时练习）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为. (1)求中过，边上中点的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0 (2)10 【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1）， 又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1）， ∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）． 过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是， 整理得x﹣5y﹣5＝0． （2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC， ∴△ABC的面积． 题型五 直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 34.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 【答案】12 【详解】设直线的方程，由过点可得，则有；；； 解得：，当且仅当：时，，时取等号； 所以 故答案为：12 35.（2024·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：原方程整理得：． 由，可得， 不论为何值，直线必过定点 （2）解：设直线的方程为． 令令． ． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 则的方程为． 36.（2024·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【答案】x＋2y－4＝0 【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 故直线的方程为， 即. 方法二：设直线：， 因为直线l过点， 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 此时，故直线的方程为， 即. 37.（2024·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，， （1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号， 面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即， （2）由于，当且仅当，即且时取等号， 所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即． 38.（2024·高二课时练习）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2)存在，且直线方程为. 【详解】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）解：设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 39.（2024·全国·高二专题练习）已知直线： （1）若直线的斜率是2，求的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0. 【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则，解得m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则. 当m＝2时，S有最大值， 故直线l的方程为x＋y－2＝0. 40.（2024·全国·高三专题练习）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)面积的最小值为，此时直线的方程为. 【详解】（1）解：由题意可得. （2）解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 41.（2024·高二课时练习）已知直线过点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)12 【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为12． $$