精品解析：河北省沧州市盐山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末教学质量评估 八年级数学试卷 （总分120分，考试时间90分钟） 卷Ⅰ（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是二次根式，则x应满足(　　) A. x≥2 B. x＜2 C. x＞2 D. x≠2 2. 下列根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. 65 D. 无法计算 4. 如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( ) A. B. C. +1 D. +1 5. 若点(－3，y1)、(2，y2)都在函数y＝－4x＋b的图像上，则y1与y2的大小关系（ ） A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. 无法确定 6. 如图，菱形中,，则（　　） A. B. C. D. 7. 五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据.若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和可能是（ ）. A 20 B. 28 C. 30 D. 31 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流： 小明说：“若，则四边形是矩形．” 小强说：“若，则四边形是菱形．” 下列说法中正确的是（ ） A. 小明不对，小强对 B. 小明对，小强不对 C. 小明和小强都对 D. 小明和小强都不对 11. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题 共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷Ⅱ时，将答案书写在密封线以内的规定区域． 二、填空题（本题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中的横线上） 13. 已知是整数，自然数n的最小值为__________． 14. 将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 15. 在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表： 体温 361 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 次数 2 3 4 6 3 1 2 则这些体温的中位数是_____ 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）计算： 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 19. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB周长． 20. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)乙队开挖到30m时，用了_____ h. 开挖6h时甲队比乙队多挖了____ m; (2)请你求出: ①甲队在的时段内，y与x之间的函数关系式； ②乙队在的时段内，y与x之间的函数关系式； (3)当x 为何值时，甲、 乙两队在 施工过程中所挖河渠的长度相等? 21. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 22. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过.交通管理部门在离该公路处设置了一速度监测点.在如图①所示的坐标系中，点位于轴上，测速路段在轴上，点在点的北偏西方向上，点在点的北偏东方向上. （1）请在图①中画出表示北偏东方向的射线，并标出点的位置； （2）点坐标为______，点坐标为______； （3）一辆汽车从点行驶到点所用的时间为，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问取1.7） 23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF． （1）求证：； （2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE菱形？请说明理由． 24. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． （1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末教学质量评估 八年级数学试卷 （总分120分，考试时间90分钟） 卷Ⅰ（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是二次根式，则x应满足(　　) A. x≥2 B. x＜2 C. x＞2 D. x≠2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x﹣2≥0， x≥2 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 2. 下列根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 3. 已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. 65 D. 无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】∵的三边分别为a、b、c，且 ∴ ∴ ∴ ∴△ABC是直角三角形，且边c的对角∠C=90°， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 4. 如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( ) A. B. C. +1 D. +1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出BC，根据勾股定理求出AC，得到AM的长，根据数轴的性质解答． 【详解】解：由题意得，BC=AB=1， 由勾股定理得，AC=， 则AM=， ∴点M对应的数是+1， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 若点(－3，y1)、(2，y2)都在函数y＝－4x＋b的图像上，则y1与y2的大小关系（ ） A. y1＞y2 B. y1＜y2 C. y1＝y2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，进而求解． 【详解】由一次函数y＝－4x＋b可知，k=－4＜0，y随x的增大而减小， ∵－3＜2， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键． 6. 如图，菱形中,，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AB∥CD，∠BAD=2∠1，求出∠BAD=30°，即可得出∠1=15°． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠D=150°，∴AB∥CD，∠BAD=2∠1，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=180°﹣150°=30°，∴∠1=15°． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 7. 五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据.若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和可能是（ ）. A. 20 B. 28 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】∵中位数是6，唯一众数是7. ∴最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5， ∴五个数的和一定大于20且小于等于29. 故选B 点睛：本题是一道关于中位数和众数的题目，解题的关键是掌握中位数和众数的定义；根据中位数和众数的定义可知，最大的三个数的和是：6+7+7=20；两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而得出答案. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的大致图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限与系数的关系进行求解即可． 【详解】解；当时，一次函数经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、三、四象限； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，一次函数经过第二、三、四象限； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，一次函数经过第一、二、三象限； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，一次函数经过第一、二、四象限； ∴四个选项只有C符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则DE的长是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， 则， ∵D、E分别是AC、AB的中点， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流： 小明说：“若，则四边形是矩形．” 小强说：“若，则四边形是菱形．” 下列说法中正确的是（ ） A. 小明不对，小强对 B. 小明对，小强不对 C. 小明和小强都对 D. 小明和小强都不对 【答案】C 【解析】 【分析】对于小明的说法，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即，结合矩形的判定定理，判断得出小明的说法正确；对于小强的说法，根据直角三角形斜中半定理，得到，结合菱形的判定定理，判断得出小强的说法正确． 【详解】解：对于小明的说法， ∵，AD是的中线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 故小明的说法正确． 对于小强的说法， ∵，AD是的中线， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 故小强的说法正确． 综上，故选：C． 【点睛】本题考查了三线合一定理，斜中半定理以及矩形和菱形的判定，熟悉以上几何概念、定理是解题的关键． 11. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：把点代入到中得：， ∴， ∴， ∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处， ∴关于x的不等式的解集是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 【详解】解：由题意得： ， 故， ， 点表示的数为， 点表示的数为， 点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 卷Ⅱ（非选择题 共84分） 注意事项：1．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷Ⅱ时，将答案书写在密封线以内的规定区域． 二、填空题（本题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中的横线上） 13. 已知是整数，自然数n的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】解：∵是整数，且n为自然数 ∴n的最小值为2，此时 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数指大于等于0的整数是本题的解题关键． 14. 将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 15. 在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表： 体温 36.1 36.2 36.3 36.4 365 36.6 36.7 次数 2 3 4 6 3 1 2 则这些体温的中位数是_____ 【答案】 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数． 【详解】解：此题的数据总数为21，而将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数也就是第11个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故答案为：． 【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 16. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标 【详解】如图，过点D，作于点E ∵、，四边形菱形 ∴, ∴ ∵在和中 ∴ ∵ ∴, ∴ ∵点D在第二象限 ∴点D的坐标为 【点睛】本题考查坐标系内点的坐标的求法，菱形的性质，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理求出对应线段的长是关键 三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先去括号，然后再化简各二次根式，最后合并即可； （2）先运用平方差公式、完全平方公式计算，然后再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 【答案】船向岸边移动了9米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中： ，米，米， （米）， 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 19. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形DBFE的周长为28cm 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据已知条件可得即可得证； （2）根据勾股定理求得，根据（1）的结论证明四边形DBFE是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴，， 又 即， ∴ 【小问2详解】 ， ∴， ，D是AC的中点 ， ∴， 中， ∴， 又且， ∴四边形DBFE为平行四边形． ∴四边形DBFE的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定以及中位线定理是解题的关键． 20. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题: (1)乙队开挖到30m时，用了_____ h. 开挖6h时甲队比乙队多挖了____ m; (2)请你求出: ①甲队在的时段内，y与x之间的函数关系式； ②乙队在的时段内，y与x之间的函数关系式； (3)当x 为何值时，甲、 乙两队在 施工过程中所挖河渠的长度相等? 【答案】（1）2，10；（2）①y=10x，②y=5x+20；（3）x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 【解析】 【分析】（1）此题只要认真读图，可从中找到甲、乙两队各组数据； （2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式； （3）利用（2）中的函数关系式可以解决问题． 【详解】解：（1）依题意得乙队开挖到30m时，用了2h， 开挖6h时甲队比乙队多挖了60-50=10m； （2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=k1x， 由图可知，函数图象过点（6，60）， ∴6k1=60， 解得k1=10， ∴y=10x， ②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b， 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴ ， 解得 ， ∴y=5x+20； （3）由题意，得10x=5x+20， 解得x=4（h）． ∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 故答案为（1）2，10；（2）①y=10x，②y=5x+20；（3）x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 【点睛】本题考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键． 21. 某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 【点睛】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． 22. 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过.交通管理部门在离该公路处设置了一速度监测点.在如图①所示的坐标系中，点位于轴上，测速路段在轴上，点在点的北偏西方向上，点在点的北偏东方向上. （1）请在图①中画出表示北偏东方向的射线，并标出点的位置； （2）点坐标为______，点坐标为______； （3）一辆汽车从点行驶到点所用的时间为，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问取1.7） 【答案】（1）见解析；（2），；（3）这辆车限速公路上超速行驶了，见解析. 【解析】 【分析】求点的坐标就是求OB、OC的长度，求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，就可以判断是否超速． 【详解】（1）如图所示，射线为AC，点C为所求位置； （2）在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，则OB=OA•tan60°=100，因而点B的坐标是（-100，0）； 直角△AOC是等腰直角三角形，因而OC=OA=100，因而C的坐标是（100，0）； （3）BC=BO+OC=100+100≈270（m）． 270÷15=18（m/s）． ∵18＞， ∴这辆车在限速公路上超速行驶了． 【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF． （1）求证：； （2）连接AF，CE．当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由． 【答案】（1）证明看解析． （2）满足BD平分∠ABC，AC⊥BD，四边形AFCE是菱形． 【解析】 【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形，得AD=BC，AD∥BC，可证∠ADE=∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF即可； (2)由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD，又因为∠ADB=∠CBD，则∠ABD=∠ADB，有AB=AD，可证出AC⊥BD，然后证出四边形AFCE为平行四边形即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ADE=∠CBF， 在△ADE和△CBD中， ∴△ADE≌△CBF(SAS)． 【小问2详解】 满足BD平分∠ABC，AC⊥BD，四边形AFCE是菱形，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵∠ADB=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴AC⊥BD， ∵∠ADE≌△CBF， ∴AE=CF，∠AED=∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形AFCE是菱形。 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证出AC⊥BD是解题的关键． 24. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． （1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 【答案】（1）每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； （2）当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【解析】 【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； 【小问2详解】 解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶， 依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)， 解得17.5≤a≤20， ∵a为正整数， ∴a取18、19、20， 而W=45a+35(30-a)=10a+1050， ∵10＞0， ∴W随a的增大而增大， ∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230， 此时30－18＝12， 答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$