1.1.1 空间向量及其线性运算（六个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

1.1.1空间向量及其线性运算 一、空间向量的有关概念 四、空间向量的共线问题 二、空间向量的加减运算 五、判断空间向量是否共面 三、空间向量的线性运算 六、已知空间向量共面求参数 知识点1空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 重难点一 空间向量的有关概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【例2】给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【变式1-1】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【变式1-2】（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【变式1-3】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 知识点2空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 重难点二 空间向量的加减运算 【例3】空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在三棱柱中，（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 重难点三 空间向量的线性运算 【例5】在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【变式3-1】在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                                     知识点3共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 重难点四 空间向量的共线问题 【例7】（多选）下列说法错误的是（    ） A．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D．在空间共线的向量在平面内一定共线 【例8】（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【变式4-1】若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【变式4-2】已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【变式4-3】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 重难点五 判断空间向量是否共面 【例9】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【例10】对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 【变式5-1】（多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 重难点六 已知空间向量共面求参数 【例11】已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ． 【例12】已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式6-1】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 【变式6-3】如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 一、单选题 1．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知，，，，是空间任意五点，则 B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 3．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 5．已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 8．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 三、填空题 9．已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 10．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 11．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 13．如图所示，在平行六面体中，分成的比为，分成的比为2，设，试用表示．    14．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    15．已知､､是不共面的向量，且，，，. (1)判断P､A､B､C四点是否共面； (2)能否用､､表示？并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其线性运算 一、空间向量的有关概念 四、空间向量的共线问题 二、空间向量的加减运算 五、判断空间向量是否共面 三、空间向量的线性运算 六、已知空间向量共面求参数 知识点1空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 重难点一 空间向量的有关概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【详解】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【例2】给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 【变式1-1】（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 【变式1-2】（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 【变式1-3】如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 知识点2空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 重难点二 空间向量的加减运算 【例3】空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的加法、减法法则，得. 故选：A. 【例4】如图，在三棱柱中，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：. 故选：D 【变式2-1】已知正方体，则下列各式运算结果不是的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 选项A中，； 选项B中，； 选项C中，； 选项D中，. 故选：B. 【变式2-2】（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 【变式2-3】如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 重难点三 空间向量的线性运算 【例5】在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 化简得：， 故选：A . 【例6】如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【详解】， 故答案为：. 【变式3-1】在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接,，分别是,的中点 ，， 故选：B 【变式3-2】如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 【变式3-3】如图，长方体中，点E，F分别是和BD的中点，，，，将下列两组中相等的向量连线．                                     【答案】答案见解析 【详解】长方体中， ， ， 又 ， ， 故两组中相等的向量连线如图．    知识点3共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 重难点四 空间向量的共线问题 【例7】（多选）下列说法错误的是（    ） A．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D．在空间共线的向量在平面内一定共线 【答案】ABC 【详解】A. 在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误； B.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故错误； C.在平面内共线的向量在空间一定共线，故错误； D.在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故正确. 故选：ABC 【例8】（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【详解】 当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 【变式4-1】若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【答案】D 【详解】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误； 故选：D 【变式4-2】已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 【变式4-3】如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 重难点五 判断空间向量是否共面 【例9】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 所以共面； 因为 所以共面； ， 所以共面； 假设存在实数满足， 所以,所以 ，该方程组没有实数解. 所以不存在实数满足， 故不共面．所以选项C符合题意. 故选：C 【例10】对于空间中的任意三个向量，，，它们一定是（    ） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 【答案】A 【详解】若，不共线，则由空间共面向量定理知，，，共面； 若，共线，则，，共线，也共面. 故选：. 【变式5-1】（多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B：，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D：，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-2】已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由已知，与不共线， 对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使， 即，该方程组无解，故选项A错误； 对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使， 即，解得，即，与，共面，故选项B正确； 对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使， 即，该方程组无解，故选项C错误； 对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误. 故选：B. 【变式5-3】已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 重难点六 已知空间向量共面求参数 【例11】已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即， 所以 ， 故答案为： 【例12】已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 【变式6-1】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 故选：D 【变式6-2】是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则 . 【答案】3 【详解】因为点在平面内，所以，，共面， 所以存在与 使得, 即， 所以，解得. 故. 故答案为:3. 【变式6-3】如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 【答案】/ 【详解】设，，，则， ， ， 由题意可知，、、共面，设， 即， 所以，，解得. 故答案为：. 一、单选题 1．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 2．下列四个命题中为真命题的是（    ） A．已知，，，，是空间任意五点，则 B．若两个非零向量与满足，则四边形是菱形 C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量 D．对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】C 【详解】对于A，因为，故A项错误； 对于B，因为，所以，且， 所以四边形是平行四边形，不一定是菱形，故B项错误； 对于C，因为空间向量可以平移，将空间任意两个向量平移到同一起点时，则这两个向量可以是共面向量，故C项正确； 对于D，对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，当且仅当时，，，，四点共面，故D项错误. 故选：C. 3．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 4．已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 【答案】B 【详解】由， 则共面. 从而A，B，C，D四点共面. 故选：B. 5．已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点， 如图，延长交于点P，则平面，平面， 又平面，连接EP，则平面，而平面， 显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H， 作，交于M，F为CD的中点， 则≌，则，结合，则， 由于，故， 作，交于N，则， 而E为AB的中点，即，故， 又，故，即， 故选：C 6．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 二、多选题 7．下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 8．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 10．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【答案】②③④ 【详解】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确． 故答案为：②③④. 11．已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【详解】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    13．如图所示，在平行六面体中，分成的比为，分成的比为2，设，试用表示．    【答案】 【详解】连接，则，由题知是平行四边形， 故，因为分成的比为， 所以． 又分成的比为2， 故 ， 则．    14．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    15．已知､､是不共面的向量，且，，，. (1)判断P､A､B､C四点是否共面； (2)能否用､､表示？并说明理由. 【答案】(1)不共面 (2)能，理由见解析 【详解】（1）假设P､A､B､C四点共面，则存在实数x､y､z， 使，且， 即. 比较对应的系数，得到关于x､y､z的方程组， 解得，这与矛盾， 故P､A､B､C四点不共面； （2）能用､､表示，理由如下： 若､､共面，则存在实数m､n，使， 同（1）可证，､､不共面，即是向量､与的线性组合， 令，，， 由，得， 所以 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$