1.2 集合间的基本关系（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

1.2集合间的基本关系 一、（真）子集的列举及个数 五、判断两个集合的包含关系 二、空集的判断及应用 六、根据集合的包含关系求参数值 三、判断两个集合是否相等 七、根据集合的包含关系求参数范围 四、根据集合相等求参数 八、集合关系的新定义问题 知识点1子集与真子集 1.子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2.真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 3.空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 重难点一 （真）子集的列举及个数 【例1】若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】写出集合的所有子集. 【变式1-1】若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【变式1-3】（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 重难点二 空集的判断及应用 【例3】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【例4】已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若集合，则实数a的取值范围 ． 知识点2集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 重难点三 判断两个集合是否相等 【例5】判断正误 （1）.( ) （2）．( ) （3）．( ) （4）．( ) 【例6】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【变式3-3】已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 重难点四 根据集合相等求参数 【例7】已知集合，集合，若，则 . 【例8】集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【变式4-2】若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【变式4-3】已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 重难点五 判断两个集合的包含关系 【例9】下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【例10】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】选择适当的符号（“”“”“”“”“”“”“”）填空： （1）0 ， ， ， ， ； （2）设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边形组成的集合，则A B，B C； （3）若集合，，则A C． 【变式5-3】利用图示法判断下列两个集合之间的关系： (1)，是8的因数； (2)，． 重难点六 根据集合的包含关系求参数值 【例11】设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知集合，，且，则 ． 【变式6-1】（多选）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【变式6-2】（多选）已知集合，，若，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】设集合，集合，若且，则实数 . 重难点七 根据集合的包含关系求参数范围 【例13】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【变式7-1】已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知非空集合，或，若中，则实数的取值范围是 . 【变式7-3】（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ； （2）已知集合，．若，则的取值范围是 ； （3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围是 ． 重难点八 集合关系的新定义问题 【例15】定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【例16】定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为 . 【变式8-1】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【变式8-2】已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【变式8-3】定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}． (1)求集合A⊗B的所有元素之和． (2)写出集合A⊗B的所有真子集． 一、单选题 1．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 2．已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 3．集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 4．集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 5．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 8．若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 三、填空题 9．已知集合，若，则c的值为 . 10．已知集合，则实数k的取值范围是 . 11．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 四、解答题 12．指出下列各组中的两个集合与的关系． （1），； （2），； （3）是等腰三角形，是等边三角形； （4），． 13．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 14．设集合， (1)若，试判断集合与的关系． (2)若，求实数的值组成的集合． 15．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 一、（真）子集的列举及个数 五、判断两个集合的包含关系 二、空集的判断及应用 六、根据集合的包含关系求参数值 三、判断两个集合是否相等 七、根据集合的包含关系求参数范围 四、根据集合相等求参数 八、集合关系的新定义问题 知识点1子集与真子集 1.子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 2.真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 3.空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 重难点一 （真）子集的列举及个数 【例1】若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 【例2】写出集合的所有子集. 【答案】答案见解析 【详解】集合的子集为B，则， 故所有子集为. 【变式1-1】若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 【变式1-2】已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【答案】，，，，，， 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 【变式1-3】（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 重难点二 空集的判断及应用 【例3】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【例4】已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对， 故选：C. 【变式2-1】下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式2-2】（多选）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A：写法不对，应为或，A错误； 对B：是任何集合的子集，故成立，B正确； 对C：是不含任何元素的集合，故，C错误； 对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确. 故选：BD. 【变式2-3】若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【详解】故无解则 故答案为： 知识点2集合相等 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 重难点三 判断两个集合是否相等 【例5】判断正误 （1）.( ) （2）．( ) （3）．( ) （4）．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 【详解】（1）中，表示一个集合，表示一个数字，所以（1）错误； （2）中，集合表示一个点集，集合表示一个数集，所以（2）错误； （3）中，集合和都表示有大于的实数构成的集合， 所以（3）正确； （4）中，由方程，可得，所以，所以（4）正确． 故答案为：（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）正确. 【例6】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 【变式3-1】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D. 【变式3-2】集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故答案为：是. 【变式3-3】已知集合和，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到， 所以， 又，所以， 故选：C. 重难点四 根据集合相等求参数 【例7】已知集合，集合，若，则 . 【答案】或 【详解】由集合知，是方程的两根， 则， 由，或解得或， 则或. 故答案为：或. 【例8】集合是由实数2，3组成的集合，集合是由实数、组成的集合，若，求的值． 【答案】或 【详解】由可知，当时，或当时，，易得或. 【变式4-1】含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 【变式4-2】若集合 ， 则的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【详解】根据题意， 只有一个实数根， 当 时，化为， 所以； 当 时，， 则， 又是方程的解， 所以， 得． 故答案为: 【变式4-3】已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【答案】(1)0或－1 (2)－1 (3)不存在 【详解】（1）由且，可知或， 当时，；当时，. 经检验，0与－1都符合要求.∴或. （2）由，得或或，∴或或. 但考虑到集合元素的互异性，且，故. （3）显然，由集合元素的无序性，只可能或. 若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同. 若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同. 重难点五 判断两个集合的包含关系 【例9】下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 【例10】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，由集合间的关系可知，. 故选：A 【变式5-1】（多选）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 【变式5-2】选择适当的符号（“”“”“”“”“”“”“”）填空： （1）0 ， ， ， ， ； （2）设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边形组成的集合，则A B，B C； （3）若集合，，则A C． 【答案】     【详解】（1），， 由无解，故， 由或2，则， 由或，则； （2）由正方形都是矩形，但矩形不一定是正方形，则， 由矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，则； （3）由，，则. 故答案为：，，，，；，；. 【变式5-3】利用图示法判断下列两个集合之间的关系： (1)，是8的因数； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）∵，，如图1，∴． （2）∵，，如图2，∴． 重难点六 根据集合的包含关系求参数值 【例11】设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 【例12】已知集合，，且，则 ． 【答案】 【详解】解：， 集合的元素都属于集合， ，必有， ． 故答案为：． 【变式6-1】（多选）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 【变式6-2】（多选）已知集合，，若，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】， 当时，，符合题意； 当时，，得， 当时，，得， 综合得. 故选：ABC. 【变式6-3】设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 重难点七 根据集合的包含关系求参数范围 【例13】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 【例14】已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 【变式7-1】已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足，此时，解得：； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【变式7-2】已知非空集合，或，若中，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，或，， ∴，即， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-3】（1）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 ； （2）已知集合，．若，则的取值范围是 ； （3）在（2）中，若“”改为“”，其他条件不变，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）由集合，， 则满足条件的集合可能为， 所以满足条件的集合的个数为4个； （2）由集合，， 因为，则满足，解得，即实数的取值范围为； （3）由（2）知：集合，， 当时，若，则满足，解得； 当时，即时，此时满足， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：4个；；. 重难点八 集合关系的新定义问题 【例15】定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 【例16】定义集合运算：. 若集合，，则集合的子集个数为 . 【答案】512 【详解】由题意得，共有9个元素， 所以的子集个数为. 故答案为：512. 【变式8-1】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 【变式8-2】已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 【变式8-3】定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}． (1)求集合A⊗B的所有元素之和． (2)写出集合A⊗B的所有真子集． 【答案】(1)9 (2)∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5} 【详解】（1）因为 A⊗B＝{0，4，5}， 所以集合所有元素和 9 （2）∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7种可能． 一、单选题 1．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 C．存在，满足，且 D．存在，满足，且 【答案】C 【详解】对于选项A、B：例如，满足A不是的子集， 但，故A错误；，故B错误； 对于选项C：对任意的，都有，则， 若A不是的子集，则存在，满足，且，故C正确； 对于选项D：例如，满足A不是的子集， 但不存在，满足，且，故D错误； 故选：C. 3．集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：集合有1个真子集，则集合有且仅有一个元素， 故方程有且仅有一个根， 当时，，方程有且仅有一个根，满足题意； 当时，需满足，即； 综上可知，或. 故选：D. 4．集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 【答案】A 【详解】∵集合 ∴， ， ∴， 故选：A 5．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 6．已知集合，集合，若，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 集合， 因为，所以，解得. 故选：A. 二、多选题 7．已知集合，则以下正确的有（    ） A． B． C． D．集合A的真子集个数为4 【答案】AC 【详解】由，得到，所以，则选项A正确； 对于选项B，因为集合与集合间的关系是包含关系，所以选项B错误； 对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确； 对于选项D，因为，集合含2个元素，故集合A的真子集个数为，所以选项D错误. 故选：AC. 8．若集合，则的值可能为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【详解】根据题意，只有一个实数根， 当时，化为，所以. 当时，，则. 若，则的解集为，所以； 若，则的解集为，所以. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【详解】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 10．已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 11．已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 【答案】31 【详解】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：31. 四、解答题 12．指出下列各组中的两个集合与的关系． （1），； （2），； （3）是等腰三角形，是等边三角形； （4），． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【详解】（1）因为，，所以； （2）因为，所以； （3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以中的元素都在中，中有元素不在中，所以； （4）因为，， 所以集合与集合中的元素都是全体奇数，所以. 13．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)或. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 14．设集合， (1)若，试判断集合与的关系． (2)若，求实数的值组成的集合． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， ，当时，， 所以； （2）当时，，满足； 当时，则， 所以或，解得或 所以实数的值组成的集合为 15．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$