精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2024学年高一第二学期期末考试 数学期末考试卷 一、单选题 1. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求复数，再根据共轭复数以及虚部的定义分析求解. 【详解】根据题意可知， 则，所以其虚部为. 故选：B. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出和的坐标，再由两向量平行列方程可求出的值. 【详解】因为， 所以，， 因， 所以，得， 故选：A 3. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出点数之和不小于8的情况数，结合两次点数共有36种情况，求出概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况， 其中点数之和为8的情况如下：， 点数之和为9的情况如下：， 点数之和为10的情况如下：， 点数之和为11的情况如下：， 点数之和为12的情况如下：， 故点数之和不小于8的情况共有种， 则点数之和不小于8的概率为. 故选：C 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的性质结合面面的位置关系可判断A；结合面面垂直以及线线位置关系判断B；结合面面以及线面平行判断C；根据面面平行的判定定理判断D. 【详解】对于A，若，则或和相交，A错误； 对于B，若，则不一定有，还有可能是，B错误； 对于C，若，则或，C错误； 对于D，为异面直线，，由于， 则过n作平面与相交，交线为，则， 因为为异面直线，故必相交，若平行，则可得，不合题意； 又由于，故， 而相交，，故，D正确， 故选：D 5. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75分 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的中位数为分 【答案】D 【解析】 【分析】对A，根据频率和为1求解即可；对B，根据频率分布直方图的众数判断即可；对C，计算成绩低于60分的频率，进而可得人数；对D，根据成绩低于中位数的频率为0.5计算即可. 【详解】对A，由题意，，解得，故A正确； 对B，由直方图可得估计这组数据的众数为分，故B正确； 对C，由直方图可得成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，故C正确； 对D，由A可得区间的频率分别为， 因为，，故中位数位于内. 设中位数为，则，解得，故D错误. 故选：D 6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ） A. 与C互斥 B. A与C相互独立 C. B与D互斥 D. B与D相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、独立事件的概念判断各选项的正确与错误. 【详解】记表示基本事件：第一枚骰子的点数为，第二枚骰子的点数为. 对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误； 对B：因为，，事件包含基本事件，，所以， 因为，所以不独立，故B错误； 对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确； 对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误. 故选：C 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 在上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 8. 2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ） A. B. C. 40km D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可． 详解】在中，，， 所以，即，得故． 在中，． 由正弦定理得，， 解得， 在中，由余弦定理得， ， 解得，即两个基站、之间的距离为． 故选：D． 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B. 若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C. 设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图以及互斥事件和对立事件的概念即可判断AB，设样本数据的均值为，方差为，由已知得新样本的均值为，方差为即可判断C，先计算抽取的比例，再在高一高二两层内按比例抽取，求出高一高二的人数后再计算平均分即可判断D. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则， 所以新样本的均值为，方差为，故C正确； 对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90， 高二年级抽取的样本量为×350＝70. 高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，，则的面积最大值为 C. 若，，，则外接圆半径为 D. 若，则一定是等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理判断，对于B，先利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，从而可求出的面积最大值，对于C，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后利用正弦定理可求出外接圆半径，对于D，利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】对于A，因为，所以， 所以如图有两解，所以A正确， 对于B，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当的面积最大值为，所以B错误， 对于C，因为，，，所以由余弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理得，得，所以C正确， 对于D，因为，所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误， 故选：AC 11. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 取的中点为，过三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由于，所以异面直线与所成角即或其补角.利用余弦定理计算可判断A，作出截面计算可判断B，根据线面平行的判定定理判断C，利用等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】对于A，依题意，， 由于，所以异面直线与所成角即（或其补角）， 在三角形中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A选项正确； 对于B，设过三点的平面交棱于，连接，如图， 由平面，平面，， 所以，同理可得，所以截面为平行四边形， 又≌，可得，所以四边形为菱形， 所以≌，可得，即为中点， 所以面积，故B错误； 对于C，由于，平面，平面， 所以平面，故C选项正确； 对于D，设点到平面的距离为，由， 所以，解得，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】由题意可知：高三年级抽取了人， 由于高三共有900人，所以抽样比为， 所以高中学生总数， 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换求得，根据三角形面积公式可得，由可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正弦定理，得，又， 所以， 得，又， 所以，即，又，所以； 由，得， 由，得，所以， 由余弦定理，得， 由，解得. 故答案为：. 14. 已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出，的外心，根据线面垂直得到二面角的平面角，再通过余弦的定义和二倍角的余弦公式即可求出. 【详解】如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R， 令，分别为正和正的外心， 则，，平面ABD，平面CBD. 则，于是平面， 平面交BD点于E，连接，，则， 因此为二面角的平面角. 设其大小为，，，，. 连接，则，， . 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与底面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，先证明，再通过线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，即为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可； （3）取中点，连接，，证明底面，即为直线与底面所成角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 连接交于，连接， 底面是正方形， 为中点，又是线段的中点， ， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 因为底面， 且底面， 所以， 又因为， 且平面，， 所以平面. 所以根据三棱锥的体积公式： . 【小问3详解】 取中点，连接，， ，分别为，中点， ，又底面， 底面， 为直线与底面所成角的平面角， ，， ， 直线与底面所成角的正切值为. 17. 新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. （1）写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 【答案】（1）样本空间见详解， （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法和古典概型概率公式可求出结果； （2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果. 【小问1详解】 依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，， 记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以. 【小问2详解】 记事件“甲符合该大学某专业报考条件”， 事件“乙符合该大学某专业报考条件”， 事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， 所以. 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】（1）小吃类28家，生鲜类12家 （2）（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【解析】 【分析】（1）由题意求出小吃类所占百分比，进而求出应抽取小吃类、生鲜类商家的数目； （2）（i）由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和，求出，再由百分位数和平均数的计算公式求解即可；（ii）先求出平均日利润超过480元的商家所占的比列，即可得出答案. 【小问1详解】 根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. 【小问2详解】 （i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D. （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过几何图形的性质证明，即可； （2）利用平面，并结合三棱锥的体积公式计算即可； （3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可. 【小问1详解】 如图所示，连接， 由题意可知平面ABC，四边形是菱形. 平面ABC，， 又D是AC中点，是正三角形，， 又平面，平面， 平面，， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，所以， 平面，平面； 【小问2详解】 如图所示， 由（1）可知，，平面， 为三棱锥的高， ，， 又在平面内的射影为， ，则，， ，则， 为直角三角形， ， . 【小问3详解】 如图，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接， 过G作交于M，连接MD， 易得，平面，平面，故平面， 又结合（1）的结论有，故二面角为， 所以， 如图，在菱形中，作， 易得， 则， 易知为直角三角形，故. 【点睛】思路点睛：本题立体几何的求解可从以下方面入手： （1）证明线面垂直，要在该平面内找两条相交直线与已知直线垂直即可； （2）第二问关键在于求三棱锥的高，通过构造线面垂直来转化； （3）另一个关键在于求二面角的平面角，结合（1）的结论找出垂直关系解三角形即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2024学年高一第二学期期末考试 数学期末考试卷 一、单选题 1. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 （ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则 5. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75分 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的中位数为分 6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ） A. 与C互斥 B. A与C相互独立 C. B与D互斥 D. B与D相互独立 7. 已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ） A. 直线MN与所成角的余弦值为 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 上存在点Q，使得 D. 在上存在点P，使得平面 8. 2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ） A. B. C. 40km D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B. 若为互斥事件，则对立事件与的对立事件一定互斥． C. 设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，，则的面积最大值为 C. 若，，，则外接圆半径为 D. 若，则一定等腰三角形 11. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 取的中点为，过三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人. 13. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 14. 已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为______. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与底面所成角的正切值. 17. 新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. （1）写出所有选科组合样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D. （1）求证：平面； （2）若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$