1.4.2 充要条件（1）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件（1） 思考？ 新课讲解 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0; (4)若A∪B是空集,则A与B均是空集． 思考？ 新课讲解 将命题“若p,则q”中的条件p 和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题． 不难发现,上述命题中的命题(1)(2)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题． 1、定义: p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”) 新课讲解 如果“若p,则q”和它的逆命题 “若p,则q”均是真命题, 此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件(sufficient and necessary condition).显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件． 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件 2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: (1)若A B且B A,则A是B的 新课讲解 (2)若A B且B A,则A是B的 (3)若A B且B A,则A是B的 (4)若A B且B A,则A是B的 3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 P Q 或 P、Q 有它就行 口诀:对于具体的数集,以条件集合为基础,小充分,大必要. 相当于 Q P 或 P、Q 缺它不行 相当于 同类事物 相当于 P、Q 新课讲解 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 (4)若A=B ,则A是B的 充要条件 3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 B A 1 ) A B 2 ) A B 3 ) A = B 4 ) 小结 充分必要条件的判断方法： 定义法、集合法、等价法(逆否命题) (2)若A B且B A,则A是B的 (1)若A B且B A,则A是B的 (3)若A B且B A,则A是B的 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例题精讲 例3 下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2) p:两个三角形相似, q:两个三角形三边成比例; 解: (1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么),所以 ,所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理, “若p,则q”是相似三角形的判定定理,所以它们均为真命题,即 ,所以p是q的充要条件． 例题精讲 例3 下列各题中,哪些p是q的充要条件? (3) p: xy>0, q:x>0,y>0; (4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0)． (3)因为xy>0时,x>0,y＞0不一定成立 (为什么),所以 ,所以p不是q 的充要条件． (4)因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题,即 ,所以p是q的充要条件. 新课讲解 探究:通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗? 可以发现,“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充 分条件,又是必要条件,所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件． 另外,我们再看平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,它表明“四边形的两组对边分别平行”也是 “四边形是平行四边形”的一个充要条件． 上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念,据此我们可以给出 平行四边形的其他定义形式.例如:两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形;对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地,利用“两个三角形全等”的充要条件,可以给出“三角形全等”的其他定义 形式,而且这些定义是相互等价的;同样,利用“两个三角形相似”的充要条件,可以给 出“相似三角形”其他定义形式,这些定义也是相互等价的;等等. 例4:已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d. 求证:d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. 分析:设: p:d=r,q:直线L与⊙O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明:充分性 和必要性 即可. l P 例题精讲 O 充要条件的证明 例题精讲 证明:设: p:d=r,q:直线L 与⊙O相切. 如图,作OP⊥l于点P,则OP=d. 若d=r,则点P在⊙O上.在直 线l上任取一点Q(异于点P), 连接OQ.在Rt△OPQ中, OQ>OP =r.所以,除点P外直线l上的点都在⊙O的外部,即直线l与⊙O上仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切. (1)充分性 l P Q O 例题精讲 l P Q O 若直线l与⊙O相切,不妨设切点为P,则OP⊥l.因此,d=OP=r. (2)必要性 由(1)(2)可得,d=r是直线l与⊙O相切的充要条件． 例题精讲 例2:请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空： (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的 条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的 条件. (3)“x=3”是“x2=9”的 条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的 条件. 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 例题精讲 1、设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的____________________条件. 2、x>2的一个必要而不充分条件是_____________. 4、设p、r都是q的充分条件,s是q的充要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的 条件,r是t的________条件. 必要不充分 x>1 充分 充要 C 课堂练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 5、设p是q的充分不必要条件,则 是 的 什么条件. 必要不充分 课堂练习 充分不必要 　 前面我们接触了许多概念:命题、真命题、假命题、逆命题、否命题、逆否命题、充分条件、必要条件、充要条件、……等这些概念在问题中是会经常出现的. 特别是对于充要条件的把握在数学学习中相当重要,有位专家说: “学不会充要条件,就等于没学会数学.”由此可见其重要性,充要条件渗透到了数学的各个分支和角落. 19 广东省阳江市第一中学周游数 (1) 充分条件、必要条件、充要条件的概念. (2)判断“若p,则q”命题中,条件p是q的什么条件. 充要条件判断： 课堂总结 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1、 完成练习册相应内容 课堂作业 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 $$