1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 点坐标的书写 【解题思路】 1.建立空间直角坐标系的原则 （1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． （2）充分利用几何图形的对称性． 2.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 3.空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 【例1-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例1-2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【例1-4】（22-23高二·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为，，．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，，，，的坐标． 【例1-5】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标． 【变式】 1．（2024湖北）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上海）如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 3．（22-23高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.    (1)； (2)； (3)； 4．（23-24高二·江苏 ）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 5．（23-24江西）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 知识点二 空间向量的坐标 【解题思路】 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 【例2】（2024河北邯郸）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    3．（22-23高二 ·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    知识点三 空间向量的坐标运算 【解题思路】 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2023高二·全国·专题练习）已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】 1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，则等于（    ） A．-4 B．-6 C．-7 D．-8 2．（2024江苏无锡）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24 甘肃白银 ）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 4．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 6．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．3 B．3 C． D． 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 知识点四 空间平行垂直问题 【解题思路】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直问题． 【例4-1】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．    (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【变式】 1.（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明： (1)； (2)不与平行； (3)． 2．（2024福建莆田·阶段练习）在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别是，上的点，且. 求证：（1）平面平面； （2），. 知识点五 夹角、距离 【解题思路】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化夹角与距离问题． 【例5-1】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，在长方体中，，，点M在上，，N为的中点，求M，N两点间的距离．    【例5-2】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【变式】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长． 2．（2024甘肃）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．    (1)求； (2)求． 3．（2024云南）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求． 知识点六 空间向量解决探索性问题 【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，． (1)在上是否存在点，使得？ (2)在上是否存在点，使得平面？ 【变式】 1．（24-25高二下·全国·期末）在直三棱柱中，，分别为棱中点. (1)证明：平面； (2)若，且，则当为何值时，有？ 2．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，所有的棱长均为2，M是边的中点，则在棱上是否存在点N，使得与所成的夹角为？    【题组一 点坐标的书写】 1．（23-24高二下·四川·阶段练习）（多选）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .    3．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，， M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【题组二 空间向量的坐标】 1．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 2．（22-23高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【题组三 空间向量的坐标运算】 1．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知向量,，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 4．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【题组四 空间平行垂直问题】 1．（2024河北）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．    2．（23-24黑龙江）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点. (1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标； (2)求证：. 3．（22-23高二上·重庆江北·期末）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥平面PCD； (2)求点C到平面MND的距离. 4．（2024新疆）如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，． (1)证明：； (2)若，求该圆柱的体积． 5．（23-24北京）如图，已知多面体ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.证明：平面. 【题组五 夹角、距离】 1．（23-24高二上·海南海口·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 3．（2024·重庆巴南）如图所示，直三棱柱中，，，棱．、分别是、 的中点． (1)求证：； (2)求直线与直线所成夹角的余弦值． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．    5．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 【题组六 空间向量解决探索性问题】 1．（2023·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．    (1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由； (2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标． 2．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 3．（23-24北京）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，． (1)若点F为DC的中点，求； (2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值． 4．（2023江苏徐州·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 点坐标的书写 【解题思路】 1.建立空间直角坐标系的原则 （1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． （2）充分利用几何图形的对称性． 2.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 3.空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 【例1-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由题意，是单位正交基底，，∴. （2）由题意，是单位正交基底，，∴. （3）由题意，是单位正交基底，，∴. （4）由题意，是单位正交基底，，∴. 【例1-2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵向量在基底下的坐标为，∴， 设向量在基底下的坐标是，则， ∴，解得，即.故选：D. 【例1-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【解析】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 【例1-4】（22-23高二·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为，，．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，，，，的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】以A为原点，分别以有向直线AB，AD，为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，    则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0， 因此A，B，C，D的坐标分别是，，，． 由于点，，，都在一个垂直于z轴的平面内，又， 所以这四点的竖坐标z都是5． 又过，，，分别作xAy平面的垂线，垂足分别A，B，C，D， 因此，，，的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同． 因此，，，的坐标分别是，，，． 【例1-5】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】四边形为正方向，， 由题意知：平面， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，， 则，，，，，. 【变式】 1．（2024湖北）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，为的中点， ∴， ∴坐标为.故选：D 2．（2024上海）如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【答案】，，，，，. 【解析】因为正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点所以，，，，， 3．（22-23高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.    (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)，，，(2)(3) 【解析】（1）   如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系． 设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即，设点，点在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则，到轴投影对应数值为，则，即， 设点，点在平面上则，由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即，且点在轴上，则. （2）是的重心，由三角形重心公式可得 . （3）设，且，则，， 又 ，即点B坐标为. 4．（23-24高二·江苏 ）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】已知平面平面，， 在平面取一向量，由于平面平面， 所以平面，又，所以，OA，OB两两垂直， 以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz， 如图所示 因为，，所以到z轴的距离为， 三棱柱的高为， 则，，，，，. 5．（23-24江西）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【解析】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点，如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 侧面，侧面，，又， 平面，，平面，平面，则， 设，则， 中，由余弦定理，， 中，由余弦定理，， 中，，， 解得或，为棱上异于的一点，所以，则有. 知识点二 空间向量的坐标 【解题思路】 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 【例2】（2024河北邯郸）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC 【变式】 1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 3．（22-23高二 ·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 知识点三 空间向量的坐标运算 【解题思路】 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定； (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，向量，所以.故选：C 【例3-2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 【例3-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 【例3-4】（2023高二·全国·专题练习）已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】①当“”时，， 设，则，无实数解，故不共面，能构成空间基底； ②设，则，即， 因为构成空间的一个基底，即不共面，故无实数解，即. 综上，“”是“构成空间的一个基底”的充分不必要条件. 故选：A 【变式】 1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，则等于（    ） A．-4 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】B 【解析】因为，，，所以，则， 故选：B 2．（2024江苏无锡）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】若三向量不能构成空间向量的一组基底，所以共面， 则存在使得，则，解得， 所以实数的值为1．故选：A． 3．（23-24 甘肃白银 ）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，所以. 故选：A 4．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 由与互相垂直，得，即， 所以. 故选：D 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【解析】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 6．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，满足，且，所以， 向量在向量上的投影向量为，则其模长为． 故选：D． 7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】由， 由，. 所以. 故选：D 知识点四 空间平行垂直问题 【解题思路】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直问题． 【例4-1】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．    (1)建立适当的坐标系并求点的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【解析】（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则． 设，，, ∵，∴， 解得，，，故点的坐标为．    （2）由（1）知，， ∵，∴． 【变式】 1.（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明： (1)； (2)不与平行； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）证明：设正方体的棱长为， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 所以，，，则， 又因为不在直线上，所以，. （2）证明：，，显然、不共线， 所以，不与平行. （3）证明：，， 则，所以，. 2．（2024福建莆田·阶段练习）在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别是，上的点，且. 求证：（1）平面平面； （2），. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】证明：（1）以三棱锥的顶点为原点，以､､所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系. 令，则，，，，，，. ∴，.故，∴. 又平面，∴平面.又平面， ∴平面平面. （2）∵，，. ∴，.∴，. 知识点五 夹角、距离 【解题思路】 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化夹角与距离问题． 【例5-1】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，在长方体中，，，点M在上，，N为的中点，求M，N两点间的距离．    【答案】 【解析】如图，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，， 因为N为的中点，， 所以，， 所以.    【例5-2】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为．    【变式】 1．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长． 【答案】， 【解析】在直三棱柱中，，， 以C为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 棱的中点，棱的中点， 所以. 2．（2024甘肃）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．    (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）以为原点，分别以射线､､为轴､轴､轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，则.    （2）由（1）知，， 所以； 3．（2024云南）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求． 【答案】 【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有，，，，，，，， 所以，，. 所以. 知识点六 空间向量解决探索性问题 【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，． (1)在上是否存在点，使得？ (2)在上是否存在点，使得平面？ 【答案】(1)存在 (2)存在 【解析】（1）直三棱柱中，，，，则、、 两两垂直 如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，．    （1）假设在AB上存在点D，使得， 则，其中，则，于是， 由于，且，所以，得， 所以在AB上存在点D，使得，且这时点D与点B重合． （2）假设在AB上存在点D，使得平面，则，其中， 则，． 又，，平面， 所以存在实数，使成立， ∴，，． 所以，所以在上存在点使得平面，且是的中点． 【变式】 1．（24-25高二下·全国·期末）在直三棱柱中，，分别为棱中点. (1)证明：平面； (2)若，且，则当为何值时，有？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【解析】（1）取的中点为，连接， 分别为的中点，结合题意得，且， 故四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. （2），取中点为，则有， 连接，由题意得底面，如图以为原点，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，， 则， ， 则， 得，由题意得， 即当时有. 2．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以．    3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，所有的棱长均为2，M是边的中点，则在棱上是否存在点N，使得与所成的夹角为？    【答案】不存在 【解析】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    由棱长都等于2，可得，，，， ， 假设存在点N在棱上，可以设， 则有，， ∴，,， ， ，即，解得， 而这与矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得与所成的夹角为. 【题组一 点坐标的书写】 1．（23-24高二下·四川·阶段练习）（多选）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4) B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3) C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5) D．两点间的距离为3 【答案】BCD 【解析】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误； 点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 关于原点的对称的点的坐标为，故C正确； 两点间的距离为，故D正确. 故选：BCD 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .    【答案】 【解析】依题意，，则， 则点，而点， 所以PD的中点M的坐标为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 【答案】 【解析】由向量在下的坐标为，则，设向量在下的坐标是，则， 则，解得， 所以向量在下的坐标是， 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【解析】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，， M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标 【答案】答案见解析 【解析】取中点为，连接， 因为，所以， 且，所以， 所以以A为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 因为,所以, 所以 . 【题组二 空间向量的坐标】 1．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【答案】(1)点，点，点C， (2)；；；． 【解析】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 2．（22-23高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）由已知， 则，， （2）, . 【题组三 空间向量的坐标运算】 1．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知向量,，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为向量,， 所以，所以A正确； ，， 所以，故B正确； ，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD 2．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，， 所以， ， 因为， 所以，解得， 故选：C 4．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 故， ，， ． 故选：A 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误； 故选：C 6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 7．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 【题组四 空间平行垂直问题】 1．（2024河北）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．    【答案】证明见解析 【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．    ∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四边形ABCD是矩形， ∴， ∴|PB|＝， ∴|PB|＝|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF， ∵|PE|＝， |CE|＝， ∴|PE|＝|CE|，又F为PC的中点，∴PC⊥EF． 2．（23-24黑龙江）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点. (1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标； (2)求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、. （2）证明：依题意可得、，则，， 所以，，所以. 3．（22-23高二上·重庆江北·期末）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥平面PCD； (2)求点C到平面MND的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD. （2）∵平面PCD，∴， 设点C到平面MND的距离为，， ，则有，解得. 故点C到平面MND的距离为 4．（2024新疆）如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，． (1)证明：； (2)若，求该圆柱的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1） 连结，可知 平面 平面 （2）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系 设圆柱的高为 可得 由题意得，解得 故圆柱的体积 5．（23-24北京）如图，已知多面体ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz． 由题意知各点坐标如下： ，，，，． 因此，，． 由，得． 由，得． 又因为， 所以平面． 【题组五 夹角、距离】 1．（23-24高二上·海南海口·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】如图所示，连接， 直线与都在平面内，所以直线与的交点， 即与平面的交点， 由为的中点，因为，可得，则， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，可得， 设点，可得，解得， 即点，所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1） 由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2） 因为，， 则，， 可得， 所以. 3．（2024·重庆巴南）如图所示，直三棱柱中，，，棱．、分别是、 的中点． (1)求证：； (2)求直线与直线所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，、分别是、的中点． 所以，，，，，，， 所以， 所以，即， 所以 （2）解：根据（1）得，，，， 所以，， 所以 所以直线与直线所成夹角的余弦值为. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．    【答案】 【解析】以点为坐标原点， 所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．   ， ， 由中点坐标公式可得， ， . 5．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以，，则. （2）解：依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. （3）证明：依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，所以，平面. 【题组六 空间向量解决探索性问题】 1．（2023·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．    (1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由； (2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标． 【答案】(1)是的中点 (2)， 【解析】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 因为是的中点，所以是的中点； （2）由题意，解得， 设， 由题意，， 则， 则， 则，解得或， 当时，，则， 当时，， 设，则， 所以，解得，则， 综上所述点的坐标为，.    2．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【答案】 【解析】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 3．（23-24北京）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，． (1)若点F为DC的中点，求； (2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以， 又，，所以． 而，，故， 因，平面，故平面. 以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 则，， 所以． （2）由（1）知，设， 而，所以， 所以，所以， 又， 因为，故， 所以，解得， 所以． 4．（2023江苏徐州·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）设，连接， 因为是正方形，所以是中点， 又因为是矩形，是线段的中点，所以,, 所以四边形为平行四边形，所以, 又平面，平面，所以平面； （2）正方形和矩形所在的平面互相垂直， 则可得两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，则， 因为点在线段上，设，其中， 则，从而点坐标为， 于是，而， 则由可知，即， 所以，解得，故的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$