精品解析：山东省青岛第十七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

青岛17中2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题学生版 一、单选题 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 3个都是篮球 B. 至少有1个是排球 C. 3个都是排球 D. 至少有1个是篮球 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（ ） A. 0.7 B. 0.42 C. 0.12 D. 0.46 5. 在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B. 为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 7. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 一组数据的方差为，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题 9. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 10. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 11. 如图，在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的有（ ） A. 直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值 B. 三棱锥D－BPC1的体积为定值 C. 异面直线C1P和CB1所成的角为定值 D. 直线CD和平面BPC1平行 三、填空题 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 13. 一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为________． 14. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 四、解答题 15. 如图，正方体中，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 16. 已知的内角的对边分别为为锐角，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． 17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青岛17中2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学试题学生版 一、单选题 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2. 从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 3个都是篮球 B. 至少有1个是排球 C. 3个都是排球 D. 至少有1个是篮球 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件， 3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件； 故选：D． 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ） A 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用线面平行判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（ ） A. 0.7 B. 0.42 C. 0.12 D. 0.46 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个事件的对立事件的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果. 【详解】设“甲地降雪”为事件A，“乙地降雪”为事件B, “甲乙两地都不降雪”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地都不降雪的概率为. 故选：B. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线定义得异直线与所成角即为与所成角，再由正方体性质可求解. 【详解】由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角， 由正方体结构特征可知为等边三角形， 因此与所成角为. 故选：C. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B. 为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据概率的概念可判断；对于B，根据抽样方法的理解可判断，对于C，根据中位数，众数的概念可判断；对于D，方差越小数据越稳定，可判断. 【详解】A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷6次骰子不一定能掷得一次数字5，故A错误； B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故B错误； C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确； D选项，根据方差越小数据越稳定，故D错误. 故选：C. 7. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 8. 一组数据的方差为，平均数为，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平均数与方差的公式推导即可. 【详解】设该组数据为，将这组数据中的每一个数都乘以2，则有，平均数为.又，则新数据的方差为， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了将一组数据中的每一个数进行同样的变化后均值与方差的变化情况,根据均值与方差的公式推导即可.属于基础题型. 二、多选题 9. 已知某省2023年各地市地区生产总值的占比如图所示，则根据图中关于该省2023年各地市地区生产总值占比的统计情况，下列结论正确的是（ ） A. A市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多 B. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 C. 图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为 D. 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据统计图及百分位数的定义一一判断即可. 【详解】由图中统计数据，可得市2023年地区生产总值比B市2023年地区生产总值多，故A正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故B正确； 因为，所以图中11个地市2023年地区生产总值占比的分位数为，故C错误； 若该省2024年各地市地区生产总值的增长率相等，则该省2024年各地市地区生产总值的占比不变，D正确. 故选：ABD 10. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的有（ ） A. 直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值 B. 三棱锥D－BPC1的体积为定值 C. 异面直线C1P和CB1所成的角为定值 D. 直线CD和平面BPC1平行 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，逐项判断即可. 【详解】选项A，由线面所成角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时∠CPO是变化的，故A错误. 选项B，三棱锥D－BPC1的体积等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1大小一定，∵P∈AD1，而AD1//平面BDC1 ∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离 ∴三棱锥D－BPC1的体积为定值，故B正确； 选项C，∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动， ∴CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P⊂平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C正确； 选项D，直线CD和平面ABC1D1平行，∴直线CD和平面BPC1平行，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 13. 一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是 ，则总体中的个体数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论 【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本． 由层中每个个体被抽到的概率都为 ，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是， 所以总体中的个体数为． 故答案为：. 14. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解. 【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为， 设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为， 则. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，正方体中，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先说明或其补角即为异面直线与所成角，进而可得出答案. 【小问1详解】 连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 所以或其补角即为异面直线与所成角平面角， 因为，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 16. 已知的内角的对边分别为为锐角，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 由，有． 又由，可得， 因为为锐角，所以； 【小问2详解】 由题意得，，得， 由余弦定理得， 可得． 17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【答案】（1），； （2）平均值81.5，中位数82； （3）114人. 【解析】 【分析】（1）先计算出乙样本中数据在的频率，从而求出，根据频率之和为1得到方程，求出； （2）中点值作代表，计算出甲样本数据的平均值估计值，再判断出乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，得到方程，求出； （3）计算出乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率，从而估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得. 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ； 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82. 【小问3详解】 乙样本中数学成绩在85分以上学生频率为， 由样本估计总体得（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 18. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，此时点是线段的中点且 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2）的所有可能取值为． 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． 【小问2详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$