精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

23级高一下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复平面内复数所对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　） A. 6,4,8 B. 6，6，6 C. 5，6，7 D. 4，6，8 4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，某圆柱侧面展开图斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知甲种杂交水稻近五年产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ） A. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B. 甲种样本方差大于乙种的样本方差 C. 甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D. 甲乙两种水稻近五年的总方差为 10. 函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（ ） A. B. 的一个对称中心为 C. 函数图像向右平移个单位可得图象 D. 是函数的一条对称轴 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 的值是_____. 13. 已知，，，则向量在向量上投影向量为______． 14. 三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点． （1）求证：； （2）求证：平面 16. 文明城市是反映城市整体文明水平综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 （1）求A； （2）求周长的最大值. 18. 已知函数 （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最值； （3）若，求的值． 19. 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. （1）试将写成三角形式； （2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； （3）计算：的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23级高一下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，共19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复平面内复数所对应的点为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数几何含义以及复数模长的定义计算即可. 【详解】因为复数所对应的点为，所以， 所以， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　） A. 6,4,8 B. 6，6，6 C. 5，6，7 D. 4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义即可求解. 【详解】某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400， 该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈， 则高一年级抽取人数是：186， 高二年级抽取人数是：184， 高三年级抽取人数是：188． 故选:A． 4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项正确； 对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误； 对于D选项，若，，则或，故D选项错误； 故选：B 5. 如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形ABCD中，，从而求出圆柱的高，底面半径，从而求出圆柱的体积. 【详解】由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为． 故选：B 6. 如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果. 详解】依题意得，， 在中，米，， 由正弦定理得，得米， 又 所以该山顶的海拔高度为米. 故选：B 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 8. 点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案. 【详解】如图，延长交于点， 设，则， 因为共线， 所以，解得， 所以，， 则， 由， 得，即， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ） A. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 B. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 C. 甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数 D. 甲乙两种水稻近五年的总方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算平均数判断A，根据方差判断B，计算百分位数判断C，计算总方差判断D. 【详解】对于A，，，正确； 对于B，因为甲、乙平均值都为，所以， ， 显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误； 对于C，，故甲种样本的分位数为， 乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确； 对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072， 故甲乙两种水稻近五年的总方差为 ， 正确. 故选：ACD 10. 函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（ ） A. B. 的一个对称中心为 C. 函数图像向右平移个单位可得图象 D. 是函数的一条对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C. 【详解】解：因为为该图像最高点， 所以， 又函数图象与轴交于点， 则， 又，所以， 则 ， 则， 所以， 由图可知，所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确； 对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误； 对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的 D. 若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B：分别取，的中点H，G，连接，，，；证明平面平面，从而得到点F的轨迹为线段GH.选项C：根据选项B可得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，从而可得到三棱锥的体积为定值.选项D：设为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为面， 从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥以为顶点的高. 【详解】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得， 且平面，平面，所以∥平面， 同理可得：∥平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面， 所以点F的轨迹为线段GH，故B正确； 对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面， 则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，平面平面，所以． 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点． 在四棱锥中，侧棱最长，且． 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得． 综上，可知长度的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 的值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据因为，得，再利用则向量在向量上的投影向量的定义代入计算得结果； 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 14. 三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解. 【详解】作出三棱锥P－ABC，如图所示：为的中点，分别为和的外心，过点分别作平面和平面的垂线，交点为，连接.根据题意可知：球心既过的外心垂直平面的垂线上，又在过的外心垂直平面的垂线上，所以三棱锥外接球的球心，设外接球半径， 由题意知：和均为边长为2的正三角形，所以，，所以即为二面角P－AB－C的平面角，因为二面角P－AB－C为120°，也即，因为和均为边长为2的正三角形，所以，，则， 所以，则， 在中，因为，，所以， 又因为，所以在中，， 即，所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点． （1）求证：； （2）求证：平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，，再由线面垂直的性质定理即可证明线线垂直； （2）利用面面平行判定定理先证明平面平面，再由面面平行的性质定理即可证明线面平行. 【小问1详解】 底面且平面， ， 又且，平面， 平面， 又平面， 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点可知，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）0.030 （2）84 （3）两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）利用频率分布直方图及百分位数公式即可求得第75百分位数； （3）将总体平均数代入总体方差公式即可求得总方差． 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1， 则， 解得． 【小问2详解】 结合（1）可得， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 设第75百分位数为， 则，解得， 故第75百分位数为84． 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故两组成绩的总平均数为， 设成绩在中10人的分数分别为，，，…，； 成绩在中20人的分数分别为，，，…，， 则由题意可得，，， 即，， 所以， 所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 （1）求A； （2）求周长的最大值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【小问1详解】 已知向量， 则， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 18. 已知函数 （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求在区间上的最值； （3）若，求的值． 【答案】（1）最小正周期；单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数性质即得； （2）根据正弦函数的性质即得； （3）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【小问1详解】 因为 ． 所以的最小正周期， ∵， ∴， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）知的单调递减区间为， ∵， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又， 故； 另解：∵， ∴， ∵在单调递增，在上单调递减， ∴当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 ∵， ∴， 由，得， ∴， ∴， ． 19. 任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. （1）试将写成三角形式； （2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； （3）计算：的值. 【答案】（1） （2）推导过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案. 【小问1详解】 由于，故， 则； 【小问2详解】 设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故； 【小问3详解】 首先证明：； 由于，则， 则，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$