精品解析：福建省福州第三中学2023-2024学年高一下学期数学期末考试数学试卷

福州三中2023-2024学年第二学期期末考试卷 高一数学 命题人：高一数学集备组 审卷人：高一数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1 已知复数z满足，则（ ） A. i B. C. D. 1 2. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球 5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数在区间上单调递减，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台的下底面边长为，侧棱与下底面所成角的大小为45°，则该正四棱台体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下图2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 B. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 C. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大 D. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元 10. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. A与相互独立 C. D. 11. 如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ） A. 当平面平面时，平面 B. 当A，C重合于点时，平面 C. 当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当A，C重合于点时，四棱锥的体积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则___________. 13. 某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 14. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上中线长为，求的面积． 17. 小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表： 游戏方式 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按颜色等比例分层抽样 获胜概率 （1）分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率； （2）若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？ 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 19. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，，平面平面，三棱锥的体积为. （1）求点E到平面ABCD的距离； （2）设G是棱CD上一点，若二面角正切值是3，求CG. 20. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州三中2023-2024学年第二学期期末考试卷 高一数学 命题人：高一数学集备组 审卷人：高一数学集备组 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. i B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的乘方运算即得结果. 【详解】由已知， 所以. 故选：D. 2. 已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出. 【详解】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 3. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】当时，取为平面内一条与l垂直直线，得，充分性不成立； 当时，因为，，所以．结合，所以，必要性成立．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 故选:B． 4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【解析】 【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，根据圆锥的表面积及弧长公式得到方程组，求出、，即可求出，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，解得（负值已舍去）， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：A 6. 某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布条形图可读出，，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知，，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即； 故选：C 7. 已知函数在区间上单调递减，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 8. 已知正四棱台的下底面边长为，侧棱与下底面所成角的大小为45°，则该正四棱台体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的大小计算出高，然后利用柱体、锥体和台体之间的关系求解. 【详解】如下图，延长棱台侧棱交于点，过作平面ABCD于G，连接 则. 又，所以，. 又棱台的高度不确定，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ） A. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 B. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 C. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大 D. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折线图直接可判断AB选项，根据极差与中位数的概念可判断CD. 【详解】A选项：2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增，A选项正确； B选项：2020年前三季度全国城镇居民人均消费支出比2019年前三季度全国城镇居民人均消费支出低，B选项错误； C选项：2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，C选项正确； D选项：将2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出从小到大排列为，，，，，，其中位数为，D选项错误； 故选：AC. 10. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ） A. B. A与相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确. 【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确； B选项，， 即，故， 故，A与相互独立，B正确； C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误； D选项， ， 因为，故，D正确. 故选：ABD 11. 如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ） A. 当平面平面时，平面 B. 当A，C重合于点时，平面 C. 当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当A，C重合于点时，四棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B， 利用反证法可以说明B错误；对于C，根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D，利用平面平面，可求得四棱锥的高，进而计算出体积. 【详解】由题意，将沿折起，且点在平面， 此时、、、四点共面，平面平面， 平面平面，当平面平面，， 由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 因为，所以，则可得， 即，同理可得， 当重合于点时，如上图，在中，， 又因为，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形，即，，， 故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误； 在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径， 则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，故C正确. ，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 平面平面，过点作， 因为是边长为的等边三角形，所以可得， 由面面垂直性质定理可知平面，即为四棱锥的高， 所以，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 【答案】25.1 【解析】 【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案 【详解】学校高三年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生的年龄方差为：， 当时，，， 故答案为：25.1. 14. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，再进行边角互化可得，再根据边角互化，结合三角函数性质可得范围. 【详解】由已知， 根据正弦定理的， 则， 再根据正弦定理可得， 即， 化简可得， 由为锐角三角形， 则，，则， 所以，即， 所以， 又，即， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数; （2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再根据复数的除法运算及实数的定义求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）先求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【小问1详解】 设，则， 为实数，，解得， 为实数， ，解得， ， ； 小问2详解】 由（1）可知，， 复数在复平面内对应的点在第一象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 16. 在中，角的对边分别为． （1）求的大小； （2）若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， 化简得． ； 小问2详解】 由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 17. 小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表： 游戏方式 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按颜色等比例分层抽样 获胜概率 （1）分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率； （2）若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？ 【答案】（1），， （2）①③② 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接可得解； （2）分别求出每种顺序下的概率，比较即可得出结论. 【小问1详解】 设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式3的样本空间为， 则，，， 设事件“抽到一张红色和一张红色”， 则事件的情况有（红桃，红桃）、（红桃，方块）、（方块，红桃）、（方块，方块）、（红桃，红桃）、（红桃，方块）、（方块，红桃）、（方块，方块），共种， 故，，； 【小问2详解】 若按①②③顺序连续两次获胜的概率； 若按①③②顺序连续两次获胜的概率； 所以按照①③②的顺序进行游戏，获胜概率大. 18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. （1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】（1）一区有420个，二区有200个 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【小问1详解】 由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； 【小问2详解】 频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 19. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，，平面平面，三棱锥的体积为. （1）求点E到平面ABCD的距离； （2）设G是棱CD上一点，若二面角的正切值是3，求CG. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，得到答案； （2）依题意根据二面角的定义作出平面角，根据正切值为3，求出. 【小问1详解】 设点到平面的距离为， 则 因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 【小问2详解】 如图，过作与的延长线交于点， 因为平面平面，且平面平面，平面 ， 所以平面， 由（1）知，， 又因为在等腰梯形中，， 所以由勾股定理可得，， 所以， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 所以， 过作，垂足为，作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面，平面 ， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 所以， 设， 因为，所以， 所以，， 又因为， , 所以， 所以，解得， 所以. 20. 点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. （1）若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； （2）若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； （3）若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【小问1详解】 如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. 【小问2详解】 如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. 【小问3详解】 如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$