2.7一元二次方程的解法大题专练（十大类型培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.7一元二次方程的解法大题专练（十大类型培优提升） 题型一、直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y+4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可； （2）先方程两边都除以2，再直接开方； （3）先把﹣49移项到方程右边，再直接开方； （4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【解析】（1）x﹣2＝±， ∴，x2＝2， （2）（x﹣3）2＝36， x﹣3＝±6， ∴x＝9或﹣3； （3）9（y+4）2＝49， ∴3（y+4）＝7，或3（y+4）＝﹣7 ∴y+4，或y+4， ∴y或； （4）2（2y﹣5）＝3（3y﹣1），或2（2y﹣5）＝﹣3（3y﹣1）， 4y﹣10＝9y﹣3，或4y﹣10＝﹣9y+3， ∴﹣5y＝7，13y＝13， ∴y或1． 【点睛】此题考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 2．用直接开平方法解下列方程： ①x2＝2 ②4x2﹣1＝0 ③（x﹣1）2﹣4＝0 ④12（3﹣x）2﹣48＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】①开方，即可得出方程的解； ②移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； ③移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； ④移项后系数化成1，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】①x2＝2 x x1，x2； ②4x2﹣1＝0， 4x2＝1， 2x＝±1， x1，x2； ③（x﹣1）2﹣4＝0， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1； ④12（3﹣x）2﹣48＝0， 12（3﹣x）2＝48， （3﹣x）2＝4， 3﹣x＝±2， x1＝1，x2＝5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 3．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y+4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形得到（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程； （3）先把方程变形得到（y+4）2，然后利用直接开平方法解方程； （4）先两边开方得到2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），然后解两个一次方程即可． 【解析】（1）x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）（x﹣3）2＝36， x﹣3＝±6， ∴x1＝9，x2＝﹣3； （3）9（y+4）2＝49， ∴（y+4）2， ∴y+4＝±， ∴y1，y2； （4）∵2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1）， ∴y1，y2＝1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣9＝0； （2）4（x﹣2）2﹣3＝0； （3）x2﹣6x+9＝7； （4）（x﹣2）2＝（2x+5）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先变形得到x2＝27，然后利用直接开平方法求解； （2）先变形得到（x﹣2）2，然后利用直接开平方法求解； （3）先变形得到，（x﹣3）2＝7，然后利用直接开平方法求解； （4）先两边开方得到x﹣2＝±（2x+5），然后解一元一次方程即可． 【解析】（1）x2＝27， x＝±3， 所以x1＝3，x2＝﹣3； （2）（x﹣2）2， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （3）（x﹣3）2＝7， x﹣3＝±， 所以x1＝3，x2＝3； （4）x﹣2＝±（2x+5）， x﹣2＝2x+5或x﹣2＝﹣（2x+5）， 所以x1＝﹣7，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 5．用直接开平方法解方程． （1）（2x）2＝8 （2）4x2﹣256＝0； （3）（x﹣1）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解析】（1）开方得：2x±2， 解得：x1，x2； （2）方程变形得：x2＝64， 解得：x1＝8，x2＝﹣8； （3）方程变形得：（x﹣1）2＝3， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x1＝1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 6．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4x2﹣7＝0； （3）3（1﹣x）2＝12； （4）（2x+6）2﹣8＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解析】（1）x2﹣81＝0，即x2＝81， 开方得：x＝±9； （2）4x2﹣7＝0，即x2， 开方得：x＝±； （3）3（1﹣x）2＝12，即（x﹣1）2＝4， 开方得：x﹣1＝±2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1； （4）（2x+6）2﹣8＝0，即（2x+6）2＝8， 开方得：2x+6＝±2， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 7．用直接开方法解方程． （1）9x2＝25 （2）2x2﹣98＝0 （3）3（x﹣2）2＝0 （4）3（x﹣1）2＝2.7． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 【解析】（1）开方得：3x＝5或3x＝﹣5， 解得：x1，x2； （2）方程变形得：x2＝49， 开方得：x1＝7，x2＝﹣7； （3）方程开方得：x﹣2＝0， 解得：x1＝x2＝2； （4）方程变形得：（x﹣1）2＝0.9， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 8．用直接开方法解下列方程： （1）x2﹣27＝0； （2）（x﹣2）2＝6； （3）3（x﹣3）2＝75； （4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0． 【答案】（1）x＝±9； （2）x1，x2； （3）x1＝8，x2＝﹣2； （4）y＝±5． 【分析】（1）（2）（3）利用直接开平方法求解可得； （4）先整理成y2＝25，再开方即可得． 【解析】（1）∵x2＝27， ∴x2＝81， 则x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵（x﹣2）2＝6， ∴x﹣2＝±， 则x1，x2； （3）∵3（x﹣3）2＝75， ∴（x﹣3）2＝25， 则x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5， 解得x1＝8，x2＝﹣2； （4）∵（y+4）（y﹣4）﹣9＝0， ∴y2﹣16﹣9＝0， ∴y2＝25， ∴y1＝5，y2＝﹣5． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型二、配方法 9．用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 【答案】（1）x1，x2；（2）x1，x2；（3）x1＝1，x2；（4）x1＝2，x2． 【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解析】（1）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （2））原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）原方程可化为x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2； （4）原方程可化为x2x＝﹣1， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝2，x2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．用配方法解方程 （1）x2﹣6x﹣15＝0 （2）3x2﹣2x﹣6＝0 （3）x2＝3﹣2x （4）（x+3）（x﹣1）＝12． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】（1）移项得：x2﹣6x＝15， 配方得：x2﹣6x+9＝15+9， （x﹣3）2＝24， 开方得：x﹣3＝±， x1＝3+2，x2＝3﹣2； （2）移先得：3x2﹣2x＝6， x2x＝2， 配方得：x2x+（）2＝2+（）2， （x）2， 开方得：x±， ，； （3）x2+2x＝3， 配方得：x2+2x+1＝3+1 （x+1）2＝4， 开方得：x＝﹣1±2， x1＝1，x2＝﹣3； （4）整理得：x2+2x＝15， 配方得：x2+2x+1＝15+1， （x+1）2＝16， 开方得：x＝﹣1±4， x1＝3，x2＝﹣5． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解的应用，解此题的关键是能正确配方，主要考查学生的计算能力． 11．配方法解下列方程： （1）4x2﹣4x﹣1＝0； （2）7x2﹣28x+7＝0． （3）2x2x﹣30＝0； （4）（2x﹣3）（2x﹣3）＝x2﹣6x+9． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1＝2，x2＝2； （3）x1＝3，x2； （4）x1＝0，x2＝2． 【分析】（1）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开配方法解方程； （2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开配方法解方程； （3）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开配方法解方程； （4）利用配方法得到（2x﹣3）2＝（x﹣3）2．然后利用直接开配方法解方程． 【解析】（1）x2﹣x， x2﹣x， （x）2， x±， 所以x1，x2； （2）x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （3）x2x＝15， x2x15， （x）2， x±， 所以x1＝3，x2； （4）（2x﹣3）2＝（x﹣3）2． 2x﹣3＝±（x﹣3） 所以x1＝0，x2＝2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 12．用配方法解方程： （1）2x2﹣4x﹣6＝0； （2）3x2﹣6x﹣1＝0； （3）6x2﹣x﹣12＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】各方程利用配方法求出解即可． 【解析】（1）方程整理得：x2﹣2x＝3， 配方得：x2﹣2x+1＝4，即（x﹣1）2＝4， 开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1； （2）方程整理得：x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 开方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1； （3）方程整理得：x2x＝2， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．使用“配方法”对一元二次方程进行配方 （1）x2+10x+16＝0； （2）4x2﹣x﹣9＝0； （3）3x2+6x﹣5＝0； （4）x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用配方法得到（x+5）2＝9，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用配方法得到（x+1）2，然后利用直接开平方法解方程； （4）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程． 【解析】（1）x2+10x＝﹣16， x2+10x+25＝9， （x+5）2＝9， x+5＝±3， 所以x1＝﹣8，x2＝﹣2； （2）x2x， x2x， （x）2， x±， 所以x1，x2； （3）x2+2x， x2+2x+11， （x+1）2， x+1＝±， 得x1＝﹣1，x2＝﹣1； （4）x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， x﹣1＝±， 得x1＝1，x2＝1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 14．用配方法解下列方程： （1）x2+6x＝﹣7； （2）x2﹣2x﹣3＝0； （3）x（x﹣4）＝2﹣8x； （4）4x2﹣8x+1＝0． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣3； （2）x1，x2； （3）x1＝﹣2，x2＝﹣2； （4）x1＝1，x2＝1． 【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程整理后，利用配方法求出解即可； （4）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【解析】（1）∵x2+6x＝﹣7， ∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2， 则x+3＝±． ∴x＝﹣3±， 即x1＝﹣3，x2＝﹣3； （2）配方得：x2﹣2x+（）2﹣（）2﹣3＝0， 即（x）2＝5． 两边开平方，得x±， ∴x1，x2； （3）去括号、移项、合并同类项，得x2+4x＝2， 配方，得x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6， 开方，得x+2＝±， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣2； （4）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+11，即（x﹣1）2． 开方得：x﹣1＝±． 解得：x1＝1，x2＝1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．用配方法解方程： （1）（2x﹣1）2＝5； （2）x2+6x+9＝2； （3）x2﹣2x+4＝﹣1． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1＝﹣3，x2＝﹣3； （3）无解． 【分析】（1）方程利用直角开平方法求出解即可； （2）方程变形后，开方即可求出解； （3）方程利用配方法求出解即可． 【解析】（1）方程（2x﹣1）2＝5， 开方得：2x﹣1＝±， 解得：x1，x2； （2）方程变形得：（x+3）2＝2， 开方得：x+3＝±， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3； （3）方程变形得：x2﹣2x＝﹣5， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣4，即（x﹣1）2＝﹣4， 此方程无解． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16．用配方法解下列方程： （1）x2﹣5x＝2； （2）x2+8x＝9； （3）x2+12x﹣15＝0； （4）x2x﹣4＝0． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1＝1，x2＝﹣9； （3）x1＝﹣6，x2＝﹣6； （4）x1，x2． 【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程移项后，利用配方法求出解即可； （4）方程移项后，利用配方法求出解即可． 【解析】（1）方程x2﹣5x＝2， 配方得：x2﹣5x+（）2＝2，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2； （2）方程x2+8x＝9， 配方得：x2+8x+16＝25，即（x+4）2＝25， 开方得：x+4＝±5， 解得：x1＝1，x2＝﹣9； （3）方程移项得：x2+12x＝15， 配方得：x2+12x+36＝51，即（x+6）2＝51， 开方得：x+6＝±， 解得：x1＝﹣6，x2＝﹣6； （4）方程移项得：x2x＝4， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x± 解得：x1，x2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型三、公式法 17．用公式法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x2﹣10x﹣8＝0； （3）y（2y+7）＝4； （4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6． 【答案】见试题解答内容 【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】（1）这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵△＝4+4＝8， ∴x1±； （2）这里a＝3，b＝﹣10，c＝﹣8， ∵△＝100+96＝196， ∴x， 解得：x1＝4，x2； （3）方程整理得：2y2+7y﹣4＝0， 这里a＝2，b＝7，c＝﹣4， ∵△＝49+32＝81， ∴x， 解得：x1，x2＝﹣4； （4）整理得：2x2﹣5x﹣12＝0， 这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣12， ∵△＝25+96＝124， ∴x． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 18．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把方程化成标准形式ax2+bx+c＝0，再求出a，b，c的值，判断出△的符号，再代入求根公式，进行计算即可． 【解析】（1）x（x+8）＝16， x2+8x﹣16＝0， a＝1，b＝8，c＝﹣16， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣16）＝128＞0， x， x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4； （2）x2﹣4x＝4， x2﹣4x﹣40； a，b＝﹣4，c＝﹣4， b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（﹣4）＝48＞0， x±， x1，x2； （3）2x2﹣2x+1＝0， a＝2，b＝﹣2，c＝1， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， x1＝x2． 【点睛】此题考查了用公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，要注意在求根时先判断△的符号． 19．用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0，然后把a＝1，b＝﹣2，＝﹣1代入求根公式计算即可； （2）把a＝1，b＝2（1），c＝2代入求根公式计算即可； （3）把a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m代入求根公式计算即可． 【解析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8 ∴x1±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）∵a＝1，b＝2（1），c＝2， ∴b2﹣4ac＝[2（1）]2﹣4×1×216， ∴x（1）±2， ∴x13，x21； （3）∵a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m＝4m2+1， ∴x， ∴x1，x2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x（b2﹣4ac≥0）． 20．用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1代入求根公式计算即可； （2）把a＝2，b＝﹣1，c代入求根公式计算即可； （3）把a＝2，b＝﹣7，c＝5代入求根公式计算即可； （4）把a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18代入求根公式计算即可； 【解析】（1）∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝16， ∴x， ∴x1＝1，x2． （2）∵a＝2，b＝﹣1，c， ∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（）＝5， ∴x， ∴x1，x2． （3）∵a＝2，b＝﹣7，c＝5， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9， ∴x， ∴x1，x2＝1． （4）∵a＝2，b＝﹣7，c＝﹣18， ∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）＝193， ∴x， ∴x1，x2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的求根公式：x（b2﹣4ac≥0）． 21．用公式法解下列方程： （1）3x2＝2﹣5x； （2）y2﹣4y＝1； （3）（x+1）（x﹣1）＝2x． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解． 【解析】（1）a＝3，b＝5，c＝﹣2 b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣2）＝25+24＝49＞0． x． 所以x1＝﹣2，x2． （2）原方程变形为：3y2﹣8y﹣2＝0． a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2． b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝64+24＝88． y． 所以y1，y2． （3）原方程变形x2﹣2x﹣1＝0． a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1． b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8+4＝12＞0． 所以x． 故x1，x2． 【点睛】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值． 22．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣3x﹣4＝0； （2）16x2+8x＝3； （3）x2+5＝3（x+2）． 【答案】（1）x1，x2． （2）x1，x2． （3）x1，x2． 【分析】（1）首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案； （2）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案． 【解答】（1）2x2﹣3x﹣4＝0； 解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41． ∴x， ∴x1，x2． （2）16x2+8x＝3； 解：将原方程化为一般形式，得16x2+8x﹣3＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×16×（﹣3）＝256， ∴x． ∴x1，x2． （3）x2+5＝3（x+2）． 解：将方程整理为一般形式，得x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13． ∴x． ∴x1，x2． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法﹣公式法，本题属于基础题型． 23．用公式法解关于x的方程： （1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1） （2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据公式法即可求出答案； （2）根据公式法即可求出答案． 【解析】（1）∵x2+mx+2＝mx2+3x， ∴（1﹣m）x2+（m﹣3）x+2＝0， ∴a＝1﹣m，b＝m﹣3，c＝2， ∴△＝（m﹣3）2﹣8（1﹣m） ＝m2+2m+1， ∴x ； ∴x或x＝1； （2）∵x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣4a，c＝3a2+2a﹣1， ∴△＝16a2﹣4（3a2+2a﹣1） ＝4（a2﹣2a+1） ＝4（a﹣1）2， ∴x ＝2a±|a﹣1| ∴x＝3a﹣1或x＝a+1； 【点睛】本题考查公式法，解题的关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型． 24．用公式法解方程： （1）x2﹣3x+2＝0； （2）x2﹣1＝2（x+1）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）； （4）x2+3x﹣4＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝1； （2）x1＝3，x2＝﹣1； （3）x1，x2； （4）x1＝1，x2＝﹣4． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）、（4）直接利用公式法求解即可． 【解析】（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， 则x， 即x1＝2，x2＝1； （2）整理，得：x2﹣2x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16， 则x， 即x1＝3，x2＝﹣1； （3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， 则x， 即x1，x2； （4）∵a＝1，b＝3，c＝﹣4， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25， 则x， ∴x1＝1，x2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型四、因式分解法 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 【答案】（1）x1＝0，x2＝2； （2）x1＝x2； （3）x1，x2； （4）x1，x2＝1． 【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】（1）x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； （2）4x2﹣4x+1＝0， （2x﹣1）2＝0， 解得x1＝x2； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0， （2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0， （2x﹣7）（2x﹣1）＝0， 2x﹣7＝0或2x﹣1＝0， x1，x2； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0， （x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0， （5x﹣1）（3﹣3x）＝0， 5x﹣1＝0或3﹣3x＝0， x1，x2＝1． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 26．用因式分解法解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）4y2﹣16＝0； （3）x（x﹣2）＝x﹣2； （4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】（1）x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， x＝0，x﹣6＝0， x1＝0，x2＝6； （2）4y2﹣16＝0， （2y+4）（2y﹣4）＝0， 2y+4＝0，2y﹣4＝0， y1＝﹣2，y2＝2； （3）x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1； （4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0， [3（x+1）+4（x﹣2）][3（x+1）﹣4（x﹣2）]＝0， 3（x+1）+4（x﹣2）＝0，3（x+1）﹣4（x﹣2）＝0， x1，x2＝11． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 27．用因式分解法解方程： （1）4x2＝2012x （2）x（x+2）﹣4x＝0 （3）（2y+1）＝4y+2 （4）x2+24x+144＝0 （5）4x2﹣121＝0 （6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）线移项，然后提公因式即可解答本题； （2）根据提公因式法可以解答此方程； （3）移项，然后合并同类项即可解答此方程； （4）根据完全平方公式可以解答此方程； （5）根据直接开平方法可以解答此方程； （6）根据平方差公式可以解答此方程． 【解答】解（1）4x2＝2012x 4x2﹣2012x＝0 4x（x﹣503）＝0 ∴4x＝0或x﹣503＝0， 解得，x1＝0，x2＝503； （2）x（x+2）﹣4x＝0 x[（x+2）﹣4]＝0 x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得，x1＝0，x2＝2； （3）（2y+1）＝4y+2 2y﹣4y＝1 ﹣2y＝1， y＝﹣0.5； （4）x2+24x+144＝0 （x+12）2＝0 ∴x1＝x2＝﹣12； （5）4x2﹣121＝0 4x2＝121 ∴； （6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． （x﹣4）2﹣（5﹣2x）2＝0 [（x﹣4）+（5﹣2x）][（x﹣4）﹣（5﹣2x）]＝0 （﹣x+1）（3x﹣9）＝0 ∴﹣x+1＝0，3x﹣9＝0， 解得，x1＝1，x2＝3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 28．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9＝0 ②（2x﹣3）2＝3（2x﹣3） ③x2﹣6x+9＝0 ④（x+5）（x﹣1）＝7． 【答案】见试题解答内容 【分析】①由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论； ②先移项，再提公因式就可以求出结论； ③直接由完全平方公式求解即可 ④先展开，再移项，转化为一般形式后由十字相乘法分解因式即可． 【解析】①分解因式，得 （x+2+3）（x+2﹣3）＝0， ∴x+5＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝﹣5，x2＝1； ②移项，得 （2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）＝0 提公因式，得 （2x﹣3）（2x﹣3﹣3）＝0， ∴2x﹣3＝0或2x﹣6＝0 ∴x1，x2＝3； ③由公式法，得 （x﹣3）2＝0， ∴x﹣3＝0 ∴x1＝x2＝3 （4）变形为： x2+4x﹣5＝7， 移项，得 x2+4x﹣5﹣7＝0， x2+4x﹣12＝0 ∴（x+6）（x﹣2）＝0， ∴x+6＝0或x﹣2＝0 ∴x1＝﹣6，x2＝2． 【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式及“十字”相乘法分解因式的方法解一元二次方程的运用，解答时灵活运用分解因式的方法是关键． 29．用因式分解法解下列方程： （1）16x2＝（x﹣2）2； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（m+2）（2m﹣5）＝﹣10． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先移项得到16x2﹣（x﹣2）2＝0，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【解析】（1）16x2﹣（x﹣2）2＝0， （4x+x﹣2）（4x﹣x+2）＝0， 4x+x﹣2＝0或4x﹣x+2＝0， 所以x1，x2； （2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， x﹣1＝0或3x+2＝0， 所以x1＝1，x2； （3）2m2﹣m＝0， m（2m﹣1）＝0， m＝0或2m﹣1＝0， 所以m1＝0，m2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 30．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） （5）x2﹣4x﹣12＝0 （6）x2﹣12x+35＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】各方程右边化为0，左边化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解析】（1）分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0， 可得x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3； （2）分解因式得：（3x﹣2）（3x+2）＝0， 可得3x﹣2＝0或3x+2＝0， 解得：x1，x2； （3）分解因式得：（3x﹣1+2）（3x﹣1﹣2）＝0， 可得3x+1＝0或3x﹣3＝0， 解得：x1，x2＝1； （4）方程移项得：5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）＝0， 分解因式得：（x﹣3）（4x﹣1）＝0， 解得：x1＝3，x2； （5）分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0， 可得x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6； （6）分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0， 可得x﹣5＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝5，x2＝7． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 31．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解； （3）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解； （4）根据等式的性质，可得方程的右边为零，根据因式分解，可得方程的解． 【解析】（1）因式分解，得 （x﹣1）[（x﹣1）﹣2]＝0，于是，得 x﹣1＝0，x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3； （2）因式分解，得 （3x+2）（3x﹣2）＝0，于是，得 3x+2＝0，3x﹣2＝0， 解得x1，x2； （3）因式分解，得 [（3x﹣1）+2][（3x﹣1）﹣2]＝0，于是，得 3x+1＝0，3x﹣3＝0， 解得x1，x2＝1； （4）移项，得 5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）＝0 因式分解，得 （x﹣3）[5x﹣（x+1）]＝0，于是，得 x﹣3＝0，4x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解解法一元二次方程的关键是对方程因式分解将次转化成两个一元一次方程． 32．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣3）2＝3﹣x （2）（x+3）2＝（2x﹣5）2 （3）（3x﹣1）（x﹣1）＝（4x+1）（x﹣1） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程右边的整体移到左边，提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程右边的整体移到左边，提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解析】（1）方程变形得：（x﹣3）2+（x﹣3）＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣2）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝3，x2＝2； （2）开方得：x+3＝2x﹣5或x+3＝﹣2x+5， 解得：x1＝8，x2； （3）方程移项得：（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）＝0， 分解因式得：（x﹣1）（﹣x﹣2）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 题型五、用指定的方法解方程 33．按要求解下列方程： （1）（x+1）2＝9（直接开平方法） （2）x2+4x﹣1＝0（配方法） （3）3x2﹣5x+1＝0（公式法） （4）3y（y﹣1）＝2﹣2y（因式分解法） 【答案】见试题解答内容 【分析】按照指定的解方程的方法求解． 【解析】（1）x+1＝±3， ∴x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2+4x＝1， 则有x2+4x+4＝5， ∴（x+2）2＝5， ∴x+2＝±， 所以x1＝﹣2，x2＝﹣2． （3）a＝3，b＝﹣5，c＝1，则△＝（﹣5）2﹣4•3•1＝13， ∴x， ∴x1，x2． （4）3y（y﹣1）+2（y﹣1）＝0， （y﹣1）（3y+2）＝0， y﹣1＝0或3y+2＝0， ∴y1＝1，y2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几种常见得解法．若不作要求，应首选因式分解法；利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法． 34．解方程（1）2x2﹣4x﹣10＝0 （用配方法） （2）2x2+3x＝4（公式法） （3）（x﹣2）2＝2（x﹣2） （4） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）移常数项，化简系数，两边配上一次项系数一半的平方，再开平方即可； （2）移项，使等式右边为0，再利用公式法解题； （3）移项，可提公因式x﹣2，用因式分解法解题； （4）直接将二次三项式因式分解，而等式右边为0，用因式分解法解题． 【解析】（1）移项，两边同除2，得x2﹣2x＝5， 配方，得x2﹣2x+1＝6， 即（x﹣1）2＝6， 两边开平方，得x﹣1＝±， 即x1＝1，x1＝1； （2）移项，得2x2+3x﹣4＝0， △＝32﹣4×2×（﹣4）＝41， ∴x1，x2； （3）移项，得）（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0， 提公因式，得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0， 解得x1＝2，x2＝4； （4）因式分解，得（x﹣1）（x+2）＝0， 解得x1，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查了因式分解法，配方法，公式法解一元二次方程．关键是明确每一种方法的解题步骤，合理地选择解方程的方法． 35．按指定的方法解方程： （1）（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法）； （2）x2+4x﹣8＝0（配方法）； （3）（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法）； （4）3x2﹣8x+2＝0（公式法）． 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2； （2）x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2； （3）x1＝x2＝﹣3； （4）x1，x2． 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【解析】（1）∵（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法）， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）∵x2+4x﹣8＝0（配方法）， ∴x2+4x＝8， ∴x2+4x+4＝8+4， ∴（x+2）2＝12， ∴x+2＝±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2； （3）∵（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法）， ∴（x﹣2+5）2＝0， ∴（x+3）2＝0， ∴x1＝x2＝﹣3； （4）∵3x2﹣8x+2＝0（公式法）， ∴a＝3，b＝﹣8，c＝2， ∴b2﹣4ac＝64﹣4×3×2＝40＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型． 36．解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣25＝0（直接开平方法）； （2）2x2﹣4x﹣3＝0（配方法）； （3）3x2＝4x+1（公式法）； （4）（2y+3）2﹣2y﹣3＝0（因式分解法）． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣2； （2）x1＝1，x2＝1； （3）x1，x2； （4）x1，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，把二次项系数化为1，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）利用求根公式计算可得； （4）利用提公因式法进行因式分解，然后求解可得． 【解析】（1）（2x﹣1）2﹣25＝0， （2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5， ∴x1＝3，x2＝﹣2； （2）2x2﹣4x﹣3＝0， 2x2﹣4x＝3， x2﹣2x， ∴x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （3）3x2＝4x+1， 3x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）（2y+3）2﹣2y﹣3＝0， （2y+3）2﹣（2y+3）＝0， （2y+3）（2y+3﹣1）＝0， ∴2y+3＝0或2y+2＝0， ∴x1，x2＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 37．解下列方程（有要求的按要求的方法解） （1）x2﹣49＝0； （2）x2﹣6x+3＝0（配方法）； （3）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣7；（2），；（3），；（4），． 【分析】（1）将式子变形为x2＝49，再用直接开平方法进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）∵x2﹣49＝0， ∴x2＝49， ∴x1＝7，x2＝﹣7； （2）∵x2﹣6x+3＝0， ∴x2﹣6x＝﹣3， ∴x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6， ∴， ∴，； （3）∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24＞0， ∴， ∴，； （4）∵3x（2x+1）＝4x+2， ∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（3x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或3x﹣2＝0， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 38．用适当的方法解下列一元二次方程． （1）2（x﹣3）2＝8； （2）x2﹣4x﹣6＝0（用配方法）； （3）（x﹣3）2＝2（3﹣x）； （4）2x2+5x﹣1＝0（用公式法）． 【答案】（1）x1＝5，x2＝1； （2）； （3）x1＝3，x2＝1； （4）． 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用配方法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）利用公式法求解． 【解析】（1）2（x﹣3）2＝8， （x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， x1＝5，x2＝1； （2）x2﹣4x﹣6＝0， x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝6+4， （x﹣2）2＝10， ， ； （3）（x﹣3）2＝2（3﹣x）， （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+2）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （4）2x2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 39．用适当的方法解下列方程． （1）（x﹣1）2＝36； （2）x（3x﹣6）﹣5（3x﹣6）＝0； （3）x2﹣x﹣1＝0；（用配方法） （4）2x2+3x﹣1＝0．（用公式法） 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣5； （2）x1＝2，x2＝5； （3）x1，x2； （4）x1，x2． 【分析】（1）把方程两边开方得到x﹣1＝±6，然后解两个一次方程即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为3x﹣6＝0或x﹣5＝0，然后解两个一次方程即可； （3）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （4）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【解答】解；（1）（x﹣1）2＝36， x﹣1＝±6， 所以x1＝7，x2＝﹣5； （2）x（3x﹣6）﹣5（3x﹣6）＝0； （3x﹣6）（x﹣5）＝0， 3x﹣6＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝2，x2＝5； （3）x2﹣x﹣1＝0， x2﹣x＝1， x2﹣x， （x）2， x±， 所以x1，x2； （4）2x2+3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x， 所以x1，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法、配方法和公式法． 40．解方程： （1）2x2＝8； （2）x2﹣8x+1＝0（配方法）； （3）x2+2x＝3（公式法）； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2； （2）； （3）x1＝1，x2＝﹣3； （4）x1＝2，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）2x2＝8， 即x2＝4， 解得：x1＝2，x2＝﹣2； （2）x2﹣8x+1＝0，， ∴x2﹣8x+16＝15， ∴（x﹣4）2＝15， ∴， 解得：； （3）x2+2x＝3， ∴x2+2x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝4+12＝16， ∴， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型六、用合适的方法解方程 41．解下列方程 （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）x2+2x﹣3＝0（用配方法）； （3）3x2﹣4x﹣2＝1； （4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 【答案】（1）x1＝11，x2＝﹣1； （2）x1＝1，x2＝﹣3； （3）x1，x2； （4）x1＝3，x2． 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【解析】（1）（x﹣5）2＝36， x﹣5＝±6， ∴x1＝11，x2＝﹣1； （2）x2+2x+1＝3+1， （x+1）2＝4， x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （3）3x2﹣4x﹣3＝0， ∵△＝16+36＝52， ∴x， ∴x1，x2； （4）（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， （x﹣3）（5x﹣3）＝0， x﹣3＝0或5x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，解决本题的关键是选择适当的方法解方程． 42．用适当的方法解方程； （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （3）（x+1）（x﹣1）． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2）x1＝1，x2； （3）x1，x2． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先移项得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【解析】（1）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0，、 x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， x﹣1＝0或3x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2； （3）（x+1）（x﹣1）． 方程化为一般式为x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝12＞0， ∴x±， 所以x1，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法． 43．用适当的方法解方程 （1）x2+4x﹣5＝0； （2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0； （3）5（x+2）＝4x（x+2）； （4）x2+5＝﹣4x． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程左边利用平方差公式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程移项后提取公因式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （4）方程整理为一般形式后，计算出根的判别式小于0，得到此方程无解． 【解析】（1）分解因式得：（x﹣1）（x+5）＝0， 可得x﹣1＝0或x+5＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣5； （2）分解因式得：（2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）＝0， 解得：x1，x2＝9； （3）方程移项得：5（x+2）﹣4x（x+2）＝0， 分解因式得：（5﹣4x）（x+2）＝0， 解得：x1，x2＝﹣2； （4）方程整理得：x2+4x+5＝0， ∵Δ＝16﹣20＝﹣4＜0， ∴方程无解． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 44．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣8x＝20； （2）2x2﹣6x﹣1＝0： （3）； （4）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝﹣4． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程移项后，分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （4）将x﹣2看作一个整体，移项后，利用完全平方公式分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解析】（1）方程移项得：x2﹣8x﹣20＝0， 分解因式得：（x+2）（x﹣10）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝10； （2）这里a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1， ∵△＝36+8＝44， ∴x； （3）方程变形得：x2﹣4x﹣40， 这里a，b＝﹣4，c＝﹣4， ∵△＝16+32＝48， ∴x； （4）方程变形得：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）+4＝0， 分解因式得：（x﹣2﹣2）2＝0， 解得：x1＝x2＝4． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键． 45．用适当的方法解一元二次方程． （1）（x+4）2﹣（2x﹣1）2＝0 （2）（y﹣1）2+2（y﹣1）+1＝0 （3）（3x+2）2＝4（x﹣3）2 （4）（2t+3）2＝（t+3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）方程左边利用平方差公式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程左边利用完全平方公式分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （3）方程开方转化为两个一元一次方程来求解； （4）方程整理后，利用公式法求出解即可． 【解析】（1）分解因式得：（x+4+2x﹣1）（x+4﹣2x+1）＝0， 即（3x+3）（﹣x+5）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝5； （2）分解因式得：（y﹣1+1）2＝0， 解得：y1＝y2＝0； （3）开方得：3x+2＝2（x﹣3）或3x+2＝﹣2（x﹣3）， 解得：x1＝﹣8，x2＝0.8； （4）方程整理得：4t2+11t+6＝0， 这里a＝4，b＝11，c＝6， ∵△＝121﹣48＝73， ∴t， 解得：t1，t2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 46．用适当的方法解下列方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+2）2＝2x+4； （3）（x﹣1）（x+2）＝10； （4）25（x+3）2﹣16（x+2）2＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式变形后，利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （3）原式整理后，利用因式分解法求出解即可； （4）原式利用因式分解法求出解即可． 【解析】（1）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1＝1，x2； （2）方程变形得：（x+2）2﹣2（x+2）＝0， 分解因式得：（x+2）（x+2﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0； （3）方程整理得：x2+x﹣12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x+4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣4； （4）分解因式得：（5x+15+4x+8）（5x+15﹣4x﹣8）＝0， 解得：x1，x2＝﹣7． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 题型七 、用换元法解方程 47．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1，x2． 【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0， 整理，得（y+3）（y+1）＝0， 解得y1＝﹣3，y2＝﹣1． 当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3， 解得x1， 当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1， 解得x2． 综上所述，原方程的解为x1，x2； （2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴x＝±， 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为x1，x2． 【点睛】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 48．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 【答案】x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3． 【分析】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可． 【解析】（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0， 设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0， （y﹣6）（y﹣7）＝0， y﹣6＝0或y﹣7＝0， 解得，：y1＝6，y2＝7， 当 x2﹣2＝6 时，； 当 x2﹣2＝7 时，x＝±3， 所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3． 【点睛】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 49．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能 使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． 已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，然后解该方程即可． 【解析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27， 整理，得 16t2﹣9＝27， 所以t2． ∵t≥0， ∴t． ∴x2+y2的值是． 【点睛】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 50．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （3）解方程x2﹣3|x|＝18． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程． （2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程． （3）设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，求出y的值，再解绝对值方程． 【解析】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：换元 降次； （2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣2． 由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2． 由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无解． 所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2． （3）原方程可化为|x|2﹣3|x|﹣18＝0， 设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣3． 由|x|＝6，得x1＝﹣6，x2＝6． 由|x|＝﹣3，此时方程无解． 所以原方程的解为x1＝﹣6，x2＝6． 【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便． 题型八、解方程过程出错性问题 51．下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解原方程可化为（2x）2﹣6×2x﹣1＝0…第一步 移项，得（2x）2﹣6×2x＝1…第二步 配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1…第三步 ∴（2x﹣3）2＝1…第四步 两边开平方，得2x﹣3＝±1…第五步 ∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1…第六步 ∴原方程的解为x1＝2，x2＝1…第七步 任务一：小明同学的解答过程是从第 　三　步开始出错的，错误的原因是 　方程的右边漏加了9　； 任务二：请直接写出该方程的正确解； 任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？ 【答案】任务一：三，方程的右边漏加了9；任务二：x1，x2；任务三：见解析． 【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算逐一判断即可解答． 【解析】任务一：小明同学的解答过程是从第三步开始出错的，错误的原因是方程的右边漏加了9． 故答案为：三；方程的右边漏加了9． 任务二：4x2﹣12x﹣1＝0， 4x2﹣12x＝1， 4x2﹣12x+9＝1+9， （2x﹣3）2＝10， 开方，得2x﹣3＝±， 即2x﹣3或2x﹣3， 解得x1，x2． 任务三：我不同意小刚同学的说法．得到的启示：我们要灵活运用配方法来解一元二次方程． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，实数的运算，解一元一次方程，一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 52．下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0 解：移项，得2x2﹣4x＝p．① 二次项系数化为1，得x2﹣2x．② 配方，得x2﹣2x+1．③ 即（x﹣1）2． ∵p＞0， ∴x﹣1＝±．④ ∴x1＝1，x1＝1．⑤ （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？ （2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 【答案】（1）等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式； （2）见解答． 【分析】（1）根据等式的基本性质求解即可； （2）先将常数项移到方程的右边，再二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解析】（1）第②步二次项系数化为1的依据是：等式两边同除同一个不为0的数，所得结果仍是等式； （2）从第③步开始出现的错误， 正确过程如下： 移项，得2x2﹣4x＝p， 二次项系数化为1，得x2﹣2x， 配方，得x2﹣2x+11， 即（x﹣1）21， ∵p＞0， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 【点睛】本题考查一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 53．下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，．⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】解题过程不正确，从第③步出现错误，正确过程见解答． 【分析】观察解方程过程，找出出错的步骤，写出正确的解答即可． 【解析】解题过程不正确，从第③步出现错误， 正确解答为： 移项得：2x2+4x＝1， 二次项系数化为1得：x2+2x， 配方得：x2+2x+1，即（x+1）2， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 54．甲、乙两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如框： 甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （　　） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （　　） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】×，×，x1＝2或x2＝2． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解析】 甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （×） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （×） 解答如下： 2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， （x﹣2）（2﹣x+2）＝0， 则x﹣2＝0或2﹣x+2＝0， 解得x1＝2或x2＝2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型九、新定义材料探究题 55．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． （1）若x⊕（﹣4）＝6，求x的值； （2）若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0的根的情况． 【答案】（1）x1＝﹣5，x2＝1； （2）关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0 有两个不相等的实数根． 【分析】（1）根据新定义列出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法求解即可； （2）先根据新定义列出关于m的取值范围，解之求出m的取值范围，利用根的判别式求解即可． 【解析】（1）根据运算定义，可得x⊕（﹣4）＝x×（x+4）+1＝6， 化简得：x2+4x﹣5＝0， 解得：x1＝﹣5，x2＝1． （2）根据题意得3⊕m＝3×（3﹣m）+1＝10﹣3m＜10， ∴﹣3m＜0， ∴m＞0， ∴Δ＝（﹣n）2+8m＝n2+8m＞0， ∴关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0 有两个不相等的实数根． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法． 56．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由． （2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】（1）a≠2时，该方程有两个不相等的实数根；a＝2时，该方程有两个相等的实数根； （2）a的值为3． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）用a表示出（1）中方程的两个实数根，再根据“倍根方程”的定义求出a的值即可． 【解析】（1）a≠2时，该方程有两个不相等的实数根； a＝2时，该方程有两个相等的实数根． 因为Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝（a﹣2）2， 则当a≠2时， Δ＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当a＝2时， Δ＝0， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程x2﹣ax+a﹣1＝0得， （x﹣1）（x﹣a+1）＝0， 解得x1＝1，x2＝a﹣1． 因为该方程是“倍根方程”， 则当1＝2（a﹣1）时， 解得a， 则a﹣1， 因为方程的根为整数， 故舍去． 当a﹣1＝2×1时， 解得a＝3． 则a﹣1＝2为整数，符合题意． 所以a的值为3． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的步骤是解题的关键． 57．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）9． 【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可； （2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可． 【解析】（1）该方程是“方正方程”，理由如下： 把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得， 左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0， ∵左边＝右边， ∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根， ∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”； （2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c， b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c， ＝c2+8c+25 ＝（c+4）2+9 ∵（c+4）2≥0， ∴（c+4）2+9≥9 ∴b2﹣2c的最小值为9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题． 题型十、配方法的应用 58．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【解析】（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0， ∴（a+3b）2+（b+1）2＝0， ∴a+3b＝0，b+1＝0， 解得b＝﹣1，a＝3， 则a﹣b＝4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， 则a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得，a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7； （3）∵x+y＝2， ∴y＝2﹣x， 则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5， ∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0， ∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0， 则x﹣1＝0，z+2＝0， 解得x＝1，y＝1，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣2． 【点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 59．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4， ∵（x+3）2≥0 ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是　﹣10　； （Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数； （Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可； （Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解； （Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解． 【解析】（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b， ∴a＝2，b＝﹣5， ∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10． 故答案为：﹣10； （Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x）2+1． ∵（x）2≥0， ∴x2+2x+7的最小值是1， ∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数； （Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（xk）2k2+7． ∵（xk）2≥0， ∴（xk）2k2+7的最小值是k2+7， ∴k2+7＝2， 解得k＝±2． 【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 60．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　a2﹣4a+4﹣4　＝　（a﹣2）2﹣4　．﹣a2+12a＝　﹣（a2﹣12a+36）+36　＝　﹣（a﹣6）2+36　． （2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由． （3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式配方即可得到结果； （2）利用非负数的性质确定出结果即可； （3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果． 【解析】（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36； 故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36； （2）存在，理由为： ∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4， ∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4； （3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9， 则x＝3时，S最大值为9． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． ( 61 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7一元二次方程的解法大题专练（十大类型培优提升） 题型一、直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y+4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 2．用直接开平方法解下列方程： ①x2＝2 ②4x2﹣1＝0 ③（x﹣1）2﹣4＝0 ④12（3﹣x）2﹣48＝0． 3．用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝3； （2）2（x﹣3）2＝72； （3）9（y+4）2﹣49＝0； （4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）x2﹣9＝0； （2）4（x﹣2）2﹣3＝0； （3）x2﹣6x+9＝7； （4）（x﹣2）2＝（2x+5）2． 5．用直接开平方法解方程． （1）（2x）2＝8 （2）4x2﹣256＝0； （3）（x﹣1）2． 6．用直接开平方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4x2﹣7＝0； （3）3（1﹣x）2＝12； （4）（2x+6）2﹣8＝0． 7．用直接开方法解方程． （1）9x2＝25 （2）2x2﹣98＝0 （3）3（x﹣2）2＝0 （4）3（x﹣1）2＝2.7． 8．用直接开方法解下列方程： （1）x2﹣27＝0； （2）（x﹣2）2＝6； （3）3（x﹣3）2＝75； （4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0． 题型二、配方法 9．用配方法解下列方程 （1）3x2﹣4x﹣2＝0； （2）6x2﹣2x﹣1＝0； （3）2x2+1＝3x； （4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5． 10．用配方法解方程 （1）x2﹣6x﹣15＝0 （2）3x2﹣2x﹣6＝0 （3）x2＝3﹣2x （4）（x+3）（x﹣1）＝12． 11．配方法解下列方程： （1）4x2﹣4x﹣1＝0； （2）7x2﹣28x+7＝0． （3）2x2x﹣30＝0； （4）（2x﹣3）（2x﹣3）＝x2﹣6x+9． 12．用配方法解方程： （1）2x2﹣4x﹣6＝0； （2）3x2﹣6x﹣1＝0； （3）6x2﹣x﹣12＝0． 13．使用“配方法”对一元二次方程进行配方 （1）x2+10x+16＝0； （2）4x2﹣x﹣9＝0； （3）3x2+6x﹣5＝0； （4）x2﹣2x﹣4＝0． 14．用配方法解下列方程： （1）x2+6x＝﹣7； （2）x2﹣2x﹣3＝0； （3）x（x﹣4）＝2﹣8x； （4）4x2﹣8x+1＝0． 15．用配方法解方程： （1）（2x﹣1）2＝5； （2）x2+6x+9＝2； （3）x2﹣2x+4＝﹣1． 16．用配方法解下列方程： （1）x2﹣5x＝2； （2）x2+8x＝9； （3）x2+12x﹣15＝0； （4）x2x﹣4＝0． 题型三、公式法 17．用公式法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）3x2﹣10x﹣8＝0； （3）y（2y+7）＝4； （4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6． 18．用公式法解下列方程： （1）x（x+8）＝16； （2）x2﹣4x＝4； （3）2x2﹣2x+1＝0． 19．用公式法解下列方程． （1）（x+1）（x+3）＝6x+4； （2）x2+2（1）x+20； （3）x2﹣（2m+1）x+m＝0． 20．用公式法解下列方程： （1）3x2﹣2x﹣1＝0； （2）； （3）2x2﹣7x+5＝0； （4） 2x2﹣7x﹣18＝0． 21．用公式法解下列方程： （1）3x2＝2﹣5x； （2）y2﹣4y＝1； （3）（x+1）（x﹣1）＝2x． 22．用公式法解下列方程： （1）2x2﹣3x﹣4＝0； （2）16x2+8x＝3； （3）x2+5＝3（x+2）． 23．用公式法解关于x的方程： （1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1） （2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0 24．用公式法解方程： （1）x2﹣3x+2＝0； （2）x2﹣1＝2（x+1）； （3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）； （4）x2+3x﹣4＝0． 题型四、因式分解法 25．用因式分解法解一元二次方程： （1）x2﹣2x＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0； （3）4（x﹣2）2﹣9＝0； （4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0． 26．用因式分解法解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）4y2﹣16＝0； （3）x（x﹣2）＝x﹣2； （4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0． 27．用因式分解法解方程： （1）4x2＝2012x （2）x（x+2）﹣4x＝0 （3）（2y+1）＝4y+2 （4）x2+24x+144＝0 （5）4x2﹣121＝0 （6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2． 28．用因式分解法解下列方程； ①（x+2）2﹣9＝0 ②（2x﹣3）2＝3（2x﹣3） ③x2﹣6x+9＝0 ④（x+5）（x﹣1）＝7． 29．用因式分解法解下列方程： （1）16x2＝（x﹣2）2； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x； （3）（m+2）（2m﹣5）＝﹣10． 30．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） （5）x2﹣4x﹣12＝0 （6）x2﹣12x+35＝0． 31．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0 （2）9x2﹣4＝0 （3）（3x﹣1）2﹣4＝0 （4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1） 32．用因式分解法解下列方程： （1）（x﹣3）2＝3﹣x （2）（x+3）2＝（2x﹣5）2 （3）（3x﹣1）（x﹣1）＝（4x+1）（x﹣1） 题型五、用指定的方法解方程 33．按要求解下列方程： （1）（x+1）2＝9（直接开平方法） （2）x2+4x﹣1＝0（配方法） （3）3x2﹣5x+1＝0（公式法） （4）3y（y﹣1）＝2﹣2y（因式分解法） 34．解方程（1）2x2﹣4x﹣10＝0 （用配方法） （2）2x2+3x＝4（公式法） （3）（x﹣2）2＝2（x﹣2） （4） 35．按指定的方法解方程： （1）（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法）； （2）x2+4x﹣8＝0（配方法）； （3）（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法）； （4）3x2﹣8x+2＝0（公式法）． 36．解下列方程： （1）（2x﹣1）2﹣25＝0（直接开平方法）； （2）2x2﹣4x﹣3＝0（配方法）； （3）3x2＝4x+1（公式法）； （4）（2y+3）2﹣2y﹣3＝0（因式分解法）． 37．解下列方程（有要求的按要求的方法解） （1）x2﹣49＝0； （2）x2﹣6x+3＝0（配方法）； （3）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）； （4）3x（2x+1）＝4x+2． 38．用适当的方法解下列一元二次方程． （1）2（x﹣3）2＝8； （2）x2﹣4x﹣6＝0（用配方法）； （3）（x﹣3）2＝2（3﹣x）； （4）2x2+5x﹣1＝0（用公式法）． 39．用适当的方法解下列方程． （1）（x﹣1）2＝36； （2）x（3x﹣6）﹣5（3x﹣6）＝0； （3）x2﹣x﹣1＝0；（用配方法） （4）2x2+3x﹣1＝0．（用公式法） 40．解方程： （1）2x2＝8； （2）x2﹣8x+1＝0（配方法）； （3）x2+2x＝3（公式法）； （4）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）． 题型六、用合适的方法解方程 41．解下列方程 （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）x2+2x﹣3＝0（用配方法）； （3）3x2﹣4x﹣2＝1； （4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0． 42．用适当的方法解方程； （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）； （3）（x+1）（x﹣1）． 43．用适当的方法解方程 （1）x2+4x﹣5＝0； （2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0； （3）5（x+2）＝4x（x+2）； （4）x2+5＝﹣4x． 44．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣8x＝20； （2）2x2﹣6x﹣1＝0： （3）； （4）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝﹣4． 45．用适当的方法解一元二次方程． （1）（x+4）2﹣（2x﹣1）2＝0 （2）（y﹣1）2+2（y﹣1）+1＝0 （3）（3x+2）2＝4（x﹣3）2 （4）（2t+3）2＝（t+3） 46．用适当的方法解下列方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+2）2＝2x+4； （3）（x﹣1）（x+2）＝10； （4）25（x+3）2﹣16（x+2）2＝0． 题型七 、用换元法解方程 47．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 48．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 49．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能 使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． 已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． 50．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①， 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． （3）解方程x2﹣3|x|＝18． 题型八、解方程过程出错性问题 51．下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2﹣12x﹣1＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解原方程可化为（2x）2﹣6×2x﹣1＝0…第一步 移项，得（2x）2﹣6×2x＝1…第二步 配方，得（2x）2﹣6×2x+32＝1…第三步 ∴（2x﹣3）2＝1…第四步 两边开平方，得2x﹣3＝±1…第五步 ∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣1…第六步 ∴原方程的解为x1＝2，x2＝1…第七步 任务一：小明同学的解答过程是从第 　 　步开始出错的，错误的原因是 　 　； 任务二：请直接写出该方程的正确解； 任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？ 52．下面是小聪同学用配方法解方程：2x2﹣4x﹣p＝0（p＞0）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2﹣4x﹣p＝0 解：移项，得2x2﹣4x＝p．① 二次项系数化为1，得x2﹣2x．② 配方，得x2﹣2x+1．③ 即（x﹣1）2． ∵p＞0， ∴x﹣1＝±．④ ∴x1＝1，x1＝1．⑤ （1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？ （2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 53．下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得2x2+4x＝1，① 二次项系数化为1，得，② 配方，得，，③ 由此可得，④ ，．⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 54．甲、乙两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如框： 甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （　　） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （　　） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误打“×”，并写出你的解答过程． 题型九、新定义材料探究题 55．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． （1）若x⊕（﹣4）＝6，求x的值； （2）若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0的根的情况． 56．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由． （2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 57．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”． （1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值． 题型十、配方法的应用 58．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值； （2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长； （3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值． 59．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4， ∵（x+3）2≥0 ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是　 　； （Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数； （Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值． 60．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题： （1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　 　＝　 　．﹣a2+12a＝　 　＝　 　． （2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由． （3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$