第五讲 充分条件与必要条件 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第五讲 充分条件与必要条件 知识点梳理： 1．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2．若p⇒q，但q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件． 3．若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件． 4．若p⇏q，且q⇏ p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 5．命题 （1）定义：可以判断真假的陈述句叫做命题． （2）真命题：判断为真的语句是真命题． （3）假命题：判断为真的语句是假命题． 6．逆命题 将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 重难点解析： 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件、必要条件的理解 （1）“推出” 对于命题p：x>2，q：x>1．显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． （2）若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． （3）若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）对充要条件的理解 ①p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． ②要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． （5）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 例题讲解： 题型1 充分条件、必要条件的判断 【例1】已知集合，，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【例2】已知、、，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【例3】设，，则“且”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 求充分条件、必要条件 【例4】若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为　　 A． B． C． D． 【例5】可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【例6】设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 题型3 根据充分条件或必要条件求参数的范围 【例7】若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） 【例8】已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　 　． 【例9】已知集合，B＝{x|﹣1＜x＜m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 　 　． 题型4 充要条件的证明 【例10】求证：是是等边三角形的充要条件．（这里，，是的三边边长） 【例11】设，，，求证：“关于的方程有一个根是1”的充要条件为“”． 【例12】已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 解题梳理： 1．充分、必要、充要条件的判断方法 （1）定义法 若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件． （2）集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件． （3）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立． 2．充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． （2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解． 3．充要条件的证明思路 （1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． （2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． 变式练习： 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一元二次方程ax2+2x+1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1 3．已知a∈R，则“”是“0≤a≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知p：{x|﹣2≤x≤10}，q：{x|4﹣m≤x≤4+m，m＞0}，若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．{4} B．{5} C．{6} D．{7} 5．若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 6．已知a∈R，集合A＝{2，|a+1|，a+3}，则“a＝0”是“1∈A”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．若x∈R，则“x≤﹣1”是“﹣2x2+x+3≤0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 11．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（　　） A．a≥b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 12．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是（　　） A． B． C． D． 13．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 14．若不等式|x﹣3|≤a成立的一个充分不必要条件是﹣1≤x≤7，则实数a的取值范围为 　 　． 15．已知p：2≤x＜3是q：x＞m的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 　 　． 16．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，m∈Z，则m取值可以是 　 　．（填一个值即可） 17．已知p：x＞3，q：x＞5，则p是q的 　 　．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 18．若p是q：|x|＞1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个p为 　 　． 19．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的 　 　条件（填充“充分不必要条件、必要不充分、充要条件、既不充分又不必要条件”） 20．已知集合A＝{x|x＜﹣1，或x＞2}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A“是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是 　 　． 21．已知集合，B＝{x|x2+2kx﹣3k2＜0}． （1）若k＝1，求集合A∩B； （2）若“x∈B”的充分不必要条件是“x∈A”，求实数k的取值范围． 22．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}． （1）若a＝4，求（∁RA）∪（∁RB）． （2）若B是A的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 充分条件、必要条件的判断 【例1】已知集合，，则“”是“”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】 【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解． 【解答】解：因为， ， 所以“”是“”的充要条件． 故选：． 【例2】已知、、，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】 【分析】结合等式的特点检验充分及必要性即可． 【解答】解：当时，一定成立； 当时，不一定成立，例如时． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 【例3】设，，则“且”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可． 【解答】解：①当且时，则成立，充分性成立， ②当，时，满足，但不满足且，必要性不成立， 且是的充分不必要条件， 故选：． 题型2 求充分条件、必要条件 【例4】若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【解答】解：不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有项符合题意． 故选：． 【例5】可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【解答】解：由题意，△， 解得， 而可以推出， 故选：． 【例6】设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　） A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 【答案】D 【分析】由|x﹣3|＜2可得1＜x＜5，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案． 【解答】解：因为|x﹣3|＜2， 所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合． 故选：D． 题型3 根据充分条件或必要条件求参数的范围 【例7】若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣3≤m≤4 B．﹣4≤m≤3 C．m≤﹣4或m≥3 D．m≤﹣3或m≥4 【答案】D 【分析】解不等式得到{x|m﹣1≤x≤m+1}⊆{x|x≤﹣2或x≥3}，得到m﹣1≥3或m+1≤﹣2，解得答案． 【解答】解：不等式x2﹣x﹣6≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}， 故{x|m﹣1≤x≤m+1}⊆{x|x≤﹣2或x≥3}，故m﹣1≥3或m+1≤﹣2， 解得m≥4或m≤﹣3． 故选：D． 【例8】已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　{m|}　． 【答案】{m|}． 【分析】解出p，q的范围，并设A＝{x|x∈p}、B＝{x|x∈q}，根据q是p的必要不充分条件，得出A⫋B，根据集合包含关系即可得出． 【解答】解：解x2﹣8x+15＜0可得3＜x＜5，即p：3＜x＜5， 因为m＞0，所以5m＞2m，解（x﹣2m）（x﹣5m）＜0可得2m＜x＜5m， 即q：2m＜x＜5m． 设A＝{x|x∈p}＝{x|3＜x＜5}，B＝{x|x∈q}＝{x|2m＜x＜5m，m＞0}， 因为若q是p的必要不充分条件，所以A⫋B， 所以有，且不能同时取等号，所以． 故答案为：{m|}． 【例9】已知集合，B＝{x|﹣1＜x＜m+2}，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 　m＞1　． 【答案】m＞1． 【分析】先化简集合A，由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B，再列不等式求出m的范围． 【解答】解：由题意，可得A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}， B＝{x|﹣1＜x＜m+2}， 由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A⫋B， 则3＜m+2，所以m＞1， 所以m的取值范围为m＞1． 故答案为：m＞1． 题型4 充要条件的证明 【例10】求证：是是等边三角形的充要条件．（这里，，是的三边边长） 【答案】见解析． 【分析】根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可证出所求结论． 【解答】证明：充分性，由，可得， 移项整理，得，则，可得是等边三角形， 必要性，由为等边三角形，得，所以． 综上所述，是是等边三角形的充要条件． 【例11】设，，，求证：“关于的方程有一个根是1”的充要条件为“”． 【答案】证明见解析． 【分析】先证必要性，即由，判断1是否为方程的根，再证充分性，代入方程即可． 【解答】证明：充分性：若，则， 由，得， 即， 得，或． 即是一元二次方程的一个根； 必要性：若是方程的一个根，则． 故关于的方程有一个根是1的充要条件是． 【例12】已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论． 【解答】解：充分性： 若，则成立． 必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 综上：成立的充要条件是． 变式练习： 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出A⊆B时对应a的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：当a＝3时，A＝{1，a}＝{1，3}＝B，满足A⊆B． 若A⊆B，则a＝3或a＝1， ∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 故选：A． 2．一元二次方程ax2+2x+1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1 【答案】C 【分析】求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解． 【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1＝0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2＝＜0，即a＜0， 而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣1 故选：C． 3．已知a∈R，则“”是“0≤a≤1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式先求出a的范围，然后结合充分及必要性即可判断． 【解答】解：由可得0＜a≤1， 故”是“0≤a≤1”的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知p：{x|﹣2≤x≤10}，q：{x|4﹣m≤x≤4+m，m＞0}，若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．{4} B．{5} C．{6} D．{7} 【答案】C 【分析】根据p是q的充要条件，可得：，解得m即可得出． 【解答】解：∵p是q的充要条件， ∴，解得m＝6． 则实数m的取值范围是{6}， 故选：C． 5．若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】C 【分析】举反例判断充分及必要性可得结论． 【解答】解：由3＞﹣4，得不出32＞（﹣4）2， 所以“x＞y”是“x2＞y2”的不充分条件， 又（﹣3）2＞22，得不出﹣3＞2， 所以“x＞y”是“x2＞y2”的不必要条件． 故选：C． 6．已知a∈R，集合A＝{2，|a+1|，a+3}，则“a＝0”是“1∈A”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由已知结合元素与集合关系求出a，然后判断充分必要条件即可判断． 【解答】解：若1∈A，则|a+1|＝1或a+3＝1，所以a＝﹣2，或a＝0， 当a＝﹣2时，a+3＝|a+1|＝1，不满足集合中元素的互异性， 当a＝0时，A＝{2，1，3}， 由1∈A，可得a＝0；当a＝0时，显然1∈A也成立． 故选：C． 7．若x∈R，则“x≤﹣1”是“﹣2x2+x+3≤0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，求出﹣2x2+x+3≤0的解集，结合充分必要条件的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，对于﹣2x2+x+3≤0，解可得x≤﹣1或x≥， 若x≤﹣1，必有﹣2x2+x+3≤0， 反之，若﹣2x2+x+3≤0，不一定有x≤﹣1， 即“x≤﹣1”是“﹣2x2+x+3≤0”的充分不必要条件． 故选：A． 8．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的概念分析即可． 【解答】解：由题意“工欲善其事，必先利其器．”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良， 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具， 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿， 综上，“利其器”是“善其事”的必要不充分条件． 故选：B． 9．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”不一定能推出“学好数学”，必要性不成立， 故“学好数学”是“成人”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 10．若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件为（　　） A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0 【答案】A 【分析】根据题意，x2＜1等价于﹣1＜x＜1，若所求必要条件对应的范围为A，则（﹣1，1）⫋A，由此判断即可得到本题的答案． 【解答】解：不等式x2＜1等价于﹣1＜x＜1， 使“x2＜1”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为A，则（﹣1，1）是A的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 11．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（　　） A．a≥b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 【答案】A 【分析】对于选项A：a≥b+1可得出a＞b；而a＞b得不出a≥b+1，可举反例说明，从而得出A正确；对于选项B，C，都可说明不是a＞b的充分条件，从而判断选项B，C都错误；对于选项D，显然可判断是a＞b的充要条件，从而判断D错误． 【解答】解：∵a≥b+1＞b， ∴a＞b； 反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5，4＜3.5+1，即a＞b得不出a≥b+1， ∴a≥b+1是a＞b的充分不必要条件，故A正确； a＞b﹣1得不出a＞b，比如a＝3，b＝3.5，∴a＞b﹣1不是a＞b的充分条件，故B错误； a2＞b2得不出a＞b，比如，a＝﹣3，b＝﹣2，∴a2＞b2不是a＞b的充分条件，故C错误； a3＞b3时可得出a＞b，而a＞b可得出a3＞b3，∴a3＞b3是a＞b的充要条件，故D错误． 故选：A． 12．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的充要条件，结合选项得出结论． 【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×m≥0， 解得m≤， 而m≤可以推出m＜． 故选：A． 13．集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣2，2] D．（2，+∞） 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义求解． 【解答】解：由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，+∞）． 故选：B． 14．若不等式|x﹣3|≤a成立的一个充分不必要条件是﹣1≤x≤7，则实数a的取值范围为 　（4，+∞）　． 【答案】（4，+∞）． 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可． 【解答】解：由|x﹣3|≤a⇒3﹣a≤x≤3+a， 因为不等式|x﹣3|≤a成立的一个充分不必要条件是﹣1≤x≤7， 所以有，等号不同时成立，a≥4， 当a＝4时，﹣1≤x≤7是不等式|x﹣3|≤a成立的充要条件，不符合题意， 所以a＞4，实数a的取值范围为（4，+∞）． 故答案为：（4，+∞）． 15．已知p：2≤x＜3是q：x＞m的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 　（﹣∞，2）　． 【答案】（﹣∞，2）． 【分析】根据题意，利用充分、必要条件的定义与性质加以计算，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意，若p：2≤x＜3是q：x＞m的充分不必要条件， 则集合{x|2≤x＜3}是集合{x|x＞m}的真子集，可得m＜2， 所以实数m的取值范围为（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）． 16．若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，m∈Z，则m取值可以是 　3（答案不唯一）　．（填一个值即可） 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义，算出整数m的取值范围，即可得到本题的答案． 【解答】解：若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件， 则（m，+∞）⊂（2，+∞），可知m＞2，结合m∈Z，可知m是大于等于3的整数． 故答案为：3（答案不唯一）． 17．已知p：x＞3，q：x＞5，则p是q的 　必要不充分条件　．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件． 【分析】根据题意利用充要条件的定义，结合不等式的性质对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解答】解：当x＞3时，不能推出x＞5，充分性不成立； 当x＞5时，可以得到x＞3，必要性成立． 故p是q的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件． 18．若p是q：|x|＞1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个p为 　x＞2　． 【答案】x＞2． 【分析】先解出|x|＞1的解集即可求出条件q． 【解答】解：因为|x|＞1，所以x＞1或x＜﹣1，则p：x＞2是q的一个充分不必要条件． 故答案为：x＞2． 19．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的 　必要不充分　条件（填充“充分不必要条件、必要不充分、充要条件、既不充分又不必要条件”） 【答案】必要不充分． 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案． 【解答】解：因为或或， a2+b2＝0⇒a＝b＝0， 所以“ab＝0”是“a2+b2＝0”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 20．已知集合A＝{x|x＜﹣1，或x＞2}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，若“x∈A“是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是 　{a|a＜﹣4或a＞1}　． 【答案】{a|a＜﹣4或a＞1}． 【分析】由题意可得B⊆A，对集合B分B＝∅和B≠∅两种情况，从而求出a的取值范围． 【解答】解：因为“x∈A”是x∈B”的必要条件，所以B⊆A， 当B＝∅时，只需2a＞a+3，即a＞3， 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或， 解得a＜﹣4或1＜a≤3， 综上可得，实数a的取值范围为{a|a＜﹣4或a＞1}， 故答案为：{a|a＜﹣4或a＞1}． 21．已知集合，B＝{x|x2+2kx﹣3k2＜0}． （1）若k＝1，求集合A∩B； （2）若“x∈B”的充分不必要条件是“x∈A”，求实数k的取值范围． 【答案】（1）{x|﹣1＜x＜1}； （2）（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 【分析】（1）根据不等式的解法，求得A＝{x|﹣1＜x≤3}和B＝{x|﹣3＜x＜1}，结合集合交集的运算，即可求解； （2）根据题意，分类讨论求得集合B，结合“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，即集合A是B的真子集，列出不等式组，即可求解． 【解答】（1）解：由不等式，即，解得﹣1＜x≤3，即A＝{x|﹣1＜x≤3}， 当k＝1时，集合B＝{x|x2+2x﹣3＜0}， 又由x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，所以B＝{x|﹣3＜x＜1}， 所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}． （2）解：由（1）知A＝{x|﹣1＜x≤3}， 又由x2+2kx﹣3k2＜0，可得（x+3k）（x﹣k）＜0， 当k＞0时，解得﹣3k＜x＜k，即集合B＝{x|﹣3k＜x＜k}； 当k＝0时，集合B＝∅； 当k＜0时，解得k＜x＜﹣3k，即集合B＝{x|k＜x＜﹣3k}， 因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，即集合A是B的真子集， 所以当k＞0时，满足，解得k＞3； 当k＝0时，不符合题意； 当k＜0时，满足，解得k＜﹣1， 综上可得，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 22．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜7}，B＝{x|a≤x≤3a﹣2}． （1）若a＝4，求（∁RA）∪（∁RB）． （2）若B是A的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（﹣∞，4）∪[7，+∞）； （2）（﹣∞，3）． 【分析】（1）根据集合间的运算直接计算； （2）根据充分必要性可得B⊆A，分情况列不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）由a＝4，得B＝{x|4≤x≤10}＝[4，10]， 则∁RB＝（﹣∞，4）∪（10，+∞）， 又A＝{x|﹣2＜x＜7}＝（﹣2，7）， 则∁RA＝（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞）， 所以（∁RA）∪（∁RB）＝（﹣∞，4）∪[7，+∞）； （2）由B是A的充分不必要条件， 得B⊆A， 当B＝∅时，a＞3a﹣2，解得a＜1， 当B≠∅时，，解得1≤a＜3， 综上所述a＜3， 即a的取值范围为a＜3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$