第13讲 相似三角形的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第13讲 相似三角形的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【例1】（2023秋•利辛县期末）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•宿松县校级期末）如图，、交于点，且，，，当 　时，与相似． 【变式2】（2021秋•裕安区校级期中）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 【变式3】（2022秋•利辛县期末）已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且． 求证：（1）； （2）． 【变式4】（2022秋•定远县校级月考）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点、分别从点、同时出发问经过　　秒时，与相似． 【变式5】（2023秋•包河区期末）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 经典题型汇编 题型一、证明两三角形相似 1．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    6．（九年级上·安徽合肥·期中）如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各组条件中，不能判定与相似的是（    ） A．， B．， C．， D． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（        ）对．    A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，①；②；③；④．可以证明的有（    ）个选项． A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，下列条件不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，若，则添加下列条件不能判定和相似的为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．（19-20九年级上·安徽·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A= ∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，则添加的条件可以是 . 12．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 13．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    16．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 17．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，与中，，；证明：．    19．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 20．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 21．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    22．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 23．（20-21九年级上·安徽蚌埠·期中）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．   探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似三角形的判定 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【例1】（2023秋•利辛县期末）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【解答】解：在三角形纸片中，，，． 、，对应边，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，对应边，即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确； 、，对应边，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、， ，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 【变式1】（2021秋•宿松县校级期末）如图，、交于点，且，，，当　54或　时，与相似． 【分析】分两种情况根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：，，，， ， 即，解得； 若， ， 即， 解得， 综上所述的长为54或． 故答案为：54或． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 【变式2】（2021秋•裕安区校级期中）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 【分析】已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定． 【解答】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或是的平分线； ②； 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键． 【变式3】（2022秋•利辛县期末）已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且． 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行线分线段成比例证明即可； （2）利用两边成比例且夹角相等来证明即可． 【解答】证明：（1）， ， ； （2）， ， 由（1）得：， ． ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 【变式4】（2022秋•定远县校级月考）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点、分别从点、同时出发问经过　1或2.5　秒时，与相似． 【分析】设经过秒后，与相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可． 【解答】解：设经过秒后，与相似，则有，，， 当时，有， 即， 解得 当时，有，即， 解得． 所以，经过或时，与相似． 解法二：设后，与相似，则有，，， 分两种情况： （1）当与对应时，有，即，解得 （2）当与对应时，有，即，解得 所以经过或时，以、、三点为顶点的三角形与相似， 故答案为：1或2.5 【点评】此题考查相似三角形的判定，本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来． 【变式5】（2023秋•包河区期末）如图，矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含、两点），过点作分别交射线、射线于点、． （1）求证：； （2）连接，若，且为中点，求的值； （3）若，移动点，使与相似，直接写出的值． 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交与点，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ，且， ； （2）解：， ， ， ， ， 设交与点， 矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：矩形， ，，， ①当时，则：， 点为的中点， ， ， ，即：， 设，则：， ， ， ， ； ②当时，则：， ， 设，，则：，， ， ， 解得：， 由①知：， ， ， ， 或； 综上：或或． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、证明两三角形相似 1．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ． 【答案】 【分析】根据网格寻找相等的角度以及成比例的线段，即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，E、分别为矩形的边、上的点，，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①④ 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，推出，由此证明①和③一定相似． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即①和③一定相似， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，是四边形的对角线，已知，那么补充下列条件后仍不能判定和相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理依次排除选项． 【详解】解：A、由平分可知：，所以能判定和相似，故不符合题意； B、由可知：，所以能判定和相似，故不符合题意； C、由可知，且，所以能判定和相似，故不符合题意； D、由但不是对应边，所以不能判定和相似，故符合题意； 故选D． 5．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 6．（九年级上·安徽合肥·期中）如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 【答案】3或 【详解】试题分析：在Rt△ABC和Rt△ACD中，进行分类讨论即可． 试题解析：在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2 ∴CD＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ∴ （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ∴ 答：当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似． 考点：相似三角形的判定． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，不符合题意； B、∵，，∴，不符合题意； C、，，不能得出，符合题意； D、∵，，∴，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列各组条件中，不能判定与相似的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断． 【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意； B、，，不能判定，本选项符合题意； C、，，能判定，本选项不符合题意； D、，能判定，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，垂足为D，则图中相似三角形共有（        ）对．    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】可证得，，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵, ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴共有3对相似三角形． 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定与相似的是（    ） A．，，，，， B．，，，， C．，， D．，，，，， 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直接根据定理内容逐一判定即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得 故A不符合题意； ∵，但与不是夹角， ∴不能判定与相似， 故B符合题意； ∵，， ∴ ∴， 根据两角分别对应相等的两个三角形相似可得 故C不符合题意； ∵， ∴根据三边成比例的两个三角形相似可得 故D不符合题意； 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，①；②；③；④．可以证明的有（    ）个选项． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似．结合相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，即可选择． 【详解】添加①中条件后，两个三角形的两个对应角相等，可证明； 添加②中条件后，两个三角形的两个对应角相等，可证明； 添加③中条件后，两边对应成比例，但其夹角不一定相等，不能证明； 添加④中条件后， 即 两个三角形的两个对应角相等，可证明 所以可以证明△ABC∼△ADE有①、②、④ 故选：B 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D和点E分别是和上一点，下列条件不能判定和相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意； C、因为，，所以，故该选项不符合题意； D、因为，，所以，故该选项不符合题意； 故选：B 7．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，若，则添加下列条件不能判定和相似的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是先证明，再根据①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似分别判断． 【详解】解：∵， ∴，即， A、若，满足两组对应边成比例且夹角相等，可判定，故不合题意； B、若，满足两组对应角相等，可判定，故不合题意； C、若，只满足两组对应边成比例，但不满足夹角相等，不能判定，故符合题意； D、若，满足两组对应角相等，可判定，故不合题意； 故选：C． 8．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：A、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； B、与不一定相等，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意； C、，且，能判定两个三角形相似，故本选项不符合题意； D、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：B 9．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意； B、剪开得到三角形与原三角形的两组对应边成比例且夹角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意； C、由同位角相等、两直线平行可得平行线，故可判定两三角形相似，故本选项不符合题意． D、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似，故本选项符合题意． 故选：D． 10．（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，， ∴，故③错误； 设，则， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题 11．（19-20九年级上·安徽·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A= ∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，则添加的条件可以是 . 【答案】∠B=∠DEF（或∠ACB=∠F或AB∥DE或AC∥DF或，任写一个即可） 【分析】由相似三角形的判定定理结合已知条件添加一个条件即可，答案不唯一. 【详解】已知一组对应角相等，可根据两组对应角相等判定三角形相似，可添加∠B=∠DEF或∠ACB=∠F； 或者添加平行条件AB∥DE得∠B=∠DEF，添加AC∥DF得∠ACB=∠F； 还可根据两组对边成比例且夹角相等判定三角形相似，添加， 故答案为：∠B=∠DEF（或∠ACB=∠F或AB∥DE或AC∥DF或，任写一个即可）. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理，结合已知条件进行添加是解题的关键. 12．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 【答案】 【分析】直接根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵，，，,， ∴，即，， 解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 13．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，已知直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作，点P在双曲线上，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】过P点作轴于点C，则可得到，即，求出A，B两点坐标，进而求出点坐标，代入求值即可． 【详解】如图，过P点作轴于点C， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵直线分别与y轴、x轴交于A，B两点， ∴A，B两点坐标为:， ∴， ∴ ∴， ∴ 代入得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点，相似三角形形的判定和性质，反比例函数的解析式，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（19-20九年级上·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 17．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：． 【答案】见解析 【分析】 利用互余的性质可得，再直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质可得，从而可证明． 【详解】 证明， ， ， ，即， 又∵E为的中点，， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识，关键是掌握是相似三角形的判定定理． 18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，与中，，；证明：．    【答案】见解析 【分析】根据，得出，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)相似，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴, ∵， ∴， ∵点F在上， ∴, ∴, ∵, ∴． （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 20．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点是边上一点，于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定；过点O作，交于点M，先证明，得出，从而证出，再根据，即可证出结论． 【详解】证明：过点O作，交于点M， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，，若点分别为边上的两点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得，从而得到，再通过证明即可得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 22．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 【答案】(1)相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解； （2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 所以，①， ， 所以，②，③， 所以④，⑤， 故图中相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴；； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意与都与相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方． 23．（20-21九年级上·安徽蚌埠·期中）定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．   探究： (1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由． (2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为． 若的面积为1， 求n的值？           当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明） 【答案】(1)能，详见解析 (2)①；② 【分析】（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似． （2）①先得出公式，然后按所求的公式进行计算，即可得解．②，，进而即可得解． 【详解】（1）能正确画出分割线（如图，过点C作，垂足为D，即是满足要求的分割线）．    理由：∵ ∴； （2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是， ∵的面积为1， ∴经n阶分割所得的小三角形的面积为 ∴， ∴ ②∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似图形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义进行分析．要结合前面几个简单图形得出一般化规律，然后用得出的规律来求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$