精品解析：辽宁省沈阳市重点联合体2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 审题人：张颖 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 7. 一个圆柱形容器的底面半径为，高为，将该圆柱注满水，然后将一个半径为的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（ ） A. B. 若，则为120° C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则是钝角三角形 11. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C. 平面 D. 的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________. 13. 已知，，则______. 14. 如图，为锐角终边与单位圆的交点，逆时针旋转得到逆时针旋转得到逆时针旋转得到，则______，点的横坐标为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 16. 如图是函数的部分图象. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间. 17. 在中，角所对的边分别是，已知向量，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面. 19. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. （1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； （2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 审题人：张颖 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，解得复数，再求其共轭复数即可. 【详解】由题可知， 故其共轭复数为. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属基础题. 2. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值. 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若向量满足，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算，结合平行，垂直的坐标结论可解. 【详解】设向量，则. 由，得 解得,故向量的坐标为. 故选：A. 4. 在中，已知角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求得结果. 【详解】因为， 则由正弦定理可设，. 由余弦定理得. 故选：C. 5. 计算：（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合一元二次方程求根解得结果； 【详解】因为，所以. 易知是方程的根， 且方程的两根分别为，. 因为当时，，所以. 故选：C. 6. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则可能平行，可能相交，故A错误； 若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误； 若，则或，故C错误， 因为，，所以，又，所以，故D正确. 故选：D 7. 一个圆柱形容器的底面半径为，高为，将该圆柱注满水，然后将一个半径为的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出圆柱体积及球的体积，再相减即可得出结果. 【详解】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积， 即. 故选：B 8. 已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式求出得最小值为可得答案. 【详解】因为，所以， 由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：取特殊值否定即可，选项B：利用复数的模的性质求解即可，选项C：举特殊的复数否定即可,选项D：利用待定系数法设，，求证即可. 【详解】对于A，取，则， 故A错误； 对于B，结合复数模的性质可知，，故B正确； 对于C，令，则，而，故C错误； 对于D，设，，则时，.又， ，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（ ） A. B. 若，则为120° C. 若，则为等腰直角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D. 【详解】，故A正确； 由余弦定理得，而，则，故B正确； 若，即, 展开整理得， ∵，∴或， ∴为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C. 平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设长方体的外接球的半径为，得到，可判定A正确；根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；连接交连接，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；根据平面，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合，可判定D正确. 【详解】由长方体中，，， 设长方体的外接球的半径为 可得长方体的对角线长为，则，可得， 所以长方体的外接球的表面积为，所以A正确； 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 假设，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为在矩形中，与不垂直，所以假设不成立， 所以与不垂直，所以B错误； 连接交于点，连接，因为为的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面，所以C正确； 因为平面，且点在上的一动点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设距离为， 因为长方体中，，， 可得，所以，所以， 所以， 又由，可得，所以， 即的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案. 【详解】向量在向量的方向上的数量投影为. 故答案为： 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解． 【详解】由得，， 又，则 则，， 所以. 故答案为：． 14. 如图，为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得到逆时针旋转得到逆时针旋转得到，则______，点的横坐标为______. 【答案】 ①. ##0.96 ②. 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式可得；两角和的余弦展开式可得. 【详解】由题意得， 所以； 因为点所在角为，则 . 故答案为：①；②. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型特征求参； （2）应用复数对应象限的特征列不等式组即可求参数范围. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 所以 解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 16. 如图是函数的部分图象. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据图象的振幅，周期，五点，确定函数的参数，即可求得解析式； （2）代入公式求函数解析式，利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合整体替代求解的单调递增区间. 【小问1详解】 由图可知， 函数的最小正周期为， 则， 所以. 由，可得. 因为，则， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 . 令，则， 所以 . 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 17. 在中，角所对的边分别是，已知向量，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】(1)利用向量平行结合正弦定理求解即可. (2)利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到从而求出三角形的周长即可. 【小问1详解】 因为，所以. 由正弦定理得. 又，故. 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 由余弦定理得， 即，解得， 所以周长为. 18. 如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可得，又，则结论成立； （2）利用线面平行的判定定理证明出面，由（1）可得面，再由面面平行的判定定理得出结论成立． 【小问1详解】 平面，平面，； 四边形为正方形，； 平面，，平面，又平面，； 分别为的中点，，. 【小问2详解】 四边形为正方形，且分别为，边的中点，，面，面，面， 由（1）知，面，面，面，又，平面平面． 19. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤. （1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积； （2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积，再由基本不等式求解； （2）由题意，则即可求解. 【小问1详解】 过作，垂直于，，垂足分别为，， 则，，，， 养殖观赏鱼的面积， 由可得，则，当且仅当即时取等号，故时，最小. 【小问2详解】 由，可得， 则，，，由题意， 则， 则，结合，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$