精品解析：天津市四校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023～2024学年度第二学期期末考试 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 4. 一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11.2，3，则它们的75%分位数是（ ） A. 10.3 B. 10.4 C. 10.5 D. 10.6 5. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 在中，为边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 若向量，满足，，，则_____. 11. 已知正方体的棱长为4，除面外，该正方体其余器面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______. 12. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间为1小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为_______. 13. 为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为___________. 14. 已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_______. 15. 已知中，，，记，则______；若，当最大时，____. 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16. 已知复数，m为实数. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； （3）若，求的值. 17. 三棱台中，若平面，，，，， 分别是 ，中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点 到平面的距离. 18. 为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 19. 如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示. （1）求证：； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期末考试 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则即可计算得到答案. 【详解】. 故选：C. 2. 已知平面向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标运算及共线定理可列方程，解方程即可. 【详解】由，， 则， 又与共线， 则， 即，解得， 故选：A. 3. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可得结果. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 4. 一组数据4.3，6.5，7.8，6.2，9.6，15.9，7.6，8.1，10，12.3，11.2，3，则它们的75%分位数是（ ） A. 10.3 B. 10.4 C. 10.5 D. 10.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法即可得到答案. 【详解】把数据从小到大排序，得3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8，8.1，9.6，10，11.2，12.3，15.9，共有12个数. 因为，所以分位数是第9项和第10项数据的平均数， 即10.6. 故选：D. 5. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间里面的线线、线面、面面关系逐项分析即可得到答案. 【详解】对于选项A：若，，，则或a与b异面，故A错误； 对于选项B：若，，则，又∵，∴，故B正确； 对于选项C：若，，，则不能确定a，b的关系，故C错误； 对于选项D：若，，则或，故D错误. 故选：B. 6. 在中，为边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】如图， 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：D 7. 向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，求得，根据投影向量计算公式即可得答案. 【详解】因为， 所以，所以，所以, 设与向量的夹角为， 所以向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：A. 8. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围. 【详解】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形； 故选：B 9. 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算求得的值，利用三角形的面积公式求得的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可． 【详解】因为，， 所以，即， ，即， ， 当且仅当 ，即时等号成立， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 若向量，满足，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先计算，然后结合所给的条件，求出向量的模即可. 【详解】由题意，可得， 因为， 所以，所以. 故答案为：. 11. 已知正方体的棱长为4，除面外，该正方体其余器面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意先求解四棱锥底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】由题意可得，底面四边形为边长为的正方形， 其面积， 顶点到底面四边形的距离为， 由四棱锥的体积公式可得：. 故答案为： 12. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间为1小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质可求出总体的方差. 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为. 故答案为：. 13. 为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为___________. 【答案】0.85 【解析】 【分析】由互斥事件的概率加法公式进行求解即可． 【详解】解：设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，，， 则，解得， 所以抽到一等品的概率为0.85． 故答案为：0.85． 14. 已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出球的半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值. 【详解】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l， 由题意可知，， 又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足， 而圆柱的侧面积，， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以，， 故答案为： 15. 已知中，，，记，则______；若，当最大时，____. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据已知的几何关系即可求出和的值，从而得的值；以A为原点，AC、AB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设，用b表示出，根据余弦函数单调性，当其取最小值时，最大，从而求得的值. 【详解】， ，. 以A为原点，AC、AB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设， 则， ， 设， 则，令， 则， 故当，即，时，最小， ，所以此时最大. 故答案为：1；. 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16. 已知复数，m为实数. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出等式与不等式得解； （2）根据复数对应的点在第二象限列出不等式组求解； （3）根据复数模的性质及模的定义求解. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 即为纯虚数， 所以，解得. 【小问2详解】 因为在复平面上对应的点在第二象限， 所以，即， 解得， 即m的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， . 17. 三棱台中，若平面，，，，， 分别是 ，中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明：在三棱台中，平面，， 显然直线两两垂直， 以点 为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，，， 由， 分别是 ，中点，得，， 则，， 因此，而点直线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可； （2）利用面面角的向量求法求解即可； （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令 ，则，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，，由（2）知，平面的法向量， 所以点 到平面的距离. 18. 为了了解学生的数学学习情况，方便计划下一阶段的教学重心，某校对高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前12%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数应不低于多少?（精确到0.001） 【答案】（1）；71.5分； （2）80； （3）88.667分. 【解析】 【分析】（1）根据总频率为1即可求a的值；根据频率封闭直方图中平均数的计算方法即可计算平均数； （2）（3）根据百分位数的计算方法即可计算. 【小问1详解】 由,解得. , 故本次数学测试成绩的平均分为71.5分. 【小问2详解】 因为[80,100]的频率为0.15+0.01=0.25, 故样本成绩的第75百分位数为80. 【小问3详解】 设受嘉奖的学生分数不低于分. 因为对应的频率分别为, 所以,从而,解得, 故受嘉奖的学生分数不低于88.667分. 19. 如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足.现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示. （1）求证：； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而可证异面直线垂直； （2）根据面面垂直与线线垂直，可得直线在平面内的投影，即可得直线与面所成角的平面角，即可得解； （3）扩大平面可得两平面的交线，过作，可得二面角的平面角，根据勾股定理可得各边长，进而可得二面角的余弦值. 【小问1详解】 在直角梯形中连接、，设， ，， 又因为四边形为直角梯形， ，且， 四边形为平行四边形， ，， 平行四边形为菱形，， 即翻折后，， ，且，平面， 平面， 平面，； 【小问2详解】 由已知平面平面，且平面平面，，平面， 平面， 在平面内的投影为， 即直线与面所成角的平面角为， 且，， 为等腰直角三角形，， 即直线与面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 如图所示，延长，，交于点， 则平面，平面， 又平面，平面， 即为平面与平面的交线， 由（2）得平面，平面，则， 过点作于点，，，平面， 则平面， 又平面，则， 所以平面与平面所成角的平面角为， 由（1）得，且， ，则，即， ，，， ，，， 则， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； 【小问2详解】 由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； 【小问3详解】 由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $