新课预习衔接：长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长6分米，宽4分米，高3分米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？如果在鱼缸里注入48升水，水深多少分米？ 【答案】84平方分米；2分米 【分析】因为鱼缸无盖，即缺少上面，所以只需求它的5个面的总面积，根据表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2即可解答；1升＝1立方分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，即高＝水的体积÷容器的长÷容器的宽，即可求解。 【详解】6×4＋（6×3＋4×3）×2 ＝24＋（18＋12）×2 ＝24＋30×2 ＝24＋60 ＝84（平方分米） 48升＝48立方分米 48÷6÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃84平方分米。水深2分米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积公式的灵活运用，要重点掌握。 例题2：一个无盖的长方体铁箱，底面是边长为3dm的正方形，铁箱高5dm．做20个这样的铁箱用铁皮多少平方分米？ 【答案】1380平方分米 【分析】根据题意可先计算出1个长方体水箱的表面积，即长方体的侧面积加一个底面的面积，然后再乘20即可． 【详解】3×3+3×5×4， =9+60， =69（平方分米）； 69×20=1380（平方分米）； 答：做20个这样的铁箱用铁皮1380平方分米． 例题3：如果用一个8分米、宽6分米、高2分米的长方体纸箱包装这些口罩。 （1）如果要用彩绳捆扎起来（扎法如图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？ （2）做这个纸箱至少需要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）38分米；（2）152平方分米 【分析】（1）观察图形可知，用的是十字捆扎法，彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处彩带长度，代入数据计算即可； （2）硬纸板的面积也就是长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）8×2＋6×2＋2×4＋2 ＝16＋12＋8＋2 ＝38（分米） 答：一共需要彩带38分米。 （2）（8×6＋8×2＋6×2）×2 ＝（48＋16＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方分米） 答：做这个纸箱至少需要152平方分米的硬纸板。 【点睛】此题考查了有关长方体棱长和表面积的综合应用，认真解答即可。 第三部分 高频真题 一、选择题 1．有一个长8分米，宽7分米，高6分米的长方体盒子，用这个盒子来摆放棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．14 B．28 C．36 D．42 2．把80升洗洁精装入容积是250毫升的瓶中，能装(   )． A．25瓶 B．300瓶 C．350瓶 D．320瓶 3．一个正方体的棱长是 分米，如果棱长扩大2倍，那么它的表面积扩大（  ）倍． A．2 B．4 C．8 4．一个长方体的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米．如果高增加4厘米，新的长方体的体积比原来增加（ ）立方厘米． A．4ab B．4abh C．ab（h+4） D．abh+43 5．一个正方体切成两个大小相等的长方体后，表面积（   ），体积（   ）． A．增加；减少 B．减少；不变 C．增加；不变 6．一个长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体，它可能是（    ）。 A．衣柜 B．橡皮 C．数学课本 D．鞋盒 7．小华用一根长（    ）的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还剩下2分米。 A．210分米 B．72分米 C．74分米 D．214分米 8．用4个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）。 A．18平方分米 B．16平方分米 C．18平方分米或16平方分米 9．用一根长（    ）的铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。 A．28厘米 B．56平方厘米 C．56厘米 D．90立方厘米 10．如图，用丝带捆扎一种长、宽、高分别是30厘米、20 厘米、25厘米的礼品盒，另外打结处至少还需25厘米．那么要捆扎这种礼品盒需准备丝带（　　）分米比较合理． A．10 B．17.5 C．21.5 D．23 11．下列物体中，（    ）的体积接近1dm3。 A．粉笔盒 B．橡皮 C．书包 12．计算一个易拉罐所占空间的大小，就是求易拉罐的（   ） A．表面积 B．容积 C．体积 13．将四个长10cm，宽8cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A．B．C．D． 14．下面（    ）个小正方体，不能正好拼成一个大正方体。 A．16 B．27 C．64 15．修建一个游泳池，计算它的占地面积，是求游泳池的（　　） A．体积 B．表面积 C．底面积 二、填空题 16．由四个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米或( )平方厘米． 17．下图是一个未做完的长方体框架。 做一个完整的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米；如果在完整的框架外面糊上一层纸板，至少需要( )平方厘米纸板。 18．至少( )个体积是1立方厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 19．一个长方体长8厘米、宽6厘米、高5厘米。它的体积是 立方厘米。 20．下图是由棱长1厘米的小正方体拼成，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 21．一个长方体正好分割成3个形状、大小相等的正方体，这样增加的表面积相当于原长方体表面积的　 　． 22．在括号里填上合适的数或单位名称。 一个水桶的容积大约是12( )            5.8立方分米＝( )立方厘米 一张课桌的占地面积大约是24( )        720( )＝0.72( ) 23．52立方厘米＝( )升     1.6立方分米＝( )立方厘米 7.9立方分米＝( )升( )毫升 24．小红要用白色卡纸做一个长方体，他画出了展开图（如图）。如果面在底部，那么( )面在上面；如果面在前面，从左面看是面，那么上面是( )面。 25．( )千克＝8吨50千克            6.02立方分米＝( )毫升 26．长方体有　 　个面，相对的面的面积　 　．长方体有　 　条棱，相对的棱　 　．长方体有　 　个顶点． 27．把3个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少( )平方厘米． 28．一根铁丝可以扎一个长5cm，宽4cm，高3cm的长方体框架，这根铁丝至少有( )cm．如果用它扎一个正方体框架，那么这个正方体的棱长是( )cm． 29．把一个长10分米，宽8分米，高6分米的长方体截成两个同样的长方体，则表面积最多增加( )分米。 30．一个长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。如果高增加2分米，表面积将增加( )平方分米，体积增加( )立方分米。 三、判断题 31．如果一个长方体的12条棱的长度都相等，这个长方体一定是正方体。( ) 32．容积和体积的意义一样,所以计算方法也相同．    ( ) 33．用滴管滴100滴水大约是100毫升。( ) 34．一个正方体棱长扩大2倍，它的表面积就扩大4倍，体积就扩大6倍。( ) 35．正方体的棱长扩大5倍，它的体积就扩大15倍　　　　( ) 36．一个长方体中（不包括正方体）最多有4个面完全相同。( ) 37．体积相等的两个立体图形表面积一定相等。( ) 38．一个长方体长12厘米、宽8厘米、高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米。( ) 39．计算一个长方体木箱的容积，要从木箱的里面量长、宽、高。( ) 40．正方体、长方体的体积计算公式可统一为：V＝Sh。( ) 41．计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的容积。( ) 42．一个长方体中，相邻的两个面可以是正方形。   ( ) 43．体积是1立方分米的长方体木块和正方体木块，表面积一定相等。( ) 44．一个保温杯的体积是2立方分米，瓶里一定能装2升水。( ) 45．正方体的棱长扩大4倍，体积就扩大16倍。( ) 46．知道长方体的长和宽就可以求出长方体的表面积．( ) 47．所有的长方体都有六个面，因此，有六个面的立体图形一定是长方体。( ) 四、解答题 48．将两个棱长都是5厘米的正方体小方块拼成一个长方体。这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积呢？ 49．如图，把长25厘米、宽18厘米的长方形纸，从四个角各剪去一个边长3厘米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 50．体育馆建一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深2米。请你算一算。 （1）游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）游泳池内水面离池口0.5米，游泳池内水的体积是多少立方米？ 51．下面是长方体的展开图请先添上虚线画出长方体的六个面，然后根据相关数据，计算出这个长方体的表面积。 52．今年国际“三八”妇女节那天，笑笑给妈妈送了一份精美的礼物，礼物装在一个长15厘米，宽10厘米、高8厘米长方体的小盒子里，盒子用漂亮的红丝带捆上，其中打蝴蝶结的部分长28厘米，那么捆这个礼品盒至少需要多少厘米长的丝带？ 53．一个长方体高26厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了80平方厘米，求原来长方体的体积。 54．一种长方体铁皮烟囱，底面是边长3分米的正方形，高4米，做这样一节烟囱至少要用铁皮多少平方米？ 55．做一对不带盖的长方体形状的白铁皮水桶，每个铁桶的长3分米，宽3分米，高4.5分米，一共至少用多少平方分米的铁皮？ 56．把一块石头全部浸没到棱长是2分米的正方体玻璃缸中，水面上升了0.2厘米，这块石头的体积是多少？ 57．如果将下面的长方形铝片从四个角上分别剪去一个小正方形，剩下部分可以焊接成一个无盖的长方体容器．做成的长方体容器的容积最大是多少毫升？（正方形的边长取整厘米数，铝片的厚度不计） 58．一块长1.2米，宽6分米，厚3分米的长方体木块，可以截出多少块棱长为3分米的正方体？ 59．有棱长为2厘米的小正方体若干个，需要多少个可拼成一个棱长为1分米的正方体？如果把这些小正方体依次排成排，可以排成多少米？ 60．一张硬纸折成一个无盖的长方体纸盒（如图，单位：厘米），求折成的长方体纸盒的容积（纸的厚度忽略不计）。 61．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长6分米，宽50厘米，高4.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）再往水中放入一些石子，水面上升了2.5厘米，这些石子的体积是多少立方厘米？ 62．下面是一个无盖的长方体铁箱的展开图，请你计算它的表面积． 63．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量长8分米，宽6分米，高5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）给鱼缸里注入144升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 64．一根方料长400厘米，把它锯成相等的两段后，表面积比原来增加了50平方厘米，求这根方料原来的体积和表面积。 65．一间会议室长15米，宽12米，高4米，现在给地面上铺上地砖，需要地砖多少平方米？粉刷它的四壁和顶面，除去门窗面积20平方米，要粉刷的面积是多少平方米？ 66．要粉刷一间长8米，宽6米，高4.2的教室顶面和四面墙壁，教室的门窗和黑板的面积一共是25.6平方米。一共要粉刷多少平方米？如果每平方米用0.6千克涂料，共需要多少千克涂料？ 67．一个铁皮油箱长8分米，宽6分米，高4分米，这个油箱装满油，如果每升汽油重0.8千克，这个油箱可装油多少千克？ 68．将120升水倒入长8分米，宽5分米，高4分米的长方体容器中，水面距容器口多少分米？ 69．一个长方体石块，长7分米，宽4分米，高3分米，它的体积是多少立方分米？ 70．一间教室长8米，宽6米，高4米．要粉刷教室的墙顶和四周墙壁，除去门窗面积22平方米，粉刷面积是多少平方米？如果每千克涂料可以涂4平方米，一共要用涂料多少千克？每平方米需花费涂料和人工费共15元，粉刷这个教室需要花费多少元？ 71．一辆运煤车的车厢是长方体。从里面量，底面积是4.5平方米，装的煤高0.6米。如果每立方米煤重1.32吨，这辆运煤车大约装煤多少吨？（得数保留一位小数） 72．一间教室长8米，宽6米，高4米。要粉刷教室的顶和四周墙壁，除去门窗面积22平方米，粉刷面积是多少平方米？如果每千克涂料可以涂4平方米，一共要用涂料多少千克？ 73．一个长方体，前面积是10平方分米，底面积是5平方分米，右侧面面积是6平方分米，这个长方体的表面积是多少？ 74．有一块棱长是20厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成4个横截面是50平方厘米的小长方体，每个小长方体的长是多少厘米？ 参考答案： 1．C 【分析】分别求出沿着长、宽、高能摆的个数，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出总个数即可。 【详解】8÷2＝4（个） 7÷2≈3（个） 6÷2＝3（个） 4×3×3＝36（个） 最多能放36个。 故答案为：C 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 2．D 【分析】1升=1000毫升，把升换算成毫升，然后用洗洁精的体积除以瓶子的容积即可求出能装的瓶数. 【详解】80升=80000毫升，80000÷250=320(瓶) 故答案为D 3．B 【详解】【解答】解：如果一个正方体的棱长扩大2倍，其表面积就扩大2×2=4倍．  故选B． 【分析】根据正方体的表面积公式：S=6a2  ， 再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．据此解答即可． 4．A 【详解】试题分析：增加的部分的体积是长a厘米，宽b厘米，高4厘米的长方体的体积，根据长方体体积=长×宽×高计算即可解答． 解：增加的部分的体积为： a×b×4=4ab（立方厘米）． 答：新的长方体的体积比原来增加4ab立方厘米． 故选A． 【点评】解决本题关键是明确增加的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积公式计算． 5．C 【详解】【解答】解：因为一个正方体切成两个大小相等的长方体后，增加了两个面，所以表面积就增加了； 而分成的两个长方体所占据空间的大小和就等于原来正方体的体积，所以体积不变。 故答案为：C 【分析】由题意可知：一个正方体切成两个大小相等的长方体后，增加了两个面，所以表面积就增加了；而分成的两个长方体所占据空间的大小和就等于原来正方体的体积，所以体积不变，据此解答即可。此题主要考查长方体与正方体的表面积和体积的定义。 6．C 【分析】根据生活经验可知，长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体首先不可能是衣柜和橡皮，一个太大一个太小；鞋盒的高度要和宽差不多，所以可能是数学课本符合题意，据此选择即可。 【详解】由分析可得：一个长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体，它可能是数学课本。 故答案为：C 【点睛】本题考查了长方体的特征及应用。 7．C 【分析】根据长方体棱长总和公式：（长＋宽＋高）×2，代入数据，求出这个长方体的棱长总和，再加上2分米，就是这根铁丝的长，据此解答。 【详解】（7＋6＋5）×4＋2 ＝（13＋5）×4＋2 ＝18×4＋2 ＝72＋2 ＝74（分米） 故答案选：C 【点睛】本题考查长方体的特征以及长方体棱长总和公式的应用。 8．C 【分析】4个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，有两种拼法： 第一种拼法如图： 该长方体长宽高分别是2分米、2分米、1分米，表面积减少了8个小正方形的面积，用4个小正方体的表面积之和减去8个小正方形的面积即可； 第二种拼法如图： 该长方体长宽高分别是4分米、1分米、1分米，表面积减少了6个小正方形的面积，用4个小正方体的表面积之和减去6个小正方形的面积即可； 根据正方体表面积公式S＝6×a2，和正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，将数据代入公式求解即可。 【详解】由分析可得： 第一种拼法的表面积： 6×1×1×4－1×1×8 ＝6×1×4－1×8 ＝6×4－8 ＝24－8 ＝16（平方分米） 第二种拼法的表面积： 6×1×1×4－1×1×6 ＝6×1×4－1×6 ＝6×4－6 ＝24－6 ＝18（平方分米） 用4个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是16平方分米或者18平方分米。 故答案为：C 【点睛】本题考查了立体图形的拼接，可以通过画图把抽象的问题转化成直观的问题，解题的关键是明确拼接方法不同，减少的表面积也不同。 9．C 【分析】求用多长的铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 用一根长56厘米的铁丝正好可以做一个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体框架。 故答案为：C 【点睛】本题考查长方体的棱长总和公式的应用，理解长方体的棱长总和、表面积、体积的意义及区别，明确用铁丝做长方体框架，铁丝的长度等于长方体的棱长总和。 10．D 【详解】试题分析：根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高+打结用的长度，由此列式解答． 解：由题意得： 30×2+20×2+25×4+25， =60+40+100+25， =225（厘米）． 225厘米=22.5分米． 因为打结处至少还需25厘米，所以取多一点比较合适，22.5分米≈23分米． 答：要捆扎这种礼品盒需准备丝带23分米比较合理． 故选D． 点评：此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和． 11．A 【分析】根据对体积单位的认识和理解，可知：棱长为1dm的正方体体积是1dm3；由此进行选择即可。 【详解】由分析可得：在一个粉笔盒、一块橡皮和一个书包中，只有一个粉笔盒的体积接近1dm3。 故答案为：A 【点睛】此题考查体积及其单位，应根据题意，联系生活实际、计量单位和数据的大小，进行解答。 12．C 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积，由此根据体积的意义判断并选择即可. 【详解】根据体积的意义可知，计算一个易拉罐所占空间的大小，就是求易拉罐的体积. 故答案为C 13．B 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算每个选项中长方体的表面积，比较即可。 【详解】A．，长是10×2＝20cm，宽是8×2＝16cm，高是3cm 表面积：（20×16＋20×3＋16×3）×2 ＝（320＋60＋48）×2 ＝（380＋48）×2 ＝428×2 ＝856（cm2） B．，长是10cm，宽是8cm，高是3×4＝12cm 表面积：（10×8＋10×12＋8×12）×2 ＝（80＋120＋96）×2 ＝（200＋96）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） C．，长是10×2＝20cm，宽是8cm，高是3×2＝6cm 表面积：（20×8＋20×6＋8×6）×2 ＝（160＋120＋48）×2 ＝（280＋48）×2 ＝328×2 ＝656（cm2） D．，长是10cm，宽是8×2＝16cm，高是3×2＝6cm 表面积：（10×16＋10×6＋16×6）×2 ＝（160＋60＋96）×2 ＝（220＋96）×2 ＝316×2 ＝632（cm2） 856＞656＞632＞592 故答案选：B 【点睛】此题考查长方体表面积的意义及应用。要使拼组后的长方体表面积最小，要尽可能多地把最大的面相粘合。 14．A 【分析】拼成大正方体的小正方体的个数，应该是一个数的立方数，据此解答。 【详解】A．16不是立方数，不能拼成大正方体； B．27＝3×3×3，是立方数，可以拼成一个大正方体； C．64＝4×4×4，是立方数，可以拼成一个大正方体。 故答案为：A。 【点睛】本题考查的是对正方体的理解，根据正方体的体积公式可得拼组成大正方体的小正方体的块数正好是一个立方数是解决此问题的关键。 15．C 【详解】试题分析：根据题意，游泳池的占地面积实际上就是求这个长方体底面积，与其它面没有关系，与游泳池的深浅也没有关系． 解：修建一个游泳池，计算它的占地面积，是求游泳池的底面积． 故选C． 点评：此题考查了长方体的特征，培养空间观念和空间想象能力． 16． 4 16 18 【详解】略 17． 48 94 【详解】棱长和： ＝12×4 ＝48（厘米） 表面积： ＝（12＋15＋20）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 18． 8 24 【分析】根据正方体的长宽高都相等，得出至少8个体积是1立方厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，再根据正方体的表面积公式，求出表面积即可。 【详解】至少8个体积是1立方厘米的小正方体才能拼成一个大正方体，拼成的这个大正方体的棱长是2厘米，则表面积是： 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算公式。 19．240 【详解】8×6×5＝240（立方厘米） 20． 34 11 【分析】由题意知：上图的表面积相当于长3厘米，宽和高都是2厘米的长方体的表面积再加上两个正方形面的面积；体积是长3厘米，宽和高都是2厘米的长方体的体积减一个小正方体的体积。据此解答。 【详解】表面积：（3×2＋3×2＋2×2）×2＋1×1×2 ＝（6＋6＋4）×2＋2 ＝16×2＋2 ＝32＋2 ＝34（平方厘米） 体积：3×2×2－1×1×1 ＝12－1 ＝11（立方厘米） 【点睛】本题考查了不规则立体图形的表面积和体积的计算，考查了学生的应变能力及转化能力。 21． 【详解】试题分析：由“一个长方体正好分割成3个形状、大小相等的正方体”可知，分割后多了四个面的面积，从而可以求出增加的面积与原面积的关系． 解：设原长方体的长为x，则宽也为x，高为3x， 分成的小正方体的棱长为x， 所以增加的面积是x×x×4=4x2， 原面积是（x×x+x×3x+x×3x）×2=14x2， 所以增加的表面积相当于原长方体表面积的，即； 故答案为． 点评：解答此题的关键是弄清长方体的长、宽、高与正方体的棱长的关系，从而求解． 22． 升/L 5800 平方分米/dm2 立方厘米 立方分米 【分析】根据对容积单位、面积单位的认识及数据的大小可知：计量一个水桶的容积用升作单位；计量一张课桌的占地面积用平方分米作单位；1立方分米＝1000立方厘米，高级单位换算成低级单位乘进率；720化为0.72相当于720÷1000，可填进率为1000的两个单位；据此解答。 【详解】一个水桶的容积大约是12升     5.8立方分米＝5.8×1000立方厘米＝5800立方厘米 一张课桌的占地面积大约是24平方分米     720立方厘米＝0.72立方分米（最后一题答案不唯一） 【点睛】本题考查面积单位、容积单位的选择及体积单位的换算。 23． 0.052 1600 7 900 【分析】由低级单位换算成高价单位，用低级单位上的数除以进率；由高级单位换算成低级单位，用高级单位上的数乘进率；据此解答。 【详解】52立方厘米＝（0.052）升     1.6立方分米＝（1600）立方厘米 7.9立方分米＝（7）升（900）毫升 【点睛】此题考查的是体积、容积单位之间的换算，由低级单位换算成高价单位，用低级单位上的数除以进率；由高级单位换算成低级单位，用高级单位上的数乘进率。 24． 【分析】如图，根据长方体展开图的特征可知：折成长方体后，面与面相对，面与相对，面与相对，因此，如果在底面，那么面在上面。如果面在前面，从左面看是面，那么上面是面。据此解答。 【详解】把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果面在底面，那么面在上面。如果面在前面，从左面看是面，那么上面是面。 25． 8050 6020 【分析】把8吨乘进率1000化成8000千克，再加50千克； 高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000。 【详解】8050千克＝8吨50千克            6.02立方分米＝6020毫升 【点睛】本题是考查质量的单位换算、体积（容积）的单位换算。单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率。 26．6，相等，12，长度相等，8 【详解】试题分析：根据长方体的特征：长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等，有8个顶点进行解答即可． 解：长方体有 6个面，相对的面的面积 相等．长方体有 12条棱，相对的棱 长度相等．长方体有 8个顶点． 故答案为6，相等，12，长度相等，8． 点评：此题考查了长方体的特征． 27．100 【详解】略 28． 48 4 【详解】解：（5+4+3）×4  =12×4 =48（厘米） 48÷12=4（厘米）， 答：这根铁丝至少有48cm．如果用它扎一个正方体框架，那么这个正方体的棱长是4cm． 故答案为48，4． 首先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出这个长方体的棱长总和，再根据正方体的棱长总和=棱长×12，用棱长总和除以12即可求出正方体的棱长． 29．160 【分析】有三种截法： ①沿着上面截，增加了2个长是8分米，宽是6分米的长方形的面积； ②沿着前面截，增加了2个长是10分米，宽是8分米的长方形的面积； ③沿着右面截，增加了2个长是10分米，宽是6分米的长方形的面积； 根据长方形的面积公式求出一个面的面积再乘2，再对比选出结果最大的那个即可解答。 【详解】有三种方法： ①8×6×2＝96（平方分米） ②10×8×2＝160（平方分米） ③10×6×2＝120（平方分米） 160＞120＞96，所以最大为160平方分米。 故答案为：160 【点睛】本题略难，关键是知道如何截，截成的两个长方体增加了2个面。 30． 44 60 【分析】由题意可知，增加的表面积实际上就是高为2分米的长方体的侧面积，于是利用侧面积＝底面周长×高，代入数据即可求解，根据长方体的体积公式，增加的体积＝长×宽×增加的高，据此解答。 【详解】（6＋5）×2×2 ＝11×2×2 ＝44（平方分米） 6×5×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 表面积将增加44平方分米；体积增加60立方分米。 【点睛】解答此题的关键是：明白增加部分是一个什么样的图形，从而利用公式求解。 31．√ 【分析】根据长方体和正方体的定义，结合题意，直接判断正误即可。 【详解】12条棱都相等的长方体是正方体，所以原说法正确。 所以判断正确。 【点睛】本题考查了长方体和正方体，明确二者的概念及特点是解题的关键。 32．✕ 【解析】略 33．× 【详解】略 34．× 【分析】根据正方体的表面积公式：s＝6a2，体积公式：v＝a3，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；据此解答即可。 【详解】如果一个正方体的棱长扩大2倍，其表面积就扩大2×2＝4倍，体积就扩大2×2×2＝8倍，因此原说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积公式、体积公式，以及因数与积的变化规律的灵活运用。 35．× 【详解】棱长扩大5倍，体积扩大125倍.故答案为×. 36．√ 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；据此解答。 【详解】一般情况，长方体最多有两个面完全相同，最多4条棱长度相等；特殊情况，如果有两个相对的面是正方形时，最多有4个面是完全相同，最多8条棱长度相等。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是使学生理解掌握长方体的特征。 37．× 【详解】体积相等的两个立体图形表面积不一定相等。比如棱长是2厘米的正方体和长、宽、高分别是4厘米、2厘米和1厘米的长方体，体积都是8立方厘米，正方体的表面积是24平方厘米，长方体的表面积是28平方厘米。 故答案为：× 38．× 【分析】比较长方体的长、宽、高的大小，切成的正方体棱长最长不能超过它们中最小的数据，据此解答。 【详解】7＜8＜12 即正方体的棱长最长是7厘米，原题说法错误； 故答案为：× 【点睛】关键是理解正方体的特点，长方体最小的棱长即是最大正方体的棱长。 39．√ 【分析】箱子、油桶等能容纳物体的体积叫做它们的容积。由于容器有一定的厚度，计算容积时，要从里面去测量。长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】计算一个长方体木箱的容积，由于箱子有厚度，所以要从木箱的里面量长、宽、高。 故答案为：√ 【点睛】根据容积的意义和长方体的体积公式即可解答。 40．√ 【分析】长方体的长×宽＝底面积，正方体的棱长×棱长＝底面积，所以长方体的、正方体的体积都等于底面积×高。据此判断。 【详解】正方体、长方体的体积计算公式可统一为： V＝ Sh。 故答案为：√。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的统－体积公式。 41．× 【分析】容积是物体所能容纳物体的体积，求制作月饼盒需要的铁皮是计算铁皮的面积，即正方体的表面积，据此解答。 【详解】分析可知，计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的表面积。 故答案为：× 【点睛】掌握正方体表面积和容积的意义是解答题目的关键。 42．× 【解析】略 43．× 【详解】略 44．× 【分析】2立方分米＝2升，物体的体积大于容积，据此判断。 【详解】一个保温杯的体积是2立方分米，瓶里一定能装水2升，是错误的，因为保温杯有一定的厚度，那么容积一定小于2升。 故答案为：× 【点睛】考查学生对物体的体积及容积定义的理解。 45．× 【详解】设正方形的棱长是a，则正方体的体积是：a×a×a＝a3 棱长扩大4倍后，棱长变为4a，体积是4a×4a×4a＝64a3 64a3÷a3＝64 所以“正方体的棱长扩大4倍，体积就扩大16倍”的说法是错误的。 故答案为：× 46．错误   【详解】求长方体的表面积，即6个面的总面积，必须知道长方体的长、宽、高才能计算，原题说法错误． 47．× 【分析】根据正方体、长方体的特征可知，正方体、长方体都有8个顶点，6个面，12条棱；据此判断。 【详解】所有的长方体都有六个面，但有六个面的立体图形可能是长方体，也可能是正方体，还有可能是其它立方图形。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握长方体、正方体的特征是解题的关键。 48．250平方厘米；250立方厘米 【分析】（1）两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面，即原来两个正方体一共有6×2＝12个面，现在只剩下12－2＝10个，然后用一个正方形的面积乘10即是这个长方体的表面积，列式为：5×5×（6×2－2），然后解答即可得出答案； （2）由于两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，体积没有发生变化即是两个正方体的体积和，根据公式“V＝a3”求出一个的体积再乘2即可。 【详解】（1）5×5×（6×2－2） ＝25×10 ＝250（平方厘米） （2）5×5×5×2 ＝125×2 ＝250（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是250立方厘米。 【点睛】本题关键要明确当两个正方体拼接时，体积和不变，但表面积变化了，注意：两个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积减少了两个正方形的面而不是一个。 49．684立方厘米 【分析】先分析图形计算出无盖的长方体纸盒的长、宽、高，再利用“长方体的体积＝长×宽×高”即可求得。 【详解】（25－2×3）×（18－2×3）×3 ＝（25－6）×（18－6）×3 ＝19×12×3 ＝228×3 ＝684（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是684立方厘米 【点睛】根据长方体的展开图计算出长方体纸盒的长和宽是解答题目的关键。 50．（1）1500平方米 （2）2250立方米 【分析】（1）求这个游泳池的占地面积，利用长方形的面积长×宽计算即可； （2）求游泳池水的体积是多少立方米，根据长方体的体积长×宽×高解答。 【详解】（1）60×25＝1500（平方米） 答：游泳池的占地面积是1500平方米。 （2）60×25×（2－0.5） ＝1500×1.5 ＝2250（立方米） 答：游泳池内水的体积是2250立方米。 【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 51．图见详解；550平方厘米 【分析】由于长方体有6个面，相对的两个面大小相等，由此即可画出平面展开图；根据图可知，长方体的长加高的和乘2是40厘米，由此即可知道高：40÷2－15＝5厘米，长方体的长：15厘米，宽：10厘米，之后根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。 【详解】由分析可知：图如下所示： 高：40÷2－15 ＝20－15 ＝5（厘米） 表面积：（15×10＋15×5＋10×5）×2 ＝（150＋75＋50）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是550平方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体的展开图以及表面积公式，熟练掌握表面积公式并灵活运用。 52．110厘米 【分析】看图可知，丝带包括2条长、2条宽、4条高和蝴蝶结，丝带长＝长×2＋宽×2＋高×4＋蝴蝶结长度，据此列式解答。 【详解】10×2＋15×2＋8×4＋28 ＝20＋30＋32＋28 ＝110（厘米） 答：捆这个礼品盒至少需要110厘米长的丝带。 53．1040立方厘米 【详解】80÷2×26 ＝40×26 ＝1040（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1040立方厘米。 54．4.8平方米 【详解】3分米＝0.3米  0.3×4×4＝4.8(平方米) 55．126平方分米 【详解】（3×3+3×4.5×2+3×4.5×2）×2=126（平方分米） 56．80立方厘米 【分析】把一块石头浸没到正方体玻璃缸中后，水面上升了，上升的水的体积就是这块石头的体积，上升的部分是一个底面边长2分米，高0.2厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式计算即可解答。 【详解】2分米＝20厘米 20×20×0.2 ＝400×0.2 ＝80（立方厘米） 答：这块石头的体积是80立方厘米。 【点睛】本题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出，水面上升或下降的体积就是物体的体积，本题易错点是单位不统一。 57．192毫升 【详解】解：设剪去的小正方形边长为xcm，则焊接成的容器体积可表示为（20-2x）（10-2x）xcm3 当x=1时，体积=（20-2×1）（10-2×1）×1=144 cm3 当x=2时，体积=（20-2×2）（10-2×2）×2=192 cm3 当x=3时，体积=（20-2×3）（10-2×3）×3=168 cm3 当x=4时，体积=（20-2×4）（10-2×4）×4=96 cm3 综上，当正方形边长为2厘米时做成的长方体容器的容积最大．最大容积：192 cm3=192毫升． 答：做成的长方体容器的容积最大是192毫升． 58．可以截出8块棱长为3分米的正方体． 【详解】试题分析：1.2米=12分米，根据长方体体的体积公式：长方体的体的体积=长×宽×高可知，这个长方体木块的体积为：12×3×6=216立方分米，截成的棱长为3分米的正方体的体积为：3×3×3=27立方分米．根据除法的意义，用长方体的总体积除以每个小正方体的体积即得可以截出多少块棱长为3分米的正方体． 解答：解：1.2米=12分米， （12×6×3）÷（3×3×3） =216÷27， =8（块）． 答：可以截出8块棱长为3分米的正方体． 点评：完成本题要注意首先将单位换算过来，根据方体体的体积公式分别求出长方体木块与被截成的小正方体木块的体积是完成本题的关键． 59．125个；2.5米 【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；分别求出棱长是1分米的正方体的体积，棱长为2厘米的正方体的体积，再用棱长1分米正方体体积除以棱长2厘米正方体的体积，就是需要小正方体的个数；再用小正方体的个数×小正方体的棱长，就是可以排成多少米，据此解答。 【详解】1分米＝10厘米 （10×10×10）÷（2×2×2） ＝（100×10）÷（4×2） ＝1000÷8 ＝125（个） 125×2＝250（厘米） 250厘米＝2.5米 答：需要125个可以拼成一个棱长1分米的正方体，可以排成2.5米。 【点睛】本题考查正方体体积公式的应用，关键熟记公式；注意单位名数的互换。 60．48立方厘米 【分析】观察展开图可知，长方体长是6厘米，宽是8－2×2厘米，高是2厘米，然后根据长方体体积＝长×宽×高即可解答。 【详解】宽：8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） 容积：6×4×2 ＝24×2 ＝48（立方厘米） 答：折成的长方体纸盒的容积48立方厘米。 【点睛】此题主要考查学生对长方体体积的理解与应用。 61．（1）129平方分米 （2）7500立方厘米 【分析】（1）鱼缸没有盖，要求的是五个面的面积，根据长方体的表面积公式求出做这个鱼缸至少需要玻璃的面积； （2）用鱼缸的底面积×水面上升的高度，即可求出石子的体积。 【详解】（1）50厘米＝5分米 （4.5×5＋6×4.5）×2＋6×5 ＝（22.5＋27）×2＋30 ＝49.5×2＋30 ＝99＋30 ＝129（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃129平方分米。 （2）6分米＝60厘米 60×50×2.5 ＝3000×2.5 ＝7500（立方厘米） 答：这些石子的体积是7500立方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的表面积公式和长方体的体积公式，综合性较强，但难度不大。 62．4948（cm2） 【详解】解：宽是：50﹣24=26（厘米） （50×26+50×24+26×24）×2-50×26 =（1300+1200+624）×2-50×26 =3124×2-1300 =4948（平方厘米） 答：它的表面积是4948平方厘米． 由展开图得出：长方体的长是50厘米，宽是50﹣24=26厘米，高是24厘米，根据长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，代数计算即可，注意本题求的是无盖的长方体表面．解决本题的关键是根据长方体展开图得出长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式计算． 63．（1）188平方分米 （2）3分米 【分析】（1）求做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求这个鱼缸5个面的面积和，根据长方体表面积公式：面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，进行解答； （2）由于1升＝1立方分米，先转换单位，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可求出水深多少分米。 【详解】（1）8×6＋（8×5＋6×5）×2 ＝48＋（40＋30）×2 ＝48＋70×2 ＝48＋140 ＝188（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃188平方分米。 （2）144升＝144立方分米 144÷（8×6） ＝144÷48 ＝3（分米） 答：水深3分米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体表面积公式和长方体体积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。 64．10000立方厘米；8050平方厘米 【分析】增加的表面积就是两个长方体的底面积，即长方体的底面积是：50÷2＝25（平方厘米），方料的底面是正方形，所以正方形的边长是5厘米，方料的表面积是4个相等的侧面积加上两个底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式求出长方体的体积即可。 【详解】50÷2＝25（平方厘米），方料的底面是正方形，所以底面正方形的边长是5厘米，底面积是25平方厘米； 25×400＝10000（立方厘米） 答：这根方料原来的体积是10000立方厘米。 5×400×4＋50 ＝2000×4＋50 ＝8000＋50 ＝8050（平方厘米） 答：这根方料原来的表面积是8050平方厘米。 【点睛】明确“这个根方料锯成相等的两段后，表面积比原来增加的50平方厘米”，是这个方料2个正方形底面的面积，是解答此题的关键。 65．15×12＝180(平方米) (15×4＋12×4)×2＋180－20＝376(平方米) 答：需要地砖180平方米，要粉刷的面积是376平方米． 【详解】略 66．140平方米；84千克 【分析】根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入求出教室要粉刷的表面积，再减去门窗和黑板的面积25.6平方米即可，之后用粉刷的面积乘0.6即可求解。 【详解】8×6＋（8×4.2＋6×4.2）×2 ＝48＋（33.6＋25.2）×2 ＝48＋117.6 ＝165.6（平方米） 165.6－25.6＝140（平方米） 140×0.6＝84（千克） 答：一共要粉刷140平方米；共需84千克涂料。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。 67．153.6千克 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体油箱的体积；1立方分米＝1升，把油箱体积单位立方分米化成升；再乘0.8千克，即可求出这个油箱可装油的质量。 【详解】8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方分米） 192立方分米＝192升 192×0.8＝153.6（千克） 答：这个油箱可以装油153.6千克。 【点睛】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。 68．1分米 【分析】将120升水倒入长8分米，宽5分米，高4分米的长方体容器中，水的长是8分米，宽是5分米，根据长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），把数据代入公式，求出水的高度，再用长方体的高减去水的高度，即可求出水面距容器口高度。 【详解】120升＝120立方分米 120÷（8×5） ＝120÷40 ＝3（分米） 4－3＝1（分米） 答：水面距容器口1分米。 【点睛】掌握长方体体积计算公式是解决问题的关键。 69．84立方分米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】7×4×3 ＝28×3 ＝84（立方分米） 答：它的体积是84立方分米。 【点睛】解答此题的关键是掌握长方体的体积的公式。 70．138平方米；34.5千克；2070元 【详解】粉刷面积：(8×4+6×4)×2+8×6-22=138（平方米） 涂料：138÷4=34.5（千克） 费用：138×15=2070（元） 答：粉刷面积是138平方米．一共要用涂料34.5千克．粉刷这个教室需要花费2070元． 71．3.6吨 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，代入数据，求出这个长方体运煤车的车厢体积，再用运煤车的车厢体积乘每立方米煤的重量，即可求出这辆运煤车大约运煤的吨数；得数保留一位小数，就看小数部分第二位，再用四舍五入法取值。 【详解】4.5×0.6×1.32 ＝2.7×1.32 ≈3.6（吨） 答：这辆运煤车大约装煤3.6吨。 72．138平方米；34.5千克 【分析】要求粉刷的面积，也就是求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积，再依条件即可求出需要涂料的重量，由此列式解答即可。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2－22 ＝48＋56×2－22 ＝48＋112－22 ＝138（平方米） 138÷4＝34.5（千克） 答：粉刷面积是138平方米，一共要用涂料34.5千克。 【点睛】此题属于长方体表面积的实际应用，求粉刷的面积，即求长方体五个面的面积（缺少下面）减去门窗面积。 73．42平方分米 【分析】长方体有6个面，相对的面面积相等。根据题意，长方体前、后面积都是10平方分米，上、下底面积都是5平方分米，左、右侧面面积都是6平方分米，据此求出长方体的表面积。 【详解】（10＋5＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方分米） 答：这个长方体的表面积是42平方分米。 【点睛】明确“长方体相对的面完全相同”是解题的关键。 74．40厘米 【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，求出棱长是20厘米的正方体铁块的体积，由于要把它熔铸成4个小长方体，用大正方体的体积除以4即可求出一个小长方体的体积，然后再根据长方体的体积公式：体积÷横截面的面积＝长，把数代入即可求出长方体的长。 【详解】20×20×20 ＝400×20 ＝8000（立方厘米） 8000÷4＝2000（立方厘米） 2000÷50＝40（厘米） 答：每个长方体的长是40厘米。 【点睛】本题主要考查长方体和正方体的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。 学科网（北京）股份有限公司 $$