2.2 不等式的求解（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.2.1-2.2.2 一元一次不等式与一元一次不等式 组的求解 一元二次不等式的求解 沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.2.1 一元一次不等式与一元一次不等式 组的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集.求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式.将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集. 解方程时，往往要先将原先比较复杂的方程变形化为较简单的方程，再通过解这个比较简单的方程来求出原方程的解.同理，解不等式时，常常要通过等价变形，将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集. 探究新知 解：由不等式的性质，当a>0 时，解集为 当a=0时，解集为R; 当a<0时，解集为 例题1 设a 为实数，求一元一次不等式 ax<1的解集. 解：根据不等式的性质，原不等式组等价于 整理得 因此，当a>0 时，解集为 ; 当a≤0时，解集为空集Ø . 例题2 设a 为实数，解一元一次不等式组 1．一元一次不等式组 的解为 ，则a与b的大小关系是____________． 2．关于x的一元一次不等式 的解集为 ____________． ． 练一练 3．若关于x的不等式组 的解集非空集合，则满足条件的最大整数a= ____________． . 0 沪教版（2020） 必修第一册 第二章 等式与不等式 2.2.2 一元二次不等式的求解 在交通事故中，交通管理部门往往通过测量肇事汽车的刹车距离，来推断该车辆实施刹车前的行驶速度，并作为断定司机在肇事前是否有超速违章行为的重要参考依据.假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于20米，试推断该汽车在刹车前的车速是否超过该水泥道路上机动车的限速规定30千米/时.在一般情况下，我们可以采用如下数学模型来描述该种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离d(米)与刹车前的车速v(千米/时)之间的关系①:d=0.2085v+0.0064v². 定义 设a、b、c为实数，且a≠0,形如ax²+bx+c>0(<0,≥0或≤0)的不等式统称为一元二次不等式. 因此，我们需要通过求解不等式0.2085v+0.0064v²>20,来判断v是否大于30.这就是一个一元二次不等式的求解问题. 例3 解不等式(x-3)(x+1)>0. 解：利用不等式的性质，原不等式等价于两个一次式x-3和x+1同号，即等价于不等式组 或 由此得 或 因此，原不等式的解集为这两个不等式组解集的并集 (-∞,-1)U(3,+∞). 由特殊到一般——特殊 例4 解不等式(x-1)(x+4)<0. 解： 利用不等式的性质，原不等式等价于 或 由第一组不等式，得 其解集为(-4,1);而由第二组不等式，得 ,其解集为空集Ø. 因此，原不等式的解集为(-4,1) 下面，我们来讨论如何求解一般的一元二次不等式ax²+bx+c>0与ax²+bx+c<0.不失一般性，我们总假设二次项系数a>0.因为当a<0时，只要在原不等式两边同乘以-1,并改变不等号的方向，就可以转化为a>0的情形. 由特殊到一般—— 一般（△＞0） 通过例3和例4,我们可以发现：一元二次不等式的求解与相应的一元二次方程的求解密切相关. 事实上，当△=b²—4ac>0时，二次方程ax²+bx+c=0有两个不同的实根，记为x1、x2,其中x₁<x₂.利用因式分解，不等式ax²+bx+c>0等价于a(x—x₁)(x—x₂)>0,且由于a>0,进一步地，等价于 (x—x₁)(x—x2)>0. 类似于例3,易知其解集为(一∞,x₁)U(x₂,+∞).相应地，不等式ax²+bx+c<0等价于(x—x₁)(x—x₂)<0. 类似于例4,易知ax²+bx+c<0的解集为(x₁,x2). 同理可知，当a>0时，不等式ax²+bx+c≥0等价于(x—x₁)(x—x₂)≥0,其解集为(一∞,x₁)U(x₂,+∞); 而不等式ax²+bx+c≤0等价于(x—x₁)(x—x2)≤0,其解集为[x₁,x2]. 设方程ax²+bx+c=0(a>0)的判别式△=b²—4ac>0,其两根记为x₁、x2,且x₁<x₂,则可将上述不等式的求解结果总结为下表： 一元二次不等式ax²+bx+c=0(a>0)的解法 从函数观点看一元二次不等式 Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 由特殊到一般——一般（△＞0或=0或＜0） 注：教材上从方程观点看一元二次不等式也要掌握。 Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 没有实数根　 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________ _____________ ___ {x|x<x1或x>x2} R Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ __ __ 提醒　一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． ∅ ∅ {x|x1<x<x2} 20 21 22 23 化标准 判别式 24 求实根 画草图 写解集 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 类型1　一元二次不等式的求解 【例5】　解下列不等式． (1)2x2－3x－2>0； [解]　方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2． 因为对应函数的图象是开口向上的抛物线， 所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，或x>2))))． (2)－3x2＋6x－2>0； [解]　不等式可化为3x2－6x＋2<0． 因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－eq \f(\r(3),3)，x2＝1＋eq \f(\r(3),3)．因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),3)<x<1＋\f(\r(3),3)))))． (3)4x2－4x＋1≤0； [解]　方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq \f(1,2)，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)))))． (4)x2－2x＋2>0． [解]　因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R． 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)______．根据图象写出不等式的解集． [跟进训练] 1．解下列不等式． (1)4x2－20x<－25； [解]　不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅． (2)(x－3)(x－7)<0； [解]　由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7}． (3)－3x2＋5x－4<0； [解]　不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R． (4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1． [解]　不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0． 因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是eq \f(1,3)，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1))))． (1)对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？(2)当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ 类型2　含参数的一元二次不等式的解法 【例6】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0． [解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1． 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0． 当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0， ∵eq \f(1,a)<1，∴x<eq \f(1,a)或x>1． 当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0． 若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)<x<1； 若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅； 若eq \f(1,a)>1，即0<a<1，则1<x<eq \f(1,a)． 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))，或x>1))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))． (2)a＝1时，不等式的解为空集； (3)a＜1时，不等式的解为a＜x＜1． 综上可知，a＞1时解集是{x|1＜x＜a}；a＝1时，解集为∅；a＜1时解集为{x|a＜x＜1}． [母题探究] 将本例中不等式变为“x2－(a＋1)x＋a＜0”，解这个不等式． [解]　原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0． 讨论a与1的大小． (1)a＞1时，不等式的解为1＜x＜a； 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 $$