精品解析：山东省菏泽市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

2023—2024学年高二下学期教学质量检测 数学试题 2024.07 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，当位移大小为9时，质点运动的速度大小为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 若服从两点分布，，则为（ ） A. 0.32 B. 0.34 C. 0.66 D. 0.68 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 4. 已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 若能被25整除，则正整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 180 7. 在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知随机变量，若，则（ ） A B. C. D. 10. 已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 曲线在处的切线方程为 11. 假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 2025年的年销售量约为34.4万辆 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 13. 函数的极小值为__________. 14. 定义：设是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数.则__________，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 （1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ （2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 由这四个数组成无重复数字的四位数中. （1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）； （2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为，求的分布列与期望. 17. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 18. 已知离散型随机变量服从二项分布. （1）求证：，且为大于1的正整数； （2）求证：； （3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是的一个极大值点，求的取值范围； （3）令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高二下学期教学质量检测 数学试题 2024.07 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，当位移大小为9时，质点运动的速度大小为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】令求出，再求出函数的导函数，代入计算可得. 【详解】因为，令，解得（负值已舍去）， 又，所以， 所以当位移大小为9时，质点运动的速度大小为. 故选：D 2. 若服从两点分布，，则为（ ） A. 0.32 B. 0.34 C. 0.66 D. 0.68 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点分布的性质可得答案. 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 4. 已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 5. 若能被25整除，则正整数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案 【详解】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C 6. 从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】分两步完成，第一步从张卡片中任取张卡片放入、，第二步从剩下的张卡片中任取张卡片放入、，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先从张卡片中任取张卡片放入、（较大数放入）有种方法； 再从剩下的张卡片中任取张卡片放入、（较大的数放入）有种方法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：C 7. 在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 8. 已知函数，若，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用导数先研究函数和图象性质，并得到在上恒成立，若，可知，若，则显然，若，由，所以，综上所述，. 【详解】由，， 当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， ，且， 设，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， ， 设， 则 设，则， 设，则恒成立， 所以在单调递增，， 即恒成立，所以在单调递增， 则，即恒成立， 所以在单调递增，则， 所以在上恒成立，在显然也成立，如图， 若，可知， 若，则显然， 若，由，所以， 综上所述， 故选：A 【点睛】关键点点睛：设，利用导数得到在上恒成立，若，可知；若，则显然，若，由，所以，综上所述，. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可判断A、B，根据正态分布定义及期望与方差的性质可判断C、D. 【详解】对于A，因为，， 所以，故A正确； 对于B，因为，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知曲线在原点处的切线与曲线在处的切线重合，则（ ） A. B. C. D. 曲线在处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的导函数，依题意，即可判断A，又曲线在原点处的切线过点，即可得到，即可判断C，再由求出，即可判断B、D. 【详解】令，则， 依题意，解得，故A正确； 依题意可得曲线在原点处的切线过点，所以，故C正确； 又，所以， 则曲线在处的切线方程为，故B错误，D正确. 故选：ACD 11. 假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 2025年的年销售量约为34.4万辆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线性回归方程待定系数公式，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点，就可得到线性回归方程. 【详解】由可得：， 同理由，可得， 根据公式，故A正确；B错误； 由表格中数据可得：， ， ， 所以， 由于，所以与的回归方程必过原点，， 又由于，代入得： ，整理得：，故C正确； 当，即表示2025年，此时， 所以2025年的年销售量约为万辆，故D错误； 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】依题意、不在第一名且不在第四名，分在第四名与不在第四名两种情况讨论. 【详解】依题意、不第一名且不在第四名， 若在第四名，先排到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 若不在第四名，则先排、到第二、三名两个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 综上可得这4人的名次排列有种. 故答案为： 13. 函数的极小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 14. 定义：设是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数.则__________，__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式求，求出、，即可求. 【详解】由题意，事件“”表示该射击手进行次射击且在第二次、第五次击中目标， 所以， 又， ，， 所以 . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给公式理解并准确的应用. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 （1）对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ （2）若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 分析】（1）求出值，与2.706比较大小，得出结论即可； （2）运用古典概型和条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：分类变量X与Y相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.． 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联． 【小问2详解】 设事件A为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”， 事件为“这2名学生均在南餐厅就餐”， 则． 故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为． 16. 由这四个数组成无重复数字的四位数中. （1）求两个奇数相邻的四位数的个数（结果用数字作答）； （2）记夹在两个奇数之间的偶数个数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）分0在个位、0在十位和0在百位三类求解； （2）由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X可能的取值分别为0，1，2，求出其分布列，并利用期望公式求解. 【小问1详解】 两个奇数相邻的无重复数字的四位数有如下三种情况： ①0在个位上时有个四位数，②0在十位上时有个四位数， ③0在百位上时有个四位数， 所以满足条件的四位数的个数共有个． 【小问2详解】 由题意知夹在两个奇数之间的偶数个数X可能的取值分别为0，1，2， 则，， ， 的分布列为 X 0 1 2 P 期望为． 17. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若的图象恒在轴的上方，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为恒成立，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可. 【小问1详解】 由，则，， ，， 代入得， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 由图象恒在轴上方，则恒成立， 即在上恒成立， 令，即， ，令，则， 所以在上为单调递增函数且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，单调递增； 所以为函数的最小值，即． 所以综上可知． 18. 已知离散型随机变量服从二项分布. （1）求证：，且为大于1的正整数； （2）求证：； （3）一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）最大时的值小于的大小 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式分析证明； （2）根据二项分布结合二项式定理分析证明； （3）分析可知随机变量，结合二项分布概率公式可得概率最大，进而与期望对比分析. 【小问1详解】 左边， 右边， 所以左边=右边，即； 【小问2详解】 由知， 令由（1）知可得， ， 令，则， ； 【小问3详解】 由题意知，所以， 要使最大，则必有，， 即 即解得， 又因为，所以． 最大时的值小于． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若是的一个极大值点，求的取值范围； （3）令且是的两个极值点，是的一个零点，且互不相等.问是否存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由. 【答案】（1）单调递减区间为，，单调递增区间为， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）令，即可判断有两个不等实根，，不妨设，再对、、的大小关系分类讨论，即可得到，从而求出的范围； （3）求出函数的导函数，即可得到，，再确定，根据等差数列的定义求出即可. 【小问1详解】 由得， 当，时，， 令，解得，，， 所以当或时， 当或时， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为，. 小问2详解】 函数的定义域为，且， 令， 则． 所以有两个不等实根，，不妨设． ①当或时，不是的极值点，此时不合题意； ②当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以不是的极大值点， ③当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以不是的极大值点， ④当时，则或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点． 所以，即， 所以，所以的取值范围． 【小问3详解】 由，知， 由，故， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 不妨设的两个极值点分别为，． 因为互不相等，是的一个零点，所以， 所以， 所以存在，使成等差数列， 即存在实数，使得按照某种顺序排列后构成等差数列，且． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$