1.4.2 充要条件（2024优化版）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

授课：XXX 第 1.4.2 节 充要条件 若 ，则 学习目标 初步学会使用充要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养. 03 理解充要条件的意义. 01 能进行有关充要条件的判断. 02 核心素养 逻辑推理 判断命题的充要条件. 数学抽象 充要条件的含义. 知识回顾 命题真假 推出关系 条件关系 充分条件与必要条件： 是 的充分条件， 是 的必要条件. 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ”为假命题 充要条件 Part 01 新知探究 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 问题 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则； （4）若 是空集，则 与 均是空集. 命题“若 ，则 ”的逆命题是什么？ 新知探究 将命题“若 ，则”中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则”，称这个命题为原命题的逆命题. 逆命题 新知探究 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个 三角形全等； ：两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等 ：两个三角形全等 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. 原命题： 真命题 真命题 逆命题： 新知探究 （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； ：两个三角形全等 ：两个三角形的周长相等 逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 原命题： 真命题 假命题 逆命题： 新知探究 （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则； ：一元二次方程 有两个不相等的实数根 ： 逆命题：若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根. 原命题： 假命题 真命题 逆命题： 新知探究 （4）若 是空集，则 与 均是空集. ： 是空集 ： 与 均是空集 逆命题：若 与 均是空集，则 是空集. 原命题： 真命题 真命题 逆命题： 充要条件的概念 如果“若 ，则 ”和它的逆命题 “若 ，则”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件. 充要条件的概念 在上述四个命题中，哪个命题的 是 的充要条件？ 问题 命题（1）（4）中的 与 的互为充要条件. 命题（1）“若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等. 命题（4）若 是空集，则 与 均是空集. 原命题： 逆命题： 原命题： 逆命题： 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形， 所以，，， 所以 不是 的充要条件. 应是菱形 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （2）因为“若 ，则 ”是相似三角形的性质定理， “若 ，则” 是相似三角形的判定定理， 所以它们均为真命题，即 ， 所以 是 的充要条件. 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （3）因为 时，， 不一定成立， 所以，，， 所以 不是 的充要条件. 也有可能 ， 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （4）因为“若 ，则 ”与“若 ，则” 均为真命题， 即 ， 所以 是 的充要条件. 例题解析 如何判断 是 的充要条件？ 问题 将判断充要条件的问题转化为判断原命题和逆命题真假的问题. 当 和 都成立时， 是 的充要条件. 当 和 有一个不成立时， 就不是 的充要条件. 定义与充要条件的关系 不唯一. 例如，“四边形是平行四边形”的充要条件： ①四边形的两组对角分别相等 ②四边形的两组对边分别相等 ③四边形的两组对边分别平行 ④四边形的一组对边平行且相等 ⑤四边形的对角线互相平分 若 ，则 为 的充要条件， 唯一吗？请举例说明. 问题 定义与充要条件的关系 先看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念， 据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式. 例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形； 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. 我们已经知道判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？ 问题 定义与充要条件的关系 我们已经知道判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？ 问题 数学定义和充要条件的关系： 数学定义是从充分性和必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了一个数学对象. 定义与充要条件的关系 “两个三角形全等”的充要条件： ①两个三角形的三边对应相等 ②两个三角形的两边及其夹角对应相等 ③两个三角形的两角及其夹边对应相等 ④两个三角形两角及其一角的对边对应相等 你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗？ 问题 定义与充要条件的关系 你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗？ 问题 据此我们给出“三角形全等”的其他定义形式： ①三边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ②两边及其夹角对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ③两角及其夹边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ④两角及其一角的对边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 例题解析 分析： 如何证明充要条件？ 根据充要条件的定义， 证明充要条件要从充分性和必要性两个方面分别证明. 设 ：，：直线 与相切. 要证明 是 的充要条件， 则充分性为 “”， 必要性为“”. 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 例题解析 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 证明： 设 ：，：直线 与相切. （1）充分性 ()： 如图，作 于点，则 . 若 ，则点在上. 在直线 上任取一点(异于点)，连接. 在中，. 所以，除点 外直线 上的点都在的外部， 即直线 与 仅有一个公共点. 所以直线 与相切. 例题解析 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 证明： 设 ：，：直线 与相切. （2）必要性 ()： 若直线 与相切， 不妨设切点为 ， 则 . 因此，. 由（1）（2）可得， 是直线 与相切的充要条件. 例题解析 证明充要条件的注意点： 若证明“ 是 的充要条件” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 若证明“ 的充要条件是 ” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （1）因为“若 ，则 ”与“若 ，则”均为真命题， 即 ， 所以 是 的充要条件. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （2）因为 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补， 因此 ， 所以 不是 的充要条件. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （3）取，， 显然 ，但 与 均不为空集， 因此 ， 所以 不是 的充要条件. 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 分析： 若证明“ 的充要条件是 ” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 设 ：梯形为等腰梯形，：. 要证明 的充要条件是 ， 则充分性为 “”， 必要性为“”. 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. （1）必要性： 在等腰梯形中，，， 又因为 ， 所以 ， 所以 . 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. （2）充分性： 如图，过点作，交的延长线于点. 因为 ，， 所以四边形是平行四边形. 所以 . 1 2 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. 因为 ， 所以 ，所以 . 又因为 ， 所以 ， 所以 . 1 2 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. 在和中， 所以 . 所以 . 所以梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件为. 1 2 小结及 Part 02 随堂练习 课堂小结 充分条件与必要条件 充分条件 必要条件 充要条件 判定定理 性质定理 数学定义 课堂小结 原命题 逆命题 与的关系 结论 ，但 真 在所有命题中，和的关系可以分成哪几类？你能逐一举例说明吗？ 问题 假 假 真 真 真 假 假 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 ，且 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 随堂练习 1、设 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 当 时， 成立. 若 ，，得 ，不一定得到. 随堂练习 2、如果是的必要不充分条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ） 【解析】 由条件，知 ， 即 ，但 ，故选A. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 随堂练习 3、设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（ ） ①； ②； ③； ④ . 【解析】 由如图所示的Venn图可知， ①②③④都是充要条件. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 4、下列 是 的充要条件的是（ ） A. ：，： B. ：，： C. ：，： D. ：，： 【解析】 选项A中 可为0，不符合. 选项B中 解得或，符合题意. 选项C中，，但 ，故是的充分不必要条件，不符合. 选项D中， ，但 ，故是的充分不必要条件，不符合. 随堂练习 5、设 是实数，则“”是“”的 条件. 【解析】 若，取，，则不成立； 反之，若，取，，则也不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 既不充分也不必要 随堂练习 6、已知，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围 . 【解析】 解出， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集. 所以 随堂练习 7、设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是 . 【解析】 ，因为 是整数， 即 为整数，所以为整数， 且 ，又 ， 取 ， 验证可得 符合题意， 所以时可以推出一元二次方程有整数根. 3 或 4 随堂练习 8、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【解析】 （1）充分性： ∵ ，∴ ， 代入方程 得 ， 即 . ∴ 关于 的方程 有一个根为1. 随堂练习 8、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【解析】 （2）必要性： ∵ 方程 有一个根为1， ∴ 满足方程 ， ∴ ，即 . 由（1）（2）可得，关于的方程有一个根为1的充要条件是. 授课：XXX 第 1.4.2 节 谢谢观看 若 ，则 $$ 授课：XXX 第 1.4.2 节 充要条件 若 ，则 学习目标 初步学会使用充要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养. 03 理解充要条件的意义. 01 能进行有关充要条件的判断. 02 核心素养 逻辑推理 判断命题的充要条件. 数学抽象 充要条件的含义. 知识回顾 命题真假 推出关系 条件关系 充分条件与必要条件： 是 的充分条件， 是 的必要条件. 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ”为假命题 充要条件 Part 01 新知探究 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 问题 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则； （4）若 是空集，则 与 均是空集. 命题“若 ，则 ”的逆命题是什么？ 新知探究 将命题“若 ，则”中的条件 和结论 互换，就得到一个新的命题“若 ，则”，称这个命题为原命题的逆命题. 逆命题 新知探究 （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个 三角形全等； ：两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等 ：两个三角形全等 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等. 原命题： 真命题 真命题 逆命题： 新知探究 （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； ：两个三角形全等 ：两个三角形的周长相等 逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. 原命题： 真命题 假命题 逆命题： 新知探究 （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则； ：一元二次方程 有两个不相等的实数根 ： 逆命题：若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根. 原命题： 假命题 真命题 逆命题： 新知探究 （4）若 是空集，则 与 均是空集. ： 是空集 ： 与 均是空集 逆命题：若 与 均是空集，则 是空集. 原命题： 真命题 真命题 逆命题： 充要条件的概念 如果“若 ，则 ”和它的逆命题 “若 ，则”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件. 充要条件的概念 在上述四个命题中，哪个命题的 是 的充要条件？ 问题 命题（1）（4）中的 与 的互为充要条件. 命题（1）“若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等. 命题（4）若 是空集，则 与 均是空集. 原命题： 逆命题： 原命题： 逆命题： 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形， 所以，，， 所以 不是 的充要条件. 应是菱形 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （2）因为“若 ，则 ”是相似三角形的性质定理， “若 ，则” 是相似三角形的判定定理， 所以它们均为真命题，即 ， 所以 是 的充要条件. 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （3）因为 时，， 不一定成立， 所以，，， 所以 不是 的充要条件. 也有可能 ， 例题解析 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ 例3 （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）：， ：； （4）：是一元二次方程 的一个根，：. 解： （4）因为“若 ，则 ”与“若 ，则” 均为真命题， 即 ， 所以 是 的充要条件. 例题解析 如何判断 是 的充要条件？ 问题 将判断充要条件的问题转化为判断原命题和逆命题真假的问题. 当 和 都成立时， 是 的充要条件. 当 和 有一个不成立时， 就不是 的充要条件. 定义与充要条件的关系 不唯一. 例如，“四边形是平行四边形”的充要条件： ①四边形的两组对角分别相等 ②四边形的两组对边分别相等 ③四边形的两组对边分别平行 ④四边形的一组对边平行且相等 ⑤四边形的对角线互相平分 若 ，则 为 的充要条件， 唯一吗？请举例说明. 问题 定义与充要条件的关系 先看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念， 据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式. 例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形； 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. 我们已经知道判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？ 问题 定义与充要条件的关系 我们已经知道判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么，充要条件和什么有关系呢？ 问题 数学定义和充要条件的关系： 数学定义是从充分性和必要性两个方向刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了一个数学对象. 定义与充要条件的关系 “两个三角形全等”的充要条件： ①两个三角形的三边对应相等 ②两个三角形的两边及其夹角对应相等 ③两个三角形的两角及其夹边对应相等 ④两个三角形两角及其一角的对边对应相等 你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗？ 问题 定义与充要条件的关系 你能根据“两个三角形全等”的充要条件，给出“三角形全等”的其他定义形式吗？ 问题 据此我们给出“三角形全等”的其他定义形式： ①三边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ②两边及其夹角对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ③两角及其夹边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 ④两角及其一角的对边对应相等的两个三角形叫做全等三角形 例题解析 分析： 如何证明充要条件？ 根据充要条件的定义， 证明充要条件要从充分性和必要性两个方面分别证明. 设 ：，：直线 与相切. 要证明 是 的充要条件， 则充分性为 “”， 必要性为“”. 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 例题解析 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 证明： 设 ：，：直线 与相切. （1）充分性 ()： 如图，作 于点，则 . 若 ，则点在上. 在直线 上任取一点(异于点)，连接. 在中，. 所以，除点 外直线 上的点都在的外部， 即直线 与 仅有一个公共点. 所以直线 与相切. 例题解析 已知：的半径为，圆心 到直线的距离为 . 求证： 是直线 与相切的充要条件. 例4 证明： 设 ：，：直线 与相切. （2）必要性 ()： 若直线 与相切， 不妨设切点为 ， 则 . 因此，. 由（1）（2）可得， 是直线 与相切的充要条件. 例题解析 证明充要条件的注意点： 若证明“ 是 的充要条件” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 若证明“ 的充要条件是 ” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （1）因为“若 ，则 ”与“若 ，则” 均为真命题， 即 ， 所以 是 的充要条件. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （2）因为 内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补， 因此 ， 所以 不是 的充要条件. 跟踪训练 1. 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形，：三角形存在两角相等； （2）： 内两条弦相等，：内两条弦所对的圆周角相等； （3）：为空集，： 与 之一为空集. 解： （3）取，， 显然 ，但 与 均不为空集， 因此 ， 所以 不是 的充要条件. 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 分析： 若证明“ 的充要条件是 ” ， 则充分性为 “”，必要性为“”. 设 ：梯形为等腰梯形，：. 要证明 的充要条件是 ， 则充分性为 “”， 必要性为“”. 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. （1）必要性： 在等腰梯形中，，， 又因为 ， 所以 ， 所以 . 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. （2）充分性： 如图，过点作，交的延长线于点. 因为 ，， 所以四边形是平行四边形. 所以 . 1 2 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. 因为 ， 所以 ，所以 . 又因为 ， 所以 ， 所以 . 1 2 跟踪训练 2. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明： 设 ：梯形为等腰梯形，：. 在和中， 所以 . 所以 . 所以梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件为. 1 2 小结及 Part 02 随堂练习 课堂小结 充分条件与必要条件 充分条件 必要条件 充要条件 判定定理 性质定理 数学定义 课堂小结 原命题 逆命题 与的关系 结论 ，但 真 在所有命题中，和的关系可以分成哪几类？你能逐一举例说明吗？ 问题 假 假 真 真 真 假 假 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 ，且 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件 随堂练习 1、设 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 当 时， 成立. 若 ，，得 ，不一定得到. 随堂练习 2、如果是的必要不充分条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ） 【解析】 由条件，知 ， 即 ，但 ，故选A. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 随堂练习 3、设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（ ） ①； ②； ③； ④ . 【解析】 由如图所示的Venn图可知， ①②③④都是充要条件. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 随堂练习 4、下列 是 的充要条件的是（ ） A. ：，： B. ：，： C. ：，： D. ：，： 【解析】 选项A中 可为0，不符合. 选项B中 解得或，符合题意. 选项C中，，但 ，故是的充分不必要条件，不符合. 选项D中， ，但 ，故是的充分不必要条件，不符合. 随堂练习 5、设 是实数，则“”是“”的 条件. 【解析】 若，取，，则不成立； 反之，若，取，，则也不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 既不充分也不必要 随堂练习 6、已知，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围 . 【解析】 解出， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集. 所以 随堂练习 7、设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是 . 【解析】 ，因为 是整数， 即 为整数，所以为整数， 且 ，又 ， 取 ， 验证可得 符合题意， 所以时可以推出一元二次方程有整数根. 3 或 4 随堂练习 8、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【解析】 （1）充分性： ∵ ，∴ ， 代入方程 得 ， 即 . ∴ 关于 的方程 有一个根为1. 随堂练习 8、求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【解析】 （2）必要性： ∵ 方程 有一个根为1， ∴ 满足方程 ， ∴ ，即 . 由（1）（2）可得，关于的方程有一个根为1的充要条件是. 授课：XXX 第 1.4.2 节 谢谢观看 若 ，则 $$