1.4.1 充分条件与必要条件（2024优化版）-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

授课：XXX 充分条件与 必要条件 第 1.4.1 节 若 ，则 学习目标 初步学会使用充分条件和必要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养. 03 理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 01 理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 02 核心素养 逻辑推理 判断命题的充分条件、必要条件. 数学抽象 充分条件、必要条件的含义. 新课导入 在初中，我们学习过命题. 什么是命题？命题通常写成什么形式？什么是真命题和假命题？你能列举一些数学命题吗？ 问题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 命题 真命题 判断为真的语句是 命题可以写成“若 ，则 ”“如果 ，那么 ”等形式. 【 其中 称为命题的条件， 称为命题的结论 】 判断为假的语句是 假命题 新课导入 在初中，我们学习过命题. 什么是命题？命题通常写成什么形式？什么是真命题和假命题？你能列举一些数学命题吗？ 问题 对顶角相等. 两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 充分条件与 Part 01 必要条件 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（1）（4）中，由条件 通过推理可以得出结论 ， 所以它们是真命题. 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（2）中，由条件 不能得出结论 ，是假命题. 例如边长分别为3，4，5的三角形和边长为4的等边三角形. 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（3）中，由条件 不能得出结论 ，是假命题. 方程 应还有1个解 . 充分条件与必要条件的概念 一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 . 这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 . 记作 此时，我们说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 在上述四个命题中，是的充分条件吗？是的必要条件吗？ 问题 命题（1）（4）中的是的充分条件， 是的必要条件， 而命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件. 命题（1）“若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形”. “平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件， “这个平行四边形是菱形”是“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 在上述四个命题中，是的充分条件吗？是的必要条件吗？ 问题 命题（1）（4）中的是的充分条件， 是的必要条件， 而命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件. 命题（4）“若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ”. “平面内两条直线 和 均垂直于直线 ”是“”的充分条件， “”是“平面内两条直线 和 均垂直于直线 ”的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 （1）对于命题（1），如果 不成立，那么 成立吗？也就是“若平行四边形不是菱形，则这个平行四边形的对角线互相垂直”成立吗？ （2）同样地，对于命题（4），如果 不成立，那么 成立吗？也就是“若平面内直线 和 不平行，则直线 和 均垂直于直线 ”成立吗？ 问题 对于命题（1）（4），如果 不成立，则 一定不成立. 充分条件与必要条件的概念 对于“若 ，则 ”形式的真命题，如果 不成立，则 一定不成立吗？为什么？ 问题 如果 成立，则 一定成立. 如果 不成立，则 一定不成立. 对于 成立而言是必要的，因此 是 的必要条件. 不成立 成立 成立 矛盾！ 必要条件的意义 原因 ⇒ ⇒ 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （1）这是一条平行四边形的判定定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （2）这是一条相似三角形的判定定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （4）由于 ，但 ， ，所以 不是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （5）由等式的性质知， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （6）为无理数，但 为有理数， ，所以 不是 的充分条件. 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 问题 不唯一. 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 问题 所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）及上述命题①②③这些充分条件都是初中学习的平行四边形的什么定理？ 问题 均是平行四边形的判定定理. 所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形. 判定定理与充分条件的关系 请举例说明：数学中的判定定理都给出了判定相应数学对象的一个充分条件. 问题 平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件. 例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”. 判定定理与充分条件的关系 我们说 是 的充分条件，是指由条件 可以推出结论 ，但这并不意味着只能由这个条件 才能推出结论 . 一般来说，对给定结论 ，使得 成立的条件 是不唯一的. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （1）这是平行四边形的一条性质定理， ，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （2）这是三角形相似的一条性质定理， ，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （3）如图，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （4）显然，，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （5）由于 ，但 ， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （6）由于 为无理数，但 ， 不全是无理数， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 一般地，要判断“若 ，则 ”形式的命题中 是否为 的必要条件， 只需判断是否有“”， 即“若 ，则 ”是否为真命题. 如何判断 是否为 的必要条件？ 问题 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 问题 不唯一. 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分. 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 问题 这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）及上述命题①②③这些必要条件都是初中学习的平行四边形的什么定理？ 问题 均是平行四边形的性质定理. 所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件. 性质定理与必要条件的关系 请举例说明：数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 问题 平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件. 例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”. 性质定理与必要条件的关系 我们说 是 的必要条件，是指以 为条件可以推出结论 ，但这并不意味着由条件 只能推出结论 . 一般来说，给定条件 ，由 可以推出的结论 是不唯一的. 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （1）这是线段垂直平分线的性质定理， ，所以 是 的充分条件. 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （2）如图，两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， ，所以 不是 的充分条件. 与 不全等 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （3）这是三角形相似的一条性质定理， ，所以 是 的充分条件. 跟踪训练 2. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ （1）若直线 与有且仅有一个交点，则 为 的一条切线； （2）若 是无理数，则 也是无理数. 解： （1）这是圆的切线定义， ，所以 是 的必要条件. （2） 是无理数，但 不是无理数， ，所以 不是 的必要条件. 跟踪训练 3. 如图，直线 与 被直线 所截，分别得到了，，和. 请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件. 解： “”的充分条件： ，，. 2 4 3 1 “”的必要条件： ，，. 小结及 Part 02 随堂练习 课堂小结 命题真假 推出关系 条件关系 充分条件与必要条件： 是 的充分条件， 是 的必要条件. 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ”为假命题 课堂小结 充分条件与判定定理、必要条件和性质定理的关系： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 随堂练习 1、如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件；② 是的必要条件；③是的充分条件；④是的必要条件，其中一定正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【解析】 根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的充分条件，所以①④正确，所以正确选项为B. 随堂练习 2、下列“若 ，则 ”形式的命题中，是的充分条件的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【解析】 B项中， 或 ； C项中，当 时， 无意义； D项中，当 ⇒ . 所以B，C，D中 不是 的充分条件. 随堂练习 3、 的一个必要条件为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ，， 而 ，. 随堂练习 4、对任意实数，下列命题中，真命题是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【解析】 ∵“”⇒“”⇒“”⇒“”， ∴ “” 是“”的必要条件. 随堂练习 5、已知 都是 的必要条件， 是 的充分条件，则 是 的 条件， 是 的 条件， 是 的 条件. 【解析】 将题目条件借助于推出符号表示为 是 的充分条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件. 充分 充分 必要 随堂练习 6、条件，条件，若是的充分条件，则的取值范围是 【解析】 ∵ 若是的充分条件，则 ， 也就是说， 对应集合是 对应集合的子集， 所以 . 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 （1）欲使是 或 的充分条件， （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 则只要 ， 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 即只需 ，所以 . （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 故存在实数，使是 或 的充分条件. 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 （2）欲使是 或 的必要条件， （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 则只要 ， 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 这是不可能的. （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 故不存在实数，使是 或 的必要条件. 授课：XXX 第 1.4.1 节 谢谢观看 若 ，则 $$ 授课：XXX 充分条件与 必要条件 第 1.4.1 节 若 ，则 学习目标 初步学会使用充分条件和必要条件进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养. 03 理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 01 理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 02 核心素养 逻辑推理 判断命题的充分条件、必要条件. 数学抽象 充分条件、必要条件的含义. 新课导入 在初中，我们学习过命题. 什么是命题？命题通常写成什么形式？什么是真命题和假命题？你能列举一些数学命题吗？ 问题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 命题 真命题 判断为真的语句是 命题可以写成“若 ，则 ”“如果 ，那么 ”等形式. 【 其中 称为命题的条件， 称为命题的结论 】 判断为假的语句是 假命题 新课导入 在初中，我们学习过命题. 什么是命题？命题通常写成什么形式？什么是真命题和假命题？你能列举一些数学命题吗？ 问题 对顶角相等. 两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 充分条件与 Part 01 必要条件 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（1）（4）中，由条件 通过推理可以得出结论 ， 所以它们是真命题. 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（2）中，由条件 不能得出结论 ，是假命题. 例如边长分别为3，4，5的三角形和边长为4的等边三角形. 新知探究 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ 问题 （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 . 在命题（3）中，由条件 不能得出结论 ，是假命题. 方程 应还有1个解 . 充分条件与必要条件的概念 一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由 通过推理可以得出 . 这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 并且说， 是 的充分条件， 是 的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 . 记作 此时，我们说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 在上述四个命题中，是的充分条件吗？是的必要条件吗？ 问题 命题（1）（4）中的是的充分条件， 是的必要条件， 而命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件. 命题（1）“若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形”. “平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件， “这个平行四边形是菱形”是“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 在上述四个命题中，是的充分条件吗？是的必要条件吗？ 问题 命题（1）（4）中的是的充分条件， 是的必要条件， 而命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件. 命题（4）“若平面内两条直线 和 均垂直于直线 ，则 ”. “平面内两条直线 和 均垂直于直线 ”是“”的充分条件， “”是“平面内两条直线 和 均垂直于直线 ”的必要条件. 充分条件与必要条件的概念 （1）对于命题（1），如果 不成立，那么 成立吗？也就是“若平行四边形不是菱形，则这个平行四边形的对角线互相垂直”成立吗？ （2）同样地，对于命题（4），如果 不成立，那么 成立吗？也就是“若平面内直线 和 不平行，则直线 和 均垂直于直线 ”成立吗？ 问题 对于命题（1）（4），如果 不成立，则 一定不成立. 充分条件与必要条件的概念 对于“若 ，则 ”形式的真命题，如果 不成立，则 一定不成立吗？为什么？ 问题 如果 成立，则 一定成立. 如果 不成立，则 一定不成立. 对于 成立而言是必要的，因此 是 的必要条件. 不成立 成立 成立 矛盾！ 必要条件的意义 原因 ⇒ ⇒ 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （1）这是一条平行四边形的判定定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （2）这是一条相似三角形的判定定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （4）由于 ，但 ， ，所以 不是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （5）由等式的性质知， ，所以 是 的充分条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ 例1 （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若 为无理数，则为无理数. 解： （6）为无理数，但 为有理数， ，所以 不是 的充分条件. 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 问题 不唯一. 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？ 问题 所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 判定定理与充分条件的关系 例1中命题（1）及上述命题①②③这些充分条件都是初中学习的平行四边形的什么定理？ 问题 均是平行四边形的判定定理. 所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形. 判定定理与充分条件的关系 请举例说明：数学中的判定定理都给出了判定相应数学对象的一个充分条件. 问题 平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件. 例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”. 判定定理与充分条件的关系 我们说 是 的充分条件，是指由条件 可以推出结论 ，但这并不意味着只能由这个条件 才能推出结论 . 一般来说，对给定结论 ，使得 成立的条件 是不唯一的. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （1）这是平行四边形的一条性质定理， ，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （2）这是三角形相似的一条性质定理， ，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （3）如图，四边形的对角线互相垂直，但它不是菱形， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （4）显然，，所以 是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （5）由于 ，但 ， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； （4）若 ，则 ； （5）若 ，则 ； （6）若为无理数，则 为无理数. 解： （6）由于 为无理数，但 ， 不全是无理数， ，所以 不是 的必要条件. 例题解析 一般地，要判断“若 ，则 ”形式的命题中 是否为 的必要条件， 只需判断是否有“”， 即“若 ，则 ”是否为真命题. 如何判断 是否为 的必要条件？ 问题 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 问题 不唯一. 例如，我们知道，下列命题均为真命题： ①若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分. 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？ 问题 这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 性质定理与必要条件的关系 例2中命题（1）及上述命题①②③这些必要条件都是初中学习的平行四边形的什么定理？ 问题 均是平行四边形的性质定理. 所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件. 性质定理与必要条件的关系 请举例说明：数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 问题 平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件. 例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”. 性质定理与必要条件的关系 我们说 是 的必要条件，是指以 为条件可以推出结论 ，但这并不意味着由条件 只能推出结论 . 一般来说，给定条件 ，由 可以推出的结论 是不唯一的. 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （1）这是线段垂直平分线的性质定理， ，所以 是 的充分条件. 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （2）如图，两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， ，所以 不是 的充分条件. 与 不全等 跟踪训练 1. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？ （1）若平面内点在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 解： （3）这是三角形相似的一条性质定理， ，所以 是 的充分条件. 跟踪训练 2. 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ （1）若直线 与有且仅有一个交点，则 为 的一条切线； （2）若 是无理数，则 也是无理数. 解： （1）这是圆的切线定义， ，所以 是 的必要条件. （2） 是无理数，但 不是无理数， ，所以 不是 的必要条件. 跟踪训练 3. 如图，直线 与 被直线 所截，分别得到了，，和. 请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件. 解： “”的充分条件： ，，. 2 4 3 1 “”的必要条件： ，，. 小结及 Part 02 随堂练习 课堂小结 命题真假 推出关系 条件关系 充分条件与必要条件： 是 的充分条件， 是 的必要条件. 不是 的充分条件， 不是 的必要条件. “若 ，则 ”为真命题 “若 ，则 ”为假命题 课堂小结 充分条件与判定定理、必要条件和性质定理的关系： 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 随堂练习 1、如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件；② 是的必要条件；③是的充分条件；④是的必要条件，其中一定正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【解析】 根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的充分条件，所以①④正确，所以正确选项为B. 随堂练习 2、下列“若 ，则 ”形式的命题中，是的充分条件的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【解析】 B项中， 或 ； C项中，当 时， 无意义； D项中，当 ⇒ . 所以B，C，D中 不是 的充分条件. 随堂练习 3、 的一个必要条件为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ，， 而 ，. 随堂练习 4、对任意实数，下列命题中，真命题是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【解析】 ∵“”⇒“”⇒“”⇒“”， ∴ “” 是“”的必要条件. 随堂练习 5、已知 都是 的必要条件， 是 的充分条件，则 是 的 条件， 是 的 条件， 是 的 条件. 【解析】 将题目条件借助于推出符号表示为 是 的充分条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件. 充分 充分 必要 随堂练习 6、条件，条件，若是的充分条件，则的取值范围是 【解析】 ∵ 若是的充分条件，则 ， 也就是说， 对应集合是 对应集合的子集， 所以 . 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 （1）欲使是 或 的充分条件， （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 则只要 ， 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 即只需 ，所以 . （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 故存在实数，使是 或 的充分条件. 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 （2）欲使是 或 的必要条件， （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 则只要 ， 随堂练习 7、（1）是否存在实数 ，使是 或 的充分条件？ 【解析】 这是不可能的. （2）是否存在实数 ，使是 或 的必要条件？ 故不存在实数，使是 或 的必要条件. 授课：XXX 第 1.4.1 节 谢谢观看 若 ，则 $$