第02讲 二次函数的图象与性质（1）（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第02讲 二次函数的图象与性质 课程标准 学习目标 ①的图象与性质 ②的平移与一般形式的平移 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握二次函数与的平移，并能够通过平移规律解决相关题目。 知识点01 的图象 1. 二次函数的图象： 二次函数的图象是一条 ，有 ， ， 。函数图象关于对称轴对称。 2. 二次函数的图象 （1） 画函数图象的步骤： ①列表：列出 与 的表格。 ②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 。 ③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。 （2） 画二次函数的函数图象。 列表： 描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图） 知识点02 的性质 1. 二次函数的性质： 由函数的图象可知二次函数的有关性质： 大致图象 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数值有最 值 这个值是 。 函数值有最 值 这个值是 。 【即学即练1】 1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1）y＝3x2的图象是　 　； （2）y＝x2的图象是　 　； （3）y＝﹣x2的图象是　 　； （4）y＝x2的图象是　 　（填序号①，②等）． 【即学即练2】 2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【即学即练3】 3．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（　　） A．该抛物线的开口向上 B．顶点坐标是（0，0） C．对称轴是直线x＝﹣ D．当x＜0时，y随x的增大而减小 知识点03 与的平移 1. 二次函数的平移： 函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 上进行加减，左 右 。上下平移在 上进行加减，上 下 。 ①向左平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ②向右平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ③向上平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ④向下平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ⑤向左右平移个单位后在向上下平移个单位得到的函数解析式为 。 2. 二次函数的平移： ①向左右平移个单位后在向上下平移个单位得到的函数解析式为： 。 【即学即练1】 4．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 【即学即练2】 5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 　 　． 题型01 的性质 【典例1】对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【变式1】抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（　　） A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定 【变式2】抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式3】对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（　　） A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等 B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应 C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应 D．对于任何实数x，都有y＞0 【变式4】若抛物线的开口向下，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 题型02 的图象问题 【典例1】在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　． 题型03 函数图象上的点的特征 【典例1】若函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），则n的值为（　　） A．3 B．6 C． D． 【变式1】若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【变式2】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【变式3】若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【变式4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y1），（a，y2），（a+2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【变式5】若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 题型04 与的平移 【典例1】将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2 【变式1】将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3 【变式2】将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为　 　． 【变式3】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3） 【变式4】将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5 C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5 1．抛物线y＝﹣x2不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．与y轴不相交 D．最高点是原点 2．抛物线y＝x2，y＝﹣x2的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 5．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 6．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3 C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3 8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝﹣2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 10．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　 　． 12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 　 　． 13．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　 　． 14．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2的最小值是 　 　，最大值是 　 　． 15．抛物线y＝2x2与直线y＝3x+b的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是　 　． 16．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b） （1）求a，b的值； （2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？ 17．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）． （1）求a的值； （2）当x＝3时，求y的值； （3）说出此二次函数的三条性质． 18．如图，已知直线l过A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P．若△AOP的面积为，求a的值． 19．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 20．已知函数y＝x2与y＝2x+3的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求△AOB的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象与性质 课程标准 学习目标 ①的图象与性质 ②的平移与一般形式的平移 1. 掌握型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 2. 掌握二次函数与的平移，并能够通过平移规律解决相关题目。 知识点01 的图象 1. 二次函数的图象： 二次函数的图象是一条 抛物线 ，有 开口方向 ， 顶点 ， 对称轴 。函数图象关于对称轴对称。 2. 二次函数的图象 （1） 画函数图象的步骤： ①列表：列出 自变量 与 相应函数值 的表格。 ②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 位置 。 ③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。 （2） 画二次函数的函数图象。 列表： 描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图） 知识点02 的性质 1. 二次函数的性质： 由函数的图象可知二次函数的有关性质： 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （0，0） 对称轴 y轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 y轴 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数值有最 小 值 这个值是 0 。 函数值有最 大 值 这个值是 0 。 【即学即练1】 1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面： （1）y＝3x2的图象是　③　； （2）y＝x2的图象是　①　； （3）y＝﹣x2的图象是　④　； （4）y＝x2的图象是　②　（填序号①，②等）． 【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）（2）图象开口向上；（3）（4）图象开口向下；再根据|a|越大，开口越小的方法，进行判断． 【解答】解：（1）、（2）二次项系数都＞0，那么开口都应向上，但|3|＞||，那么（1）应对应3，（2）应对应1； （3）、（4）的二次项系数都＜0，那么开口都应向下，但|﹣1|＞|﹣|，那么（3）应对应4，（4）应对应2． 依次填3，1，4，2． 【即学即练2】 2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（　　） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的a的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2与y＝﹣x2的二次项系数互为相反数， ∴其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同， 故选：A． 【即学即练3】 3．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（　　） A．该抛物线的开口向上 B．顶点坐标是（0，0） C．对称轴是直线x＝﹣ D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、∵a＝﹣＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意； B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意； C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意； D、∵a＝﹣＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意， 故选：B． 知识点03 与的平移 1. 二次函数的平移： 函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 自变量 上进行加减，左 加 右 减 。上下平移在 函数解析式 上进行加减，上 加 下 减 。 ①向左平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ②向右平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ③向上平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ④向下平移个单位之后得到的函数解析式为 。 ⑤向左右平移个单位后在向上下平移个单位得到的函数解析式为 。 2. 二次函数的平移： ①向左右平移个单位后在向上下平移个单位得到的函数解析式为： 。 【即学即练1】 4．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2； 故选：C． 【即学即练2】 5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 　（﹣1，﹣1）　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣4+3＝（x+1）2﹣1， ∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 题型01 的性质 【典例1】对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．y随x的增大而减小 D．y随x的增大而增大 【分析】可根据抛物线的对称轴及开口方向，判断二次函数的增减性． 【解答】解：∵a＝6＞0，对称轴为x＝0； ∴当x＞0时，y随x的增大而增大， 当x＜0时，y随x的增大而减小． 故选：B． 【变式1】抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（　　） A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定 【分析】根据|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大求解即可． 【解答】解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2， ∵4＞2， ∴抛物线y＝4x2的开口小于y＝﹣2x2的开口， 故选：A． 【变式2】抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【分析】利用a＜0抛物线的开口向下，再确定抛物线y＝﹣x2的顶点为原点，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2的开口向下，顶点坐标为（0，0）， 所以抛物线一定经过第原点、第三、四象限． 故选：B． 【变式3】对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（　　） A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等 B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应 C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应 D．对于任何实数x，都有y＞0 【分析】根据二次函数的对称性，函数的定义，二次函数与不等式对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、∵函数y＝x2关于y轴对称， ∴若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等正确，故本选项正确； B、应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误； C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错误； D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误． 故选：A． 【变式4】若抛物线的开口向下，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【分析】根据二次函数开口向下，可得二次项的系数与0的关系，指数的次数是二，可得答案． 【解答】解：的开口向下， 3+m＜0，m2﹣10＝2， m＜﹣3，m＝， ∴m＝﹣2， 故选：B． 题型02 的图象问题 【典例1】在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案． 【解答】解：当x＝1时，y1、y2、y3的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1，）， 可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C； 在第一象限内，y1的对应点（1，2）在上，y3的对应点（1，）在下，排除A． 故选：D． 【变式1】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每一个选项中函数的图象，分别判断两个函数式a的符号是否相符，作出判断． 【解答】解：根据图象判断两函数式中，a的符号是否相符； A、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＞0，不相符； B、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符； C、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符； D、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，相符． 故选：D． 【变式2】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B； 当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C； 故选：D． 【变式3】如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限可得正确选项． 【解答】解：当a＞0时，二次函数的开口向上，一次函数中一次项的系数﹣a＜0，图象将经过二四象限，排除A， 当a＜0时，二次函数的开口向下，一次函数中一次项的系数﹣a＞0，图象将经过一三象限，排除B、C． 故选：D． 【变式4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　a＞b＞d＞c　． 【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c）， 所以，a＞b＞d＞c． 题型03 函数图象上的点的特征 【典例1】若函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），则n的值为（　　） A．3 B．6 C． D． 【分析】依据题意，由函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），从而可得n＝3×12＝3，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵函数y＝3x2的图象经过点P（1，n）， ∴n＝3×12＝3． 故选：A． 【变式1】若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝x2， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【变式2】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【分析】依据抛物线的对称性可知：（﹣2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0）， ∴A（2，y1）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，y1）， ∵a＞0， ∴x＜0时，y随x的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜0， ∴y1＞y2＞0； 故选：C． 【变式3】若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【分析】由a＜0可得出：当x＜0时，y随x的增大而增大．再结合﹣3＜﹣2＜﹣1即可得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2中a＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣3＜﹣2＜﹣1， ∴y3＜y1＜y2． 故选：C． 【变式4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y1），（a，y2），（a+2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】抛物线y＝x2的对称轴为y轴，即直线x＝0，图象开口向上，当﹣1＜a＜0时，a﹣2＜a＜0＜a+2，在对称轴右边，y随x的增大而增大，由此可判断y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵当﹣1＜a＜0时，a﹣2＜a＜0＜a+2， ∴点（a﹣2，y1），（a，y2）在对称轴的左边，（a+2，y3）在对称轴的右边， ∴点（a﹣2，y1），（a，y2）关于对称轴对称点为（2﹣a，y1），（﹣a，y2）， 而抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大， ∵﹣a＜a+2＜2﹣a， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【变式5】若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】根据题意可得y1＝ax21，y2＝＝，代入原式可得（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）＝a（|x1|﹣|x2|）（x1+x2）（x1﹣x2），再分类情况去绝对值进行分析即可得出答案． 【解答】解：∵（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点， ∴y1＝ax21，y2＝＝， ∴（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）＝a（|x1|﹣|x2|）（x1+x2）（x1﹣x2）， 当x1＞0，x2＞0时， 上式＝a（x1﹣x2）（x1+x2）（x1﹣x2） ＝a（x1+x2）（x1﹣x2）2， ∵a＞0，（x1+x2）＞0，（x1﹣x2）2＞0， ∴原式＞0， 当x1＜0，x2＜0时， 上式＝a（x2﹣x1）（x1+x2）（x1﹣x2） ＝a（x1+x2）（x1﹣x2）2， ∵a＞0，（x1+x2）＞0，（x1﹣x2）2＞0， ∴原式＞0， 当x1＞0，x2＜0时， 上式＝a（x1+x2）（x1+x2）（x1﹣x2） ＝a（x1﹣x2）（x1+x2）2， ∵a＞0，（x1﹣x2）＞0，（x1﹣x2）2≥0， ∴原式≥0， 当x1＜0，x2＞0时， 上式＝a（﹣x1﹣x2）（x1+x2）（x1﹣x2） ＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2）2， ∵﹣a＜0，（x1﹣x2）＜0，（x1+x2）2≥0， ∴原式≥0． 故选：D． 题型04 与的平移 【典例1】将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律． 【解答】解：y＝3x2向右平移两个单位，得y＝3（x﹣2）2． 故选：B． 【变式1】将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3 【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2+3． 故选：A． 【变式2】将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为　y＝﹣4（x﹣2）2+3　． 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式． 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a＝﹣4，∴y＝﹣4（x﹣2）2+3． 【变式3】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3） 【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为：y＝x2， 当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意； 当x＝0时，y＝02＝0，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当x＝1时，y＝12＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意； 故选：B． 【变式4】将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5 C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5 【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8， ∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5． 故选：D． 1．抛物线y＝﹣x2不具有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．与y轴不相交 D．最高点是原点 【分析】抛物线 y＝﹣x2的二次项系数为﹣1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）． 【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2的二次项系数为﹣1， ∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A正确； ∴最高点为原点，对称轴为y轴，B、D正确； 与y轴交于（0，0），C错误． 故选：C． 2．抛物线y＝x2，y＝﹣x2的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可． 【解答】解：抛物线y＝x2的开口向上，y＝﹣x2的开口向下，①错误； 抛物线y＝x2，y＝﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误； 故选：B． 3．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【解答】解：①y＝x，正比例函数，k＝1＞0，y随着x增大而增大，正确； ②y＝﹣2x+1，一次函数，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，错误； ③y＝﹣6x2，a＝﹣6＜0，开口向下，对称轴为x＝0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，函数值y随x的增大而增大，正确； ④y＝3x2，二次函数，a＝3＞0，开口向上，对称轴为x＝0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，错误． 故选：B． 4．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（﹣2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选：A． 5．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解． 【解答】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2 ∴k≠1，k＝±2，故C错误； ∵有最大值 ∴k﹣1＜0 ∴k＜1 ∴k＝﹣2． 故选：A． 6．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论即可确定正确的选项． 【解答】解：当a＞0时根据ab＞0得到b＞0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的正半轴，且呈上升趋势，没有符合题意的选项； 当a＜0时根据ab＞0得到b＜0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的负半轴，且呈下降趋势，C选项符合，D选项不符合， 故选：C． 7．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3 C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3 【分析】根据抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，可知抛物线解析式中的a也是﹣3，然后根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），即可得到抛物线的顶点式，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3）， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2+3， 故选：D． 8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断． 【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C． 9．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝﹣2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【分析】分别计算出自变量为﹣2、﹣1和3的函数值，然后比较函数值的大小． 【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝﹣2x2图象上， ∴y1＝﹣2×4＝﹣8；y2＝﹣2×1＝﹣2；y3＝﹣2×8＝﹣18， ∴y3＜y1＜y2． 故选：D． 10．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 【分析】由当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵当0＜x1＜x2时，有y1＞y2， ∴m﹣3＜0， ∴m＜3． 故选：D． 11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　y＝x2+2，答案不唯一．　． 【分析】对称轴是y轴，即直线x＝＝0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可． 【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一． 12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 　﹣　． 【分析】将（2，﹣1）代入y＝ax2求解． 【解答】解：将（2，﹣1）代入y＝ax2得， ﹣1＝4a， 解得a＝﹣， 故答案为：﹣． 13．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 　y＝2（x+1）2﹣2　． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2， 故答案为：y＝2（x+1）2﹣2． 14．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2的最小值是 　﹣9　，最大值是 　0　． 【分析】求出抛物线的对称轴，顶点坐标，根据函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵y＝﹣x2， ∴对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）． ∵a＝﹣1＜0，开口向下， ∴函数有最大值，当x＝0时，函数的最大值为0． ∴当﹣1≤x≤3时，x＝3时，有最小值，最小值为﹣9，x＝0时，有最大值，最大值为0， 故答案为：﹣9，0． 15．抛物线y＝2x2与直线y＝3x+b的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是　（﹣，）　． 【分析】把交点坐标代入抛物线求出m的值，再代入直线求出b的值，然后联立两函数解析式解方程组即可得解． 【解答】解：将（3，m）代入y＝2x2得，m＝2×32＝18， 所以，交点坐标为（3，18）， 代入直线y＝3x+b得，3×3+b＝18， 解得b＝9， 所以，直线解析式为y＝3x+9， 联立，解得，， 所以另一个交点坐标为（﹣，）． 故答案为：（﹣，）． 16．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b） （1）求a，b的值； （2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？ 【分析】（1）把已知点代入直线解析式可求得b，再代入抛物线解析式可求得a的值； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案． 【解答】解： （1）把（1，b）代入y＝x﹣3可得：b＝1﹣3＝﹣2， ∴点的坐标为（1，﹣2）， 把（1，﹣2）代入y＝ax2可得﹣2＝a，即a＝﹣2， ∴a＝﹣2，b＝﹣2； （2）由（1）可得y＝﹣2x2， ∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大． 17．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）． （1）求a的值； （2）当x＝3时，求y的值； （3）说出此二次函数的三条性质． 【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值； （2）把x＝3代入求得的函数解析式即可求得y值； （3）增减性、最值等方面写出有关性质即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3）， ∴a×1＝3 ∴a＝3； （2）把x＝3代入抛物线y＝3x2得：y＝3×32＝27； （3）抛物线的开口向上； 坐标原点是抛物线的顶点； 当x＞0时，y随着x的增大而增大； 抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等． 18．如图，已知直线l过A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P．若△AOP的面积为，求a的值． 【分析】首先求得直线AB的解析式，然后根据面积求得P点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入二次函数即可求解． 【解答】解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b， 得k＝﹣1，b＝4， 故y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为＝×4×y ∴y＝ 再把y＝代入y＝﹣x+4，得x＝， 所以P（，） 把P（，）代入到y＝ax2中得：a＝． 19．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4＝2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或﹣3； （2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m＝2，则y＝4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y＝﹣x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【解答】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4＝2， 解得m1＝2，m2＝﹣3， 所以满足条件的m值为2或﹣3； （2）当m+2＞0时，抛物线有最低点， 所以m＝2， 抛物线解析式为y＝4x2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大； （3）当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y＝﹣x2， 所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小． 20．已知函数y＝x2与y＝2x+3的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求△AOB的面积． 【分析】（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解． 【解答】解：（1）由题意得： 解得：或 即交点A，B的坐标分别为（3，9），（﹣1，1）； （2）连接OA，OB 直线y＝2x+3与y轴交于点C（0，3），即OC＝3 S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝×3×3+×3×1 ＝6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$