第05讲 二次函数与一元二次方程（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 ①二次函数与一元二次方程的关系 ②二次函数与一元二次不等式的关系 1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 的实数根根的判别式 0。 与轴有 个交点有2个相等的实数根根的判别式 0。 与轴没有交点 实数根根的判别 ＜ 0。 二次函数图象与x轴的交点 即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 0，方程没有实数根。 【即学即练1】 1．如图，无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 【即学即练2】 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2 【即学即练3】 3．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（　　） A．3或5 B．3 C．4 D．5 知识点02 二次函数与一元二次不等式 1. 二次函数与一元二次不等式： a大于0 抛物线的图象 不等式的解集 全体实数 不等式的解集 无解 无解 A小于0 抛物线的图象 不等式的解集 无解 无解 不等式的解集 全体实数 【即学即练1】 4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集 　 　． 题型01 根据二次函数图象判断根的情况 【典例1】如图，是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1】二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】已知抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程mx2+4x＝3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式3】函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型02 根据图象或根的情况求未知系数 【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【变式1】已知函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　 　． 【变式2】二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 　 　． 【变式3】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　． 【变式4】抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　） A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6 题型03 根据图象求方程的根或近似根 【典例1】若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【变式1】已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 　 　． 【变式2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【变式3】如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【变式4】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 题型04 根据图象求一元二次不等式的解集 【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1 【变式1】函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 　 　． 1．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表可知，下列说法中，错误的是（　　） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小 2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为（　　） 第2题 第3题 第5题 A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5 3．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣＞0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解有可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 8．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 9．已知二次函数的图象l1，现将l1向下平移k个单位长度得到图象l2．若l1，l2都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长为8，则抛物线的对称轴为直线　 　． 12．关于x的二次函数y＝2mx2+（8m+1）x+8m的图象与x轴有交点，则m的范围是　 ． 13．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　 　.（精确到0.01） 14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则PA+PC取最小值时，点P坐标是 　 　． 15．若关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x1，x2满足1＜x1≤2＜x2，则二次函数y＝x2﹣（m+3）x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 　 　． 16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）画出函数的图象． ①把如表补充完整： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． （2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围． 17．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）． （1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点； （2）若点A（m，y1），B（8，y2），C（m+6，y3）都在抛物线上，且y3＜y2＜y1，求m的取值范围． 18．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的最大值． 19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求2m+3n的最小值． 20．已知关于x的二次函数y＝x2﹣bx+c （1）若该函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求b﹣2c的值； （2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当1＜x＜m时，y的取值范围是3≤y＜4，求c的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与一元二次方程 课程标准 学习目标 ①二次函数与一元二次方程的关系 ②二次函数与一元二次不等式的关系 1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 不相等 的实数根根的判别式 ＞ 0。 与轴有 1 个交点有2个相等的实数根根的判别式 = 0。 与轴没有交点 没有 实数根根的判别 ＜ 0。 二次函数图象与x轴的交点 横坐标 即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 大于 0，方程有两个 不相等 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 等于 0，方程有两个 相等 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 小于 0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 大于 0，方程有两个 不相等 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 等于 0，方程有两个 相等 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 小于 0，方程没有实数根。 【即学即练1】 1．如图，无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 【分析】利用二次函数的性质得到a＞0，利用判别式的意义得到Δ＜0，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正， ∴抛物线开口向上，抛物线与x轴没有公共点， ∴a＞0，Δ＝b2﹣4ac＜0． 故选：A． 【即学即练2】 2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1 C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2 【分析】根据抛物线的对称性求解． 【解答】解：因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点的横坐标为x， 则x+2＝2×（﹣1）， 解得：x＝﹣4， 故选：A． 【即学即练3】 3．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（　　） A．3或5 B．3 C．4 D．5 【分析】分m﹣3＝0及m﹣3≠0两种情况考虑：当m＝3时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出m＝3符合题意；当m≠3时，由二次函数图象与x轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上即可得出结论． 【解答】解：①当m﹣3＝0，即m＝3时，y＝﹣4x+2， 令y＝0，则﹣4x+2＝0， 解得x＝， ∴此时函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点， ②当m﹣3≠0时， ∵二次函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣8（m﹣3）＝0， 解得m＝5． 综上所述，当图象与x轴有且只有一个交点时，m的值为3或5． 故选：A． 知识点02 二次函数与一元二次不等式 1. 二次函数与一元二次不等式： a大于0 抛物线的图象 不等式的解集 全体实数 不等式的解集 无解 无解 A小于0 抛物线的图象 不等式的解集 无解 无解 不等式的解集 全体实数 【即学即练1】 4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集 　﹣5＜x＜3　． 【分析】依据题意，由对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），结合对称性可得另一交点为（3，0），再结合图象可以得解． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）， ∴根据对称性可得另一交点为（3，0）． 由抛物线开口向下， ∴当y＞0时，﹣5＜x＜3． 故答案为：﹣5＜x＜3． 题型01 根据二次函数图象判断根的情况 【典例1】如图，是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式1】二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【解答】解∵方程ax2+bx+1＝0可化为ax2+bx＝﹣1， ∴一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1有两个不同的交点，即方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式2】已知抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程mx2+4x＝3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据抛物线的对称轴求出m的值，再解方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2， ∴﹣＝2， 解得m＝﹣1， ∴﹣x2+4x＝3， 整理得x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴方程mx2+4x＝3有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式3】函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可以看成y＝ax2+bx+c和y＝3的交点，即可求解． 【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根可以看成y＝ax2+bx+c和y＝3的交点， 从图象看，上述两个函数的交点只有一个， 故一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根为：有两个相等的实数根． 故选C． 【变式4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据函数图象可知a＞0，b＞0，从而可以得到关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况，本题得以解决． 【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0， ∴Δ＝a2+4b＞0， 故一元二次方程x2+ax﹣b＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型02 根据图象或根的情况求未知系数 【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【变式1】已知函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 　或2　． 【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣2＝0，m＝2，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0． 【解答】解：当m＝0时，y＝﹣2，与坐标轴只有一个交点，不符合题意． 当m≠0时， ∵函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点， ①过坐标原点，m﹣2＝0， ∴m＝2， ②与x、y轴各一个交点， ∴Δ＝0，m≠0， （3m）2﹣4m（m﹣2）＝0， 解得m＝0（舍去）或m＝﹣， 综上所述：m的值为2或﹣， 故答案为：2或﹣． 【变式2】二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 　k≤1且k≠0　． 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得k≤1， 又∵y＝kx2﹣4x+4是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≤1且k≠0． 故答案为：k≤1且k≠0． 【变式3】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k＝　4　． 【分析】由Δ＝0求解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点， ∴Δ＝42﹣4k＝0， 解得k＝4， 故答案为：4． 【变式4】抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　） A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6 【分析】x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n在y＝﹣11和顶点之间，进而求解． 【解答】解：由题意得，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3， 则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 函数的大致图象如下： 当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11， ∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根， 则n在y＝﹣11和顶点之间， 即﹣11＜n≤﹣2， 故选：C． 题型03 根据图象求方程的根或近似根 【典例1】若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的解． 【解答】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0）， ∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3． 即方程的另一解为﹣1． 故选：B． 【变式1】已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 　x1＝1，x2＝2　． 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标． 【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x＝． 又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 【变式2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【变式3】如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【变式4】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 1 2 1 ﹣2 ﹣7 A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间 C．﹣1与0之间 D．0与1之间 【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在0～1之间由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在0～1之间． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，x＝1时，y＝﹣2， ∴函数在0～1之间由正到负， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在0与1之间， 故选：D． 题型04 根据图象求一元二次不等式的解集 【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1 【分析】则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为（﹣3，0），进而求解． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），函数的对称轴为x＝﹣1， 则根据函数的对称性，函数与x轴另外一个交点坐标为（﹣3，0）， 故当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1， 故选：C． 【变式1】函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线： x＝﹣ ＝﹣1． 抛物线与x轴的一个交点坐标为：（2，0）， 由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2，0）关于x＝﹣1对称， 所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0． 故选：A． 【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2 【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y＞0时，x的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：由图象可知， 当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2， 故选：D． 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 　﹣1＜x＜3　． 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 1．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表可知，下列说法中，错误的是（　　） A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小 【分析】依据题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），从而可得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故可判断A、B；根又据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故可判断C；又a＝﹣1＜0，从而当x＜时，y随x的增大而增大，故可判断D． 【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6）， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故A、B正确． 根据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故C正确． ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜时，y随x的增大而增大，故D错误． 综上，错误的是D． 故选：D． 2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为（　　） A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5 【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0），进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2， 又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0）． ∴关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为x1＝5，x2＝﹣1． 故选：B． 3．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，从而可以求得m的取值范围，从而可以得到m的最大值． 【解答】解：由图象可得， 二次函数y＝ax2+bx的最小值是y＝﹣3， ∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根， 即一元二次方程ax2+bx＝﹣m有实数根， 也就是y＝ax2+bx与y＝﹣m有交点， ∴﹣m≥﹣3， 解得：m≤3， ∴m的最大值是3， 故选：A． 4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【分析】由图象可知a，b，c的取值范围，利用根的判别式和根与系数的关系可得根的情况． 【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0， ∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的判别式为：Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a， ∵a＜0，∴﹣8a＞0， ∵b2﹣4ac＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之和为＞0，两根之积为＜0， ∴两根异号， 故选：C． 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣＞0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】依据题意，由函数图象与y轴交于负半轴，则当x＝0时，y＝c＜0，故可判断①；又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0，进而8a+4b＝0，则b＝﹣2a，从而对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1＞0，故可判断②；依据题意，当x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，进而可以判断③． 【解答】解：由题意，∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴当x＝0时，y＝c＜0，故①正确． 又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且9a+3b+c＝0， ∴8a+4b＝0． ∴b＝﹣2a． ∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1＞0，故②正确． 由题意，∵x＝﹣1或x＝3时，y＝0，且抛物线y＝ax2+bx+c开口向上， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确． 故选：D． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【分析】依据题意，可得抛物线随x的增大而增大，又当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0，故可得判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大， 又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解有可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 8．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1 【分析】根据连根之和公式可以求出对称轴公式． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1， ∴x1+x2＝﹣＝﹣4． ∴对称轴为直线x＝﹣＝×（﹣）＝×（﹣4）＝﹣2． 故选：A． 9．已知二次函数的图象l1，现将l1向下平移k个单位长度得到图象l2．若l1，l2都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】二次函数与x轴的交点问题，当y＝0时，求得抛物线与x轴的两个交点坐标为：（m，0），（m+9，0），则抛物线与x轴的交点之间的距离为9，根据题意四个交点间的距离都相等，即每相邻两点间的距离为3，于是得到平移后的抛物线与x轴的交点坐标为（m+3，0），（m+6，0），利用交点式写出平移后的抛物线解析式为，即，接着用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，从而得到k的值． 【解答】解：当y＝0时，， 解得：x1＝m，x2＝m+9， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（m，0），（m+9，0）， ∴抛物线与x轴的交点之间的距离为：m+9﹣m＝9， ∵二次函数的图象l1与其向下平移k个单位长度得到图象l2也与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， ∴每相邻两点间的距离都为3， ∴平移后的抛物线与x轴的交点坐标为：（m+3，0），（m+6，0）， ∴平移后的抛物线l2解析式为：， 即， ∵抛物线向下平移k个单位所得的抛物线解析式为： ， ∴k＝6， 故选：A． 10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大； ④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故选：A． 11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长为8，则抛物线的对称轴为直线　x＝2或x＝﹣6　． 【分析】由点A的坐标及AB的长度可得出点B的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长为8， ∴点B的坐标为（6，0）或（﹣10，0）． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2或x＝＝﹣6． 故答案为：x＝2或x＝﹣6． 12．关于x的二次函数y＝2mx2+（8m+1）x+8m的图象与x轴有交点，则m的范围是　且m≠0　． 【分析】二次函数图象与x轴有交点，则Δ＝b2﹣4ac≥0，且m≠0，列出不等式则可． 【解答】解：由题意知：，解得m且m≠0． 13．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　1.65　.（精确到0.01） 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解答】解：根据题意得： 6﹣5.9696＝0.0304， 6.0225﹣6＝0.0225， 0.0304＞0.0225， 可见6.0225比5.9696更逼近6， 当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65； 故答案为：1.65． 14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则PA+PC取最小值时，点P坐标是 　（，）　． 【分析】首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时PA+PC的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【解答】解：连接BC，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P， ∵抛抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， 令y＝0，则﹣x2+x+2＝0， 解得x1＝，x2＝﹣， ∵A（﹣，0），B（，0）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， 把B（，0）和C（0，2）代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+2． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝， ∴当x＝时，y＝﹣×+2＝， ∴点P的坐标为（，）， 即当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 15．若关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x1，x2满足1＜x1≤2＜x2，则二次函数y＝x2﹣（m+3）x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 　　． 【分析】首先推导出二次函数的对称轴为直线x＝，顶点为（，﹣），图象开口向上，进而得到x1在对称轴的左侧，1＜x1≤2，当x1＝2时，点（x1，0）距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，代入求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x1，x2满足1＜x1≤2＜x2， ∴Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+6）＝m2+2m﹣15＝（m+5）（m﹣3）＞0， ∴m＞3或m＜﹣5， ∵x1+x2＝m+3＞1+2＝3， ∴m＞0， ∴m＞3， ∵二次函数y＝x2﹣（m+3）x+m+6＝﹣+4， ∴对称轴为直线x＝，顶点为（，﹣），图象开口向上， ∴当x＜时，y随x的增大而减小， ∴x1在对称轴的左侧，1＜x1≤2， ∴当x1＝2时，点（x1，0）距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值， ∴22﹣2（m+3）+m+6＝0， ∴m＝4， ∴顶点纵坐标的最大值是+4＝﹣， 故答案为：． 16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）画出函数的图象． ①把如表补充完整： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象． （2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围． 【分析】（1）将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3即可求解， （2）由函数图象即可得出结论． 【解答】解：（1）①将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3， 解得y＝0、﹣4、﹣3、0， 表格补充如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 画出图象如下图： （2）由图象可知： 当y＜0时，则﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 17．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）． （1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点； （2）若点A（m，y1），B（8，y2），C（m+6，y3）都在抛物线上，且y3＜y2＜y1，求m的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由a＜0，从而﹣12a＞0，又b2≥0，故b2﹣12a＞0，则△＞0，进而可以判断得解； （2）依据题意，由点A（m，y1）C（m+6，y1）都在抛物线上，从而抛物线的对称轴为 ，进而分m+3＜0与m+3＞0进行分类讨论，即可判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，Δ＝b2﹣12a． ∵a＜0， ∴﹣12a＞0． ∵b2≥0， ∴b2﹣12a＞0，即△＞0． ∴该抛物线与x轴总有两个公共点． （2）解：由题意，∵点A（m，y1）C（m+6，y1）都在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为 ． 当m+3＜0，即m＜﹣3时， ∵3＜y2＜y1， ∴可作抛物线草图如图1、2， 由图可知，此时点B的横坐标小于0，与题目矛盾， ∴舍去． 当m+3＞0，即m＞﹣3时， ∵3＜y2＜y1，∴可作抛物线草图如图3： 由图可得， ， ∴m＞8． 作抛物线草图如图4： 由图可得， ， ∴1＜m＜2． 综上所述，m的取值范围是m＞8或1＜m＜2． 18．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设经过点B、C的直线解析式为y＝mx+n，求出经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+4，设点，点Q（x，﹣x+4），求出，然后求出最大值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点C（0，4）， ∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx+4， 将点A（﹣2，0），B（4，0）代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为：． （2）设经过点B、C的直线解析式为y＝mx+n， 将点B（4，0），C（0，4）代入，得， 解得， ∴经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+4， 设点，点Q（x，﹣x+4）， ∴， ∴当x＝2时，PQ有最大值2． 19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求2m+3n的最小值． 【分析】（1）根据顶点式设出二次函数解析式为y＝a（x﹣4）2﹣3，再把点A（1，0）代入解析式，求出，从而可得出二次函数关系式为； （2）由P（m，n）是该二次函数的图象上一点求出，代入2m+3n可求解． 【解答】解：（1）∵图象与x轴相交于点A，且点A的横坐标为1， ∴A（1，0）， ∵二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣3， 把点A（1，0）代入，得：a（1﹣4）2﹣3＝0 ∴， ∴二次函数的解析工为：； （2）， ∵P（m，n）是该二次函数的图象上一点， ∴， ∴ ＝2m+m2﹣8m+7 ＝m2﹣6m+7 ＝（m﹣3）2﹣2， ∵（m﹣3）2≥0， ∴（m﹣3）2﹣2≥﹣2，即2m+3n的最小值为﹣2． 20．已知关于x的二次函数y＝x2﹣bx+c （1）若该函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求b﹣2c的值； （2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当1＜x＜m时，y的取值范围是3≤y＜4，求c的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，，可得①+②得，5﹣b+2c＝0，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数的图象的顶点纵坐标为3，可得＝3，进而计算可以得解； ②依据题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣）2﹣+c＝（x﹣）2+3，从而可得抛物线的对称轴是直线x＝，再分时和时，进行讨论即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，， ∴①+②得，5﹣b+2c＝0． ∴b﹣2c＝5． （2）①由题意，∵函数的图象的顶点纵坐标为3， ∴＝3． ∴c＝+3． ②由题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣）2﹣+c＝（x﹣）2+3， ∴抛物线的对称轴是直线x＝． 当时， ∴4＝（m﹣）2+3． ∴m﹣＝±1． ∴或（舍去）． ∴1＜≤． ∴2＜b≤4． 当时， ∴4＝（1﹣）2+3． ∴b＝4或b＝0（舍去）． 综上：2＜b≤4． ∴4＜+3≤7． ∴4＜c≤7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$