第04讲 二次函数的图象与性质（3）（4个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 二次函数的图象和性质 课程标准 学习目标 ①二次函数的三种形式 ②二次函数的图象与性质 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。 知识点01 二次函数的三种形式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： 【即学即练1】 1．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3） 【即学即练2】 2．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【即学即练3】 3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　 　． 知识点02 二次函数的图象与性质（一般式） 1. 二次函数的一般式的图象与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数轴最 值 这个值是 。 函数轴最 值 这个值是 。 与y轴交点坐标 【即学即练1】 4．用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【即学即练2】 5．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（　　） A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．顶点坐标是（1，﹣3） C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【即学即练3】 6．已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由 决定，，开口向 ，，开口向 。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为 。若同号，则 0，二次函数的对称轴在轴的 ；若异号，则 0，二次函数的对称轴在轴的 。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则 。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则 。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为 。 4. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 的实数根根的判别式 0。 与轴有 个交点有2个相等的实数根根的判别式 0。 与轴没有交点 实数根根的判别 0。 拓展：在二次函数中： 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 是自变量为 的函数值，是自变量为 的函数值。 【即学即练1】 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a﹣b＞m（am+b）；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 【即学即练1】 8．根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点； （2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）． 题型01 的基本性质 【典例1】对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与y轴的交点为（0，2） 【变式1】对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　） A．函数图象开口朝下 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．该函数图象的对称轴在y轴左侧 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 【变式2】已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣5 0 3 n 3 … 则下列判断错误的是（　　） A．该抛物线的开口向下 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 C．a﹣b+c＞0 D．该抛物线与x轴只有一个交点 【变式4】对于二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．一定经过点（2，3） C．x＜1时，y随x增大而增大 D．当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3 题型02 的图象问题 【典例1】二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4】二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型03 的点的坐标特征 【典例1】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），，C，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【变式1】已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，则y3＞y2＞y1 B．若a＞0，则y1＞y3＞y2 C．若a＜0，则y1＞y3＞y2 D．若a＞0，则y2＞y1＞y3 【变式2】已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣2x图象上的两点，其中x1＜x2，则下列说法不正确的是（　　） A．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 B．若x1+x2＝2，则y1＝y2 C．若|x1+1|＜|x2﹣1|，则y1＞y2 D．若0＜x1＜x2＜2，则y1•y2＞0 【变式3】已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 【变式4】若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 题型04 二次函数的最值问题 【典例1】已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 【变式1】当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（　　） A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6 【变式2】若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D．1 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 题型05 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 题型06 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线的解析式． 【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当0≤x≤5时，求y的取值范围． 【变式2】已知x与y之间的函数关系式为y＝ax2+bx+1（其中a、b是常数），且有下列对应关系： x 1 ﹣2 y ﹣1 17 （1）求y与x之间的函数关系式： （2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线y＝ax2+bx+1上，求m的值． 【变式3】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围． 【变式4】如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 1．将抛物线y＝x2+4x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 2．抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　） A．0 B．6 C．﹣6 D．±6 3．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　） A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4 4．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 8．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（　　） A． B． C．1 D． 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线x＝2，下列结论： ①abc＞0； ②4a+c＞2b； ③4a+2b≤m（am+b）（m为常数）； ④3b﹣2c＞0． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为 　 ． 12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 13．已知A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　 　． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且y1＞y2，则m的取值范围是 　 　． 15．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 … 求该二次函数的表达式． 17．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）； （2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1、y2、y3的大小关系为　 　； （3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． （1）求c的值，并用含a的代数式表示b． （2）当a＝1时， ①求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围． ②当﹣4≤x≤2时，求y的最大值和最小值． （3）若线段CD的端点C、D的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的图象和性质 课程标准 学习目标 ①二次函数的三种形式 ②二次函数的图象与性质 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。 知识点01 二次函数的三种形式 1. 二次函数的三种形式： （1） 一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 （2） 顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 （3） 两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对称。 （4） 二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下： 【即学即练1】 1．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3） 【分析】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【即学即练2】 2．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】由A、B两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点， ∴抛物线对称轴为直线x＝＝2， 故选：B． 【即学即练3】 3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　y＝（x﹣1）2﹣2　． 【分析】利用配方法再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2． 故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2． 知识点02 二次函数的图象与性质（一般式） 1. 二次函数的一般式的图象与性质： 把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下： 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （） （） 对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数轴最 小 值 这个值是 。 函数轴最 大 值 这个值是 。 与y轴交点坐标 （0，c） （0，c） 【即学即练1】 4．用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【分析】利用配方法把一般式变形为顶点式y＝（x+1）2﹣2，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）． 【即学即练2】 5．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（　　） A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3） B．顶点坐标是（1，﹣3） C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【分析】A、将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出y＝﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断； B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断； C、将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断； D、利用二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， ∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确； B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误； C、∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或﹣1， ∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确； D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1， 又∵a＝1＞0，开口向上， ∴x＜1时，y随x的增大而减小， ∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确； 故选：B． 【即学即练3】 6．已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3 【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝， ∴当x＞时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 知识点03 二次函数的图象与系数的关系 1. 二次函数的开口方向： 二次函数的开口方向由 决定，，开口向 上 ，，开口向 下 。 2. 二次函数的对称轴： 由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴为 。若同号，则 ＜ 0，二次函数的对称轴在轴的 左边 ；若异号，则 ＞ 0，二次函数的对称轴在轴的 右边 。简称左同右异。 ①若二次函数的对称轴=1，则 0 。 ②若二次函数的对称轴=﹣1，则 0 。 3. 二次函数与轴的交点： 二次函数与轴的交点坐标为 。 4. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 不相等 的实数根根的判别式 ＞ 0。 与轴有 1 个交点有2个相等的实数根根的判别式 = 0。 与轴没有交点 没有 实数根根的判别 ＜ 0。 拓展：在二次函数中： 是自变量为 1 的函数值，是自变量为 ﹣1 的函数值。 是自变量为 2 的函数值，是自变量为 ﹣2 的函数值。 是自变量为 3 的函数值，是自变量为 ﹣3 的函数值。 【即学即练1】 7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a﹣b＞m（am+b）；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，增减性判断④，最值判断⑤． 【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＝2a＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误，②正确； ∵图象过（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1， ∴图象过（1，0）， ∴a+b+c＝0；故③错误； ∵|﹣4﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|， ∴y1＜y2；故④正确； 当x＝﹣1时，函数有最小值为a﹣b+c， ∴a﹣b+c≤am2+bm+c， ∴a﹣b≤am2+bm＝m（am+b）；故⑤错误； 综上：正确的结论有2个； 故选：B． 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤： （1） 设二次函数解析式； ①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。 ②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。 ③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。 （2） 带点：将已知点带入函数解析式建立方程。 （3） 解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。 （4） 反带：将未知系数反带入函数解析式。 【即学即练1】 8．根据下列条件，求二次函数的解析式． （1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点； （2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）． 【分析】（1）设出二次函数的一般式y＝ax2+bx+c，再把点（﹣1，7），（1，1），（2，﹣5）代入求解即可； （2）由顶点坐标（1，4）设出顶点式y＝a（x﹣1）2+4，再把点（﹣2，﹣5）代入求解即可． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c， 把点（0，2），（﹣1，0），（2，0）代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵顶点为（﹣1，4）， ∴设y＝a（x+1）2+4， 又∵过点（2，﹣5）， ∴a（2+1）2+4＝﹣5， ∴a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3． 题型01 的基本性质 【典例1】对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与y轴的交点为（0，2） 【分析】将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线x＝1，故选项B错误，不符合题意； 顶点坐标为（1，2），故选项C正确，符合题意； 与y轴的交点为（0，3），故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　） A．函数图象开口朝下 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．该函数图象的对称轴在y轴左侧 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答． 【解答】解：二次函数y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，对称轴为直线x＝﹣2． A、a＝＞0，开口向上，本选项不符合题意； B、当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，本选项不符合题意； C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意； D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴，正半轴，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣5 0 3 n 3 … 则下列判断错误的是（　　） A．该抛物线的开口向下 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 C．a﹣b+c＞0 D．该抛物线与x轴只有一个交点 【分析】先根据当x＝﹣2和当x＝0时的函数值相同，得到对称轴为直线x＝﹣1，则由对称性可得，当x＝1时，y＝0，据此可判断D；再由增减性即可判定A、B；根据当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即可判断C． 【解答】解：∵当x＝﹣2和当x＝0时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴由对称性可得，当x＝1时，y＝0， ∴抛物线与x轴有两个交点，故D说法错误，符合题意； ∵﹣3＜﹣2＜﹣1且0＜3， ∴在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴抛物线开口向下，故A说法正确，不符合题意 ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，n＞3＞0，故B说法正确，不符合题意 ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故C说法正确，不符合题意； 故选：D． 【变式4】对于二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．一定经过点（2，3） C．x＜1时，y随x增大而增大 D．当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3 【分析】根据各个选项中的说法和题目中的解析式可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：A、y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）＝a（x﹣1）2﹣a+3，对称轴为直线x＝1，不符合题意； B、当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3，一定经过点（2，3），不符合题意； C、当a＞0，x＜1时，y随x增大而减小，符合题意； D、当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3，即am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2＞0，不符合题意． 故选：C． 题型02 的图象问题 【典例1】二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣， a＞0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点（0，a）， a＜0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点（0，a）． 故选：D． 【变式1】二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】求得抛物线的对称轴和与y轴的交点即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）， ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，在y轴的左侧，与y轴的交点为（0，c2+1）在正半轴， 故图象可能是A． 故选：A． 【变式2】一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象，进而可得结论． 【解答】解：A、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0，c＞0，两结论矛盾，不符合题意； B、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，两结论一致，符合题意； C、由一次函数的图象可知，c＜0，b＜0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，两结论矛盾，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，两结论矛盾，不符合题意； 故选：B． 【变式3】一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先由一次函数y＝cx﹣a图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+x+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式4】二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+b， ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当x＝0时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 题型03 的点的坐标特征 【典例1】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y1），，C，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线x＝1的对称点是， ∵， ∴y3＜y1＜y2， 故选：A． 【变式1】已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，则y3＞y2＞y1 B．若a＞0，则y1＞y3＞y2 C．若a＜0，则y1＞y3＞y2 D．若a＞0，则y2＞y1＞y3 【分析】依据题意，由抛物线为y＝﹣ax2+4ax+c，从而对称轴是直线x＝﹣＝2，再由a＞0和a＜0进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣ax2+4ax+c， ∴对称轴是直线x＝﹣＝2． 若a＜0，则﹣a＞0， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y1＞y3＞y2，故A错误，C正确． 若a＞0，则﹣a＜0， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大 ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y2＞y3＞y1，故B、D错误． 故选：C． 【变式2】已知点M（x1，y1），点N（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣2x图象上的两点，其中x1＜x2，则下列说法不正确的是（　　） A．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 B．若x1+x2＝2，则y1＝y2 C．若|x1+1|＜|x2﹣1|，则y1＞y2 D．若0＜x1＜x2＜2，则y1•y2＞0 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，抛物线与x轴的交点为（0，0），（2，0），然后根据二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，抛物线与x轴的交点为（0，0），（2，0）， A、若x1＜x2＜0，则点M（x1，y1），点N（x2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2；故选项A正确，不合题意； B、若x1+x2＝2，则点M（x1，y1），点N（x2，y2）关于对称轴对称， ∴y1＝y2；故选项B正确，不合题意； C、若|x1+1|＜|x2﹣1|，例如x1＝0，x2＝5，满足|x1+1|＜|x2﹣1|，但点M（0，y1）到对称轴的距离小于点N（5，y2）到对称轴的距离，此时y1＜y2；故选项C不正确，符合题意； D、若0＜x1＜x2＜2，则点M（x1，y1），点N（x2，y2）在x轴的下方，y1＜0，y2＜0， ∴y1•y2＞0；故选项D正确，不合题意； 故选：C． 【变式3】已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣2，从而求得x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4， ∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2）， 把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8， 若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣4，x2+x3＝﹣4， ∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8， 故选：D． 【变式4】若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（4，y1）、E（，y2）、F（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）可知，抛物线开口向上， ∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、 ∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间， ∴对称轴的取值范围为2＜x＜2.5， ∴y1＞y3， ∵点E到对称轴的距离小于2.5﹣，点D到对称轴的距离大于4﹣2.5＝1.5， ∴y3＜y2＜y1， 故选：D． 题型04 二次函数的最值问题 【典例1】已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大． ①当m+2≤1时，即m≤﹣1， ∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3（舍去）． ②当m≥1时， ∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣3（舍去）或m＝1． ③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1， ∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意． 综上，m＝﹣1或m＝1． 故选：C． 【变式1】当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（　　） A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝15时x的值，结合当a﹣2≤x≤a时函数有最小值15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当y＝15时，有x2﹣4x+3＝15， 解得：x1＝﹣2，x2＝6． ∵当a﹣2≤x≤a时，函数有最小值15， ∴a﹣2＝6或a＝﹣2， ∴a＝8或a＝﹣2， 故选：A． 【变式2】若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m＝；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m＝＜2，即可求得m＝． 【解答】解：∵y＝x2﹣mx+1＝（x﹣m）2+（﹣m2+1）， ∴图象f的对称轴为x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小＝﹣m2+1＝0， 解得m＝， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小＝（2﹣m）2+（﹣m2+1）＝0， 解得m＝（不合题意，舍去）， 综上，m＝． 故选：B． 【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D．1 【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3和m≥3两种情形进行讨论即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3， ∴对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线开口向下，当x＜m时，y随x的增大而增大，当x＞m时，y随x的增大而减小． ①当﹣1＜0＜m＜3时，此时x＝m时，y取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1， ∴m＝2或m＝﹣2（舍去）． ②当m≥3时，当x＝3时，y取最大值为﹣9+6m﹣3＝1， ∴m＝＜3，不合题意． 综上，m＝2． 故选：C． 【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 【分析】利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴当x＝m时，y的最小值为1． 当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）； 当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝1． ∴m的值为﹣5或1． 故选：D． 题型05 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x＝﹣＞0，则b＞0，故本选项正确； ②由对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确； ③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误； ④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误； ⑤∵对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，抛物线有最大值， ∴a+b+c＞m2a+mb+c， ∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确； 故选：B． 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】该函数开口方向向下，则a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可． 【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0， ∵对称轴为x＝﹣1，则﹣＝﹣1， ∴b＝2a＜0， ∵与y轴交点在y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故③正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确； 当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确； 由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误． 综上，正确的个数有三个． 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，﹣＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵x＝1时，y＝a+b+c＝0， ∴c+3a＝0， ∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确； ③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故④正确； 故选：D． 【变式3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0， 由对称轴可知：x＝﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：﹣＝1， ∴2a+b＝0，故②错误； ③由图象可知，x＝3时，y＜0， 而（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0）， 当x≤1时，随x的增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故③正确； ④由图象可知抛物线与x轴有两个交点， 故Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故④错误； ⑤∵﹣＝1， ∴a＝﹣， ∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），且x＝3时，y＜0， ∴x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴﹣， ∴3b＞2c，故⑤错误； ⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y1）到直线x＝1的距离大于点（3，y2）到直线x＝1的距离， ∴y1＜y2，故⑥错误； 故选：B． 【变式4】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1， 即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误． 故①③④正确． 故选：B． 题型06 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线的解析式． 【分析】根据题意设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，把 （3，﹣2），（0，1）代入求得a、b即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为 x＝2， ∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b， 把 （3，﹣2），（0，1）代入解析式得 ， 解得 a＝1，b＝﹣3， ∴所求抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣3． 【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当0≤x≤5时，求y的取值范围． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣5，然后把A点坐标代入求出a的值即可； （2）先分别计算出自变量为0和5所对应的函数值，然后利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5， 把A（0，3）代入得a×（0﹣2）2﹣5＝3， 解得a＝2， ∴抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2﹣5； （2）当x＝0时，y＝3； 当x＝5时，y＝2×（5﹣2）2﹣5＝13， 而x＝2时，y有最小值﹣5， ∴当0≤x≤5时，y的取值范围为﹣5≤y＜13． 【变式2】已知x与y之间的函数关系式为y＝ax2+bx+1（其中a、b是常数），且有下列对应关系： x 1 ﹣2 y ﹣1 17 （1）求y与x之间的函数关系式： （2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线y＝ax2+bx+1上，求m的值． 【分析】（1）由表格数据可知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣1），（﹣2，17），根据待定系数法即可求得y与x之间的函数关系式． （2）把点（3，n）代入y＝2x2﹣4x+1即可求得n的值，即可求得n+10的值，进一步即可求得m的值． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2﹣4x+1； （2）∵点（3，n）在抛物线y＝2x2﹣4x+1上， ∴n＝2×32﹣4×3+1＝7， ∴n+10＝17， ∵点（m，n+10）在抛物线y＝2x2﹣4x+1上， ∴17＝2m2﹣4m+1， ∴m1＝4，m2＝﹣2． 【变式3】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围． 【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标； （2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4， 当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4， ∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． 【变式4】如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【分析】（1）因为对称轴是直线x＝﹣1，所以得到点A（﹣3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式． （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0） 即：y＝a（x﹣1）（x+3） 把B（0，3）代入得：3＝﹣3a ∴a＝﹣1 ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3． （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴， ∴直线AB为y＝x+3， 作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3）， ∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x， ∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+． 当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝， ∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，） 1．将抛物线y＝x2+4x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【分析】依据题意，由抛物线为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为y＝（x+4）2﹣2，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5， 又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”， ∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为y＝（x+2+2）2﹣5+3，即y＝（x+4）2﹣2． ∴此时顶点坐标为（﹣4，﹣2）． 故选：B． 2．抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　） A．0 B．6 C．﹣6 D．±6 【分析】抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则表示抛物线与x轴只有一个交点．x2﹣bx+9＝0只有一个解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上， ∴x2﹣bx+9＝0只有一个解． ∴b2﹣4×1×9＝0． ∴b2＝36． 即b＝±6． 故选：D． 3．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（　　） A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4 【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0， ∴该函数的图象的开口方向向下， ∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标， ∴﹣1＝，即b＝﹣2；① ﹣3＝，即b2+4c+12＝0；② 由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4； 故选：D． 4．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2 【分析】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2， ∴1≤m≤2． 故选：C． 5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【分析】先根据题意判断出a的符号，再把各点代入二次函数求出y的值，比较大小即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴， ∴a＞0， ∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在函数图象上， ∴y1＝9a﹣6a+a＝4a， y2＝a﹣2a+a＝0， y3＝9a+6a+a＝16a， ∵a＞0， ∴0＜4a＜16a， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 8．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】首先求得抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，根据题意得到原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1， ∴顶点为（m，﹣m+1）， ∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，如图， ∴原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是需要平移的最短距离， ∵y＝﹣x+1， ∴A（0，1），B（1，0）， ∴AB＝， ∵OA•OB＝AB•OD，即1×1＝OD， ∴OD＝， ∴需要平移的最短距离为， 故选：B． 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线x＝2，下列结论： ①abc＞0； ②4a+c＞2b； ③4a+2b≤m（am+b）（m为常数）； ④3b﹣2c＞0． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误， 由图知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0， ∴4a+c＜2b，故②错误， 由图知，抛物线开口向下，对称轴为x＝2， ∴抛物线有最大值为：4a+2b+c， ∴4a+2b+c≥m（am+b）+c， ∴4a+2b≥m（am+b），故③错误， ∵﹣＝2， ∴b＝﹣4a， ∵图象过（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣5a， ∴3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故正确， 故选：A． 10．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】设抛物线P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），由此求出抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，再分三种情况讨论：①当2a＜1时，2+4a≤3，此时a≤；②当2a＞3时，﹣6+12a≤3，此时a不存在；③当1≤2a≤3时，4a2+3≤3此时a不存在． 【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y）， 则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y）， ∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3， ∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3， ∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3， 当x＝2a时，y有最大值4a2+3， ∵1≤x≤3， ①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值， ∴2+4a≤3， ∴a≤， 此时a≤； ②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值， ∴﹣6+12a≤3， ∴a≤， 此时a不存在； ③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值， ∴4a2+3≤3 ∴a＝0， 此时a不存在； 综上所述：0＜a≤， 故选：A． 11．二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为 　（0，3）　． 【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，令x＝0，求出y的值，即可判断得解． 【解答】解：由题意，令x＝0， ∴y＝（0﹣2）2﹣1＝3． ∴二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 　（4，0）　． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣2ax+c，可得对称轴是直线x＝﹣＝1，又二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），可得另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c， ∴对称轴是直线x＝﹣＝1． 又二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4． ∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0）． 13．已知A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　3　． 【分析】先根据抛物线的对称性得到﹣＝，则x1+x2＝﹣b，然后把（﹣b，m）代入y＝x2+bx+3可得到m的值． 【解答】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点， ∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+3的对称轴对称， ∴﹣＝， ∴x1+x2＝﹣b， ∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上， ∴m＝b2+b•（﹣b）+3＝3． 故答案为：3． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且y1＞y2，则m的取值范围是 　m＜1　． 【分析】利用二次函数的对称性求得抛物线的对称性，根据抛物线开口向上，且y1＞y2，即可判断点A（3﹣m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+1，y2）到对称轴的距离，即|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|，解方程即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点C（2﹣n，1），D（n，1）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝1， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＞y2， ∴点A（3﹣m，y1）到对称轴的距离大于点B（m+1，y2）到对称轴的距离， ∴|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|， 解得m＜1． 故答案为：m＜1． 15．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　4.5　． 【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE＝，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF•OG得出S△FGH＝＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积． 【解答】解：由题意可知A（0，2）， ∴设直线AD为y＝kx+2， 把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2， ∴直线AD为y＝﹣2x+2， ∵EG∥AD， ∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b）， 当y＝2时，x＝， ∴E（，2）， ∴AE＝， ∴BF＝AE＝， ∴EF＝4﹣2×＝6﹣b， ∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF•OG＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5， ∵﹣＜0， ∴△FGH的最大面积为4.5， 故答案为：4.5． 16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 2 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 … 求该二次函数的表达式． 【分析】通过待定系数法求函数解析式． 【解答】解：将（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣3， ∴y＝ax2+bx﹣3， 将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3． 17．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴； （2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【分析】（1）将点（1，3）和点（3，15）代入y＝ax2+bx，利用待定系数法即可求得解析式，进而求得对称轴． （2）根据题意得出（a+b）（9a+3b）＜0，由点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．则y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，求得y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，即可求得y2＜y1＜y3． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， 抛物线为y＝x2+2x， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1； （2）∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上， ∴a+b＝m，9a+3b＝n， ∵mn＜0， ∴（a+b）（9a+3b）＜0， ∴a+b与3a+b异号， ∵a＞0， ∴3a+b＞a+b， ∴a+b＜0，3a+b＞0， ∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上， ∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b， ∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0， ∴y3＞y1， ∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0， ∴y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）根据二次函数的图象的单调性解答． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1； （2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该二次函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）； （3）由图象可知，当x＜2时，y随x的增大而减小． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 （1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）； （2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1、y2、y3的大小关系为　y3＞y1＞y2　； （3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围． 【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝m； （2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，即可求解； （3）当△OAP为钝角三角形时，则m+2＜0或m+2＞3，分别求解即可． 【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝m； （2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值， 故：y3＞y1＞y2； （3）把点A的坐标代入y＝﹣x+b的表达式并解得：b＝3， 则点B（0，3），直线表达式为：y＝﹣x+3， 当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3， 则x＝m±2，则点P（m+2，3）， 当△OAP为钝角三角形时， 则m+2＜0或m+2＞3， 解得：m＜﹣2或m＞1． 20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）． （1）求c的值，并用含a的代数式表示b． （2）当a＝1时， ①求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围． ②当﹣4≤x≤2时，求y的最大值和最小值． （3）若线段CD的端点C、D的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）把A、B的坐标分别代入解析式即可求解； （2）①把解析式化成顶点式即可求得结论；②根据图象上点的坐标特征即可求得； （3）当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解． 【解答】解：（1）把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，得c＝6． 把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，得4a﹣2b+6＝﹣2， ∴b＝2a+4． （2）①当a＝1时，此函数表达式为y＝x2+6x+6． ∵y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3， ∴当x≥﹣3时，y随x的增大而增大． ②∵﹣4≤x≤2， ∴当x＝﹣3时，y的最小值为﹣3． 当x＝2时，y的最大值为（2+3）2﹣3＝22． （3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1）， y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，当x＝1时，y＝3a+10， 则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方， ∴25a﹣10a﹣20+6＜10． 解得a＜． ∴0＜a＜； ②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上， 则抛物线与线段只有一个公共点， ∴＝10．即＝10． 解得a＝﹣4+2（舍去）或a＝﹣4﹣2． 综上，a的取值范围是0＜a＜或a＝﹣4﹣2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$