第一章 特殊平行四边形 知识归纳与题型突破（九类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 二、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 三、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 03 题型归纳 题型一　特殊平行四边形的性质 例题 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线相等且互相垂直 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和菱形的性质逐一判断即可． 【解析】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线不一定垂直，菱形的对角线垂直，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； D、菱形和矩形的对角线都不一定相等且互相垂直，故此选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 2．菱形具有而矩形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案． 【解析】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意； B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意； C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意； D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形与菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断即可得答案，熟记性质是解本题的关键． 【解析】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，则此项不符题意； B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，则此项不符题意； C、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，则此项符合题意； D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，则此项不符题意； 故选：C． 4．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等 C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直 【答案】A 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质．根据菱形、矩形、正方形的性质，逐项判断即可． 【解析】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意． B、矩形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意． C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意． D、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意． 故选：A． 题型二　根据矩形的性质求长度、角度 例题 5．矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等即可求解，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及其应用． 【解析】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 巩固训练 6．已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【解析】解：四边形是矩形，且对角线， ， 故选D． 7．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长． 【解析】四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 故选：D． 8．如图，在矩形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形，即可得出结果． 【解析】∵矩形，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 9．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案； 【解析】解：∵矩形中，； ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【解析】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 题型三　根据矩形的性质求面积 例题 11．如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质以及三角形面积；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质得，推出，即可求出矩形的面积． 【解析】解：四边形是矩形，、相交于点， ，，， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 巩固训练 12．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质以及全等三角形的判定和性质．首先结合矩形的性质证明，得到，从而，进而即可解答． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形面积为12， ∴． 故选：A． 13．如图，是矩形内的任意一点，连接，得到，，，，设它们的面积分别是．给出以下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②④ C．②③④ D．以上选项均不对 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③；根据已知进行变形，求出，即可判断④． 【解析】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出， 故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∴点一定在对角线上，故④正确． 故选：B． 题型四　根据菱形的性质求长度、角度 例题 14．若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的四条边相等结合菱形周长公式进行求解即可． 【解析】解：∵菱形的周长为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边相等是解题的关键． 巩固训练 15．如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键． 16．如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则菱形的边长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，根据菱形的性质，得到，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可． 【解析】解：∵菱形中，对角线、交于点F， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． 即：菱形的边长是4； 故选B． 17．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，邻补角的性质，由菱形的性质得到，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得到，即可求出，掌握菱形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 18．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再根据菱形的性质得到，再证明，进而得出，，可知，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案． 【解析】连接． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴．，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 19．如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长交的延长线于．证明，利用直角三角形斜边中线的性质，可得，再求出，证明，即可求出，即可解决问题． 【解析】解：如图，延长交的延长线于． ∵四边形是菱形，点E是的中点， 在和中， 是的中点， 故选：C． 题型五　根据菱形的性质求周长、面积 例题 20．如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（　　）    A．24 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质可得，再证是等边三角形，由此可得，进而得菱形的边长为6，由此可求出菱形的周长． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及菱形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【解析】∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴菱形的周长为： ， 故选：A． 巩固训练 21．如图，在菱形中，对角线和相交于点，若，则菱形的周长为（    ）    A．24 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【解析】解：∵四边形为菱形，， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长， 故选：D． 22．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的面积公式，勾股定理，利用勾股定理先求出对角线的长度，再根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求解，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 【解析】解：设对角线相交于点，则，， ∵菱形的周长为， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 23．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若，则菱形的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、菱形的面积等知识，求得及是解题的关键. 【解析】∵四边形是菱形, 是等边三角形， ， ∵平分 ， ， ，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理也可解OB） ， , 故选: C. 题型六　根据正方形的性质求长度、角度、面积 例题 24．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用正方形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 巩固训练 25．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可． 【解析】解：、分别为、的中点， 是的中位线． ，即． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键． 26．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3，，那么EB的长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质得出∠B=90°，BC2=3，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EB的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°， ∴EB 2=EC2-BC 2， 又∵正方形ABCD的面积=BC2=3，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 27．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 【答案】A 【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可． 【解析】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在中，，， ∴， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 28．如图将边长为的大正方形与边长为的小正方形放在一起，则三角形的面积（   ） A．与、大小都有关 B．与、的大小都无关 C．只与的大小有关 D．只与的大小有关 【答案】D 【分析】连接，根据正方形的性质可得，根据平行线之间的距离相等可得，的面积与的面积相等，求出的面积即可． 【解析】解：连接，如图所示： 在正方形中，，， ， 的面积=的面积， 正方形的边长为， 的面积， 的面积为， 的面积只与的大小有关， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质等，熟练掌握平行线之间的距离相等是解题的关键． 题型七　特殊平行四边形的判定 例题 29．下列四个命题中，真命题是（    ） A．对角线垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可． 【解析】解：选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题； 选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题； 选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题； 选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 巩固训练 30．下列四个命题中，假命题是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【解析】A．有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意； B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是真命题，故不符合题意； C．四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意； D．对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 31．已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的判定，根据判别一个四边形为正方形的方法逐一进行判定即可． 【解析】解：A、不能，对角线互相平分且一组邻边相等的四边形可判定为菱形，故本选项不符合题意． B、能，对角线互相平分且相等且一组邻边相等的四边形是正方形，可判定该四边形是正方形．故本选项符合题意． C、不能，根据平行线的性质和一组对角相等的四边形是平行四边形，可判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D、不能，一组对边平行且相等，对角线相等可判定为矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 32．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 【答案】AF＝AE（答案不唯一） 【解析】略 33．在四边形中，对角线且与互相平分，若使四边形是正方形，则需再添加的一个条件为（    ）．（不添加辅助线，写出一个条件即可） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形ABCD的对角线互相垂直平分，可得四边形ABCD是菱形，再添加AC=BD，即可得出四边形ABCD是正方形． 【解析】解：可添加AC=BD， 理由如下： ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∵AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形． 故D符合题意； 添加，，只能判断原四边形是菱形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 34．已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解题的关键． 根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边形是矩形，逐项分析即可得出答案． 【解析】解：如图： A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形；A选项正确； B、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形；B选项正确； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形；C选项正确； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 不能证明四边形是矩形，D选项错误， 故选：D． 题型八　特殊平行四边形的性质与判定 例题 35．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】由题意可得EF是△OAB的中位线,由此推出OB,根据平行四边形的性质即可得出BD的长． 【解析】∵点E,F分别是AB,AO的中点,连接EF,EF=3, ∴EF是△OAB的中位线,则OB=2EF=6． ∵在▱ABCD中, ∴BD=2OB=12． 故选：C． 【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质,关键在于熟练掌握基础知识并灵活使用． 巩固训练 36．如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为 ．    【答案】16 【分析】由角平分线的定义，可得，进而可得，由平行四边形的性质可得答案． 【解析】 解：，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 平行四边形是菱形． 四边形周长为． 故答案为：16． 【点睛】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”． 37．如图，两张宽均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，则四边形的周长为 cm． 【答案】20 【分析】作于R，于S，连接、交于点O，首先根据题意证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解即可． 【解析】解：作于R，于S，连接、交于点O． 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴四边形D的周长为， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，解题的关键是掌握菱形的性质和判定． 38．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】四边形和四边形均为正方形，且是的中点，，如图所示，过点作于，交于，与交于点，可证，，根据勾股定理即可求解． 【解析】解：∵四边形和四边形均为正方形，且是的中点，， ∴， ∴在中，， 如图所示，过点作于，交于，与交于点，    ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，即为中点， 同理，可证， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 39．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】由菱形性质结合平行条件可证是矩形，得，由勾股定理求出，进而根据对角线求菱形面积． 【解析】解：菱形中，， ∵， ∴四边形是矩形 ∴ 中， ∴ ∴菱形的面积为 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 40．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为 ． 【答案】5 【分析】过O作，过A作，可得四边形为矩形，推出，根据正方形的性质得出，求出，根据证，推出，得出等腰三角形三角形，根据勾股定理求出，求出，即可求出答案． 【解析】解：过O作于F，过A作于M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度． 41．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【解析】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型九　特殊平行四边形综合解答题 例题 42．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键． 根据菱形性质和三角形全等的判定，证明即可． 【解析】证明：∵为菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 巩固训练 43．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得，，再结合，即可证明． 【解析】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴. 44．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）结合矩形的性质，证明，即可得证； （2）根据题意得出，是等腰直角三角形，根据，，得出，即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ，． ， ． ． （2）， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 在矩形中， ， 是等腰直角三角形． ． 同理，． 在矩形中，， ． 45．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，矩形的对角线交线段于点，连接，，，且，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形，菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，菱形的面积公式，勾股定理的运用，即可． （1）根据矩形的性质，则，得到；根据，平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，再根据平分，等量代换，则，最后根据等角对等边，菱形的判定，即可； （2）根据直角三角形的性质，求出，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理求出的值，再根据菱形的面积公式，即可． 【解析】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的面积为：． 46．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案； （2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6， ∴BF＝DE＝6， ∵BC＝DC＝8， ∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14， 在Rt△FCE中，EF＝＝＝10． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键． 47．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 【答案】(1)当时，四边形ABQP是矩形 (2)当时，四边形AQCP是菱形 (3)菱形AQCP周长为cm；菱形AQCP面积为cm2 【分析】（1）根据矩形的性质和判定定理列出一元一次方程并求解即可． （2）根据勾股定理求出AQ的长度，根据菱形的判定定理列出方程并求解即可． （3）根据（2）中结果求出CQ的长度，再根据菱形的周长公式和面积公式求解即可． 【解析】（1）解：根据矩形的判定定理确定当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形． ∵点P，Q的速度都是，点P，Q运动的时间为． ∴，． ∵矩形ABCD中，， ∴． ∴． ∴t=16-t． ∴t=8． ∴当时，四边形ABQP是矩形． （2）解：根据菱形的判定定理确定当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形． ∵矩形ABCD中，，，， ∴，． ∴． 解得t=6． ∴当时，四边形AQCP是菱形． （3）解：∵t=6， ∴． ∴，． 【点睛】本题考查矩形的判定定理和性质，勾股定理，菱形的判定定理，菱形的周长公式和面积公式，熟练掌握这些知识点是解题关键． 48．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接． (1)连接，求证：． (2)求证：矩形是正方形． (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的值是定值，定值为4． 【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论； （2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形； （3）同（法判断出得到，即可求解． 【解析】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点， ∴，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∴矩形是正方形； （3）解：的值是定值，定值为4． 理由：∵四边形、都是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 49．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合、一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据旋转的得到的坐标即可； （2）根据在，然后利用勾股定理即可解答； （3）①根据已知条件得到，设，则，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根据即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴． 由旋转的性质，可知：， ∴当时，点的坐标为． 故答案为． （2）解：在中，， ∴， ∴当点落在l上时，点P的坐标为． 故答案为． （3）解：①当四边形的顶点落在l上时， 在和中，， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴，即，解得： ， ∴； ②∵， ∴． 故答案为． 50．用四根一样长的木棍搭成菱形，P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，求证：； 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点P在射线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，过点作于点，证明为等腰直角三角形，得到，在中，，，则，可得，解得，据此可得答案． 【解析】解：（1）∵在菱形， ∴四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， 故答案为：，； （2）四边形是菱形，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3）当时， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点，连接， 在射线上取一点N，使，连接，如图所示， 同理可证明， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，不符合题意， ∴此时点M与点N重合，即如下图所示： 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ， ， ， ； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理、菱形的性质、正方形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形 知识归纳与题型突破（九类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 二、矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 三、正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 03 题型归纳 题型一　特殊平行四边形的性质 例题 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线相等且互相垂直 巩固训练 2．菱形具有而矩形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻角互补 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 4．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行且相等 B．对角线相等 C．四条边相等，四个角相等 D．对角线互相垂直 题型二　根据矩形的性质求长度、角度 例题 5．矩形中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 6．已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，在矩形中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，点在上，且平分，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型三　根据矩形的性质求面积 例题 11．如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 巩固训练 12．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 13．如图，是矩形内的任意一点，连接，得到，，，，设它们的面积分别是．给出以下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上其中正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②④ C．②③④ D．以上选项均不对 题型四　根据菱形的性质求长度、角度 例题 14．若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 15．如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．8 D．10 16．如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则菱形的边长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 17．如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 18．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，点E，F分别是菱形边的中点，交的延长线于点G．若，则的度数是（　  　） A． B． C． D． 题型五　根据菱形的性质求周长、面积 例题 20．如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为（　　）    A．24 B．30 C． D． 巩固训练 21．如图，在菱形中，对角线和相交于点，若，则菱形的周长为（    ）    A．24 B．8 C． D． 22．如图，四边形是周长为的菱形，其中对角线长为，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 23．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，平分，若，则菱形的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 题型六　根据正方形的性质求长度、角度、面积 例题 24．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 25．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 26．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若正方形ABCD的面积是3，，那么EB的长为（    ） A．1 B． C． D．3 27．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　） A．75° B．55° C．15° D．25° 28．如图将边长为的大正方形与边长为的小正方形放在一起，则三角形的面积（   ） A．与、大小都有关 B．与、的大小都无关 C．只与的大小有关 D．只与的大小有关 题型七　特殊平行四边形的判定 例题 29．下列四个命题中，真命题是（    ） A．对角线垂直且相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 巩固训练 30．下列四个命题中，假命题是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 31．已知在四边形中，与相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．，， B． C． D． 32．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是 （添加一个条件即可）． 33．在四边形中，对角线且与互相平分，若使四边形是正方形，则需再添加的一个条件为（    ）．（不添加辅助线，写出一个条件即可） A． B． C． D． 34．已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 题型八　特殊平行四边形的性质与判定 例题 35．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 巩固训练 36．如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为 ．    37．如图，两张宽均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，则四边形的周长为 cm． 38．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为 ．    39．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为 ． 40．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为 ． 41．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 题型九　特殊平行四边形综合解答题 例题 42．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 巩固训练 43．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 44．如图，在矩形中，是的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：． 45．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，矩形的对角线交线段于点，连接，，，且，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 46．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF． (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长． 47．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts． (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积． 48．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接． (1)连接，求证：． (2)求证：矩形是正方形． (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 49．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，直线轴，交y轴于点，点在直线l上，将矩形绕点O按顺时针方向旋转度，得到矩形，此时直线、分别与直线l相交于点P、Q． (1)当时，点的坐标为______； (2)如图2，当点落在l上时，点P的坐标为______； (3)如图3，当矩形的顶点落在l上时， ①求的长度； ②求． 50．用四根一样长的木棍搭成菱形，P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，求证：； 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点P在射线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$